高考圆锥曲线的常见题型

题型一：定义的应用

1、圆锥曲线的定义：

（1）椭圆

（2）椭圆

（3）椭圆

2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系

（2）等价转换，数形结合

3、定义的适用条件：

典型例题

例1、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。

例2、方程表示的曲线是

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：?

1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

2、双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题

例1、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是

例2、k为何值时,方程的曲线：

(1)是椭圆;

(2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题

1、椭圆焦点三角形面积；双曲线焦点三角形面积

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、四者的关系在圆锥曲线中的应用；

典型例题

例1、椭圆上一点P与两个焦点的张角∠，求证：△F1PF2的面积为。

例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程

题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；

2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；

3、注重数形结合思想不等式解法

典型例题

例1、已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.　　B.　　C.　　D.

例2、双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为

A.(1,3)        B.                C.(3,+)        D.

例3、椭圆：的两焦点为，椭圆上存在

点使.求椭圆离心率的取值范围；

例4、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

    （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断

1、点与椭圆的位置关系

点在椭圆内

点在椭圆上

点在椭圆外

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

>0相交

=0相切（需要注意二次项系数为0的情况）

<0相离

3、弦长公式：

4、圆锥曲线的中点弦问题：

1、伟达定理：

2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简

（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=2，O为坐标原点，OC的斜率为/2，求椭圆的方程。

题型六：动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；?

2、求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；

例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为?

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为

例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______

例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为?

(4)代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:

例6、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________

(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是

题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）

一、设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与x=my+n的区别）

二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

三、联立方程组；

四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

五、根据条件重转化；常有以下类型：

“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）

“点在圆内、圆上、圆外问题”

“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”

>0；

“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；

“共线问题”

（如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；

（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；

“点、线对称问题”坐标与斜率关系；

“弦长、面积问题”

转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；

六、化简与计算；

七、细节问题不忽略；

判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0.

基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明

5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

典型例题：

例1、已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．

例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围.

例3、设、分别是椭圆：的左右焦点。

（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；

（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线，的斜率都存在，并记为，?，试探究的值是否与点及直线有关，并证明你的结论。

例4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

例5、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。

（1）求P点坐标；

（2）求证直线AB的斜率为定值；

典型例题：

例1、

由①、②解得，．

不妨设，，

∴，．

∴

，③

当时，由③得，．

当且仅当时，等号成立．

当时，由③得，．

故当时，的最大值为．

例2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， 

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.

∴曲线C的方程为+y2=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞.由图可知=λ

由韦达定理得

将x1=λx2代入得

两式相除得

                                ①

M在D、N中间，∴λ＜1                                    ②

又∵当k不存在时，显然λ=(此时直线l与y轴重合)

综合得：1/3≤λ＜1.

例3、解：（1）由于点在椭圆上，得2=4,…2分

椭圆C的方程为，焦点坐标分别为……4分

（2）设的中点为B（x,y）则点………………………5分

把K的坐标代入椭圆中得……………7分

线段的中点B的轨迹方程为………………………8分

（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称

设,

在椭圆上，应满足椭圆方程，得……10分

==……………………………13分

故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，………………14分

例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为．…………（5分）

（Ⅱ）设，，

联立得，

又，

因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，

，即，

，，

．

解得：，，且均满足，

1、当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

2、当时，的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为．…………（14分）

例5、解（1）。，设

则

点在曲线上，则

从而，得，则点的坐标为

（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，

则PB的直线方程为：由得

设则

同理可得，则

所以：AB的斜率为定值

例6、解：（1）由，

    得……………………3分

    ∴夹角的取值范围是（）……6分

    （2）

    ………8分

………………10分

∴当且仅当

或…………12分

椭圆长轴

或

故所求椭圆方程为.或…………14分