14.4(1)空间平面与平面的位置关系

                               上海南洋中学  王轶群

一、教学内容分析

二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义.

二、教学目标设计

理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题.

三、教学重点及难点

   二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.

四、教学流程设计

课堂总结

作业布置

五、教学过程设计

一、 新课引入

1.复习和回顾平面角的有关知识.

3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容.

二、学习新课

   （一）二面角的定义

1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示.

2.在正方体中认识二面角.

（三）二面角的平面角

平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大小可以度量，类似地，"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，它也有一个旋转量，那么，二面角的大小应该怎样度量？

1.二面角的平面角的定义（课本P17）.

2.∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.

[说明]①平面与平面的位置关系，只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要来研究二面角的度量问题.

②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比，用“平面角”去度量.

③二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱垂直.

3.二面角的平面角的范围： 

（四）例题分析

例1 一张边长为a的正三角形纸片ABC，以它的高AD为折痕，将其折成一个的二面角，求此时B、C两点间的距离.

[说明] ①检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况.

P

②翻折前后应注意哪些量的位置和数量发生了变化, 哪些没变?

例2 如图，已知边长为a的等边三角形所在平面外有一点P，使PA=PB=PC=a，求二面角的大小.

[说明] ①求二面角的步骤：作—证—算—答.

②引导学生掌握解题可操作性的通法（定义法和线面垂直法）.

例3 已知正方体，求二面角的大小.（课本P18例1）

[说明] 使学生进一步熟悉作二面角的平面角的方法.

（五）问题拓展

例4 如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？

[说明]使学生明白数学既来源于实际又服务于实际.

三、巩固练习

1.在棱长为1的正方体中，求二面角的大小.

2. 若二面角的大小为，P在平面上，点P到的距离为h，求点P到棱l的距离.

四、课堂小结

1.二面角的定义

2.二面角的平面角的定义及其范围

3.二面角的平面角的常用作图方法

4.求二面角的大小（作—证—算—答）

五、作业布置

1.课本P18练习14.4（1）

2.在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，求它到棱的距离．

3.把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠，使二面角A-BD-C成的二面角，求A、C两点的距离．

六、教学设计说明

本节课的设计不是简单地将概念直接传受给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程.“二面角”及“二面角的平面角”这两大概念的引出均运用了类比的手段和方法.教学过程中通过教师的层层铺垫，学生的主动探究，使学生经历概念的形成、发展和应用过程，有意识地加强了知识形成过程的教学.