高中数学-概率测试题

高中数学-概率测试题

检测(B)

(时间:90分钟　满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1掷一枚质地均匀的骰子,观察所得的点数a,设事件A=“a为3”,B=“a为4”,C=“a为奇数”,则下列结论正确的是(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　

A.A与B为互斥事件

B.A与B为对立事件

C.A与C为对立事件

D.A与C为互斥事件

解析事件A与B不可能同时发生,但也可能都不发生,因此A与B为互斥事件,但不是对立事件.

答案A

2某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其男婴数如下表:

时间范围	1年内	2年内	3年内	4年内
新生婴儿数	5 544	9 013	13 520	17 191
男婴数	2 716	4 9	6 812	8 590

这一地区男婴出生的概率约是(　　)

A.0.4    B.0.5    

C.0.6    D.0.7

解析由表格可知,男婴出生的频率依次为0.49,0.54,0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概率约为0.5.故选B.

答案B

3从1,2,3,4这4个数中,任意抽取两个数,则抽到的两个数都是偶数的概率是(　　)

A

C

解析不放回地抽取2个数,共有6种取法,两个数字均为偶数只有(2,4)这一种情况,因此所求概率A.

答案A

4若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为    (　　)

A

解析五人录用三人共有10种不同方式,分别为:{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}.

其中含甲或乙的情况有9种,故选D.

答案D

5从一批产品中随机抽两次,每次抽1件.以A表示事件“两次都抽得正品”,B表示事件“至少抽得一件次品”,则下列关系式中正确的是(　　)

A.A⊆B    B.B⊆A    

C.A=B    D.A

解析事件B的对立事件为至多抽到0件次品,即两次都抽到正品,因此选项D正确.

答案D

6袋里装有大小相同的黑、白两色的手套,黑色手套3只,白色手套2只.现从中随机地取出两只手套,如果两只是同色手套则甲获胜,两只手套颜色不同则乙获胜,则甲、乙获胜的机会是(　　)

A.一样大    

B.甲大    

C.乙大    

D.不能确定

解析共有10种取法,两只手套颜色不同的情况共有6种,因此乙获胜的概率.故选C.

答案C

7从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(　　)

A

C

解析如图所示,正六边形ABCDEF,从6个顶点中随机选择4个顶点有ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,ABEF,ACDE,ACDF,ACEF,ADEF,BCDE,BCDF,BCEF,BDEF,CDEF,共15种选法,基本事件总数为15,其中四边形是矩形的有ABDE,BCEF,ACDF 3种,故所求概率为PD.

答案D

8将一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设两条直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=3平行的概率为P1,相交的概率为P2,则点P(36P1,36P2)与圆C:x2+y2=1 098的位置关系是(　　)

A.点P在圆C上    

B.点P在圆C外

C.点P在圆C内    

D.不能确定

解析因为l1∥l2,所以b=2a,满足此条件的(a,b)有(1,2),(2,4),(3,6),故P1

又因为两直线l1∥l2与l1与l2相交是对立事件,

所以P2=1-P1=1

所以P(3,33).

因为32+332=9+1 0=1 098,

所以点P在圆C上.

答案A

9如图所示,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(　　)

A.1

B

C.2

D

解析S矩形ABCD=1×2=2,S扇形ADE=S扇形CBF

P

答案A

10节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)

A

B

C

D

解析设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0≤x≤4,0≤y≤4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由图示得,该事件概率P

答案C

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为　　　　　. 

解析由题意知0≤a≤1,事件“3a-1<0”发生时,a0≤a,取区间长度为测度,由几何概型的概率公式得其概率P

答

12若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为　　　　　. 

解析甲、乙、丙三人随机站在一排有:

甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6种.

若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲,共4种,故所求的概率

答

13在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率

解析由题意[-2,4]的区间长度为6,而满足条件的x取值范围的区间长度为5,故m取3,x∈[-2,3].

答案3

14抛掷甲、乙两枚质地均匀,且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记底面上的数字分别为x,y,

解析基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种情况.

,则

当x=1时,y=1;

当x=2时,y=1,2;

当x=3时,y=1,3;

当x=4时,y=1,2,4.

共有8种情况.

故所求概率

答

15如图所示,图②中实线围成的部分是长方体(图①)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向图②中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率

解析设长方体的高为h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率P

解得h=3或h=),

故长方体的体积为1×1×3=3.

答案3

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16(8分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数则算甲赢,否则算乙赢.

(1)若以A表示和为6的事件,求P(A).

(2)现连玩三次,以B表示“甲至少赢一次”的事件,C表示“乙至少赢两次”的事件,试问:B与C是否为互斥事件?为什么?

(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

解(1)基本事件空间与点集S={(x,y)|x∈N+,y∈N+,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应.

	1	2	3	4	5
1	2	3	4	5	6
2	3	4	5	6	7
3	4	5	6	7	8
4	5	6	7	8	9
5	6	7	8	9	10

因为S中点的总数为25,所以基本事件总数n=25.

事件A包含的基本事件数共5个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故P(A)

(2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意.

(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件数为13个,即甲赢的概率.

17(8分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;

(2)求此人在该市停留时间只有1天时空气重度污染的概率;

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结果不要求证明)

解(1)在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率

(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.

所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

18(9分)某人在如图所示的直角边长为4 m的等腰直角三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m.

(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

Y	51	48	45	42
频数		4

(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.

解(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株.列表如下:

Y	51	48	45	42
频数	2	4	6	3

所种作物的平均年收获量为

=46.

(2)由(1)知,

P(Y=51)

故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为

P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)

19(10分)有一个不透明的袋子,装有三个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3.

(1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率;

(2)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为b,求直线ax+by+1=0与圆x2+y2

解(1)用(a,b)(a表示第一次取到球的编号,b表示第二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件,则基本事件有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),共6个.

设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A,则事件A包含的基本事件有(2,1),共1个,故P(A)

(2)由题意得,所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3, 3),共9个.

设“直线ax+by+1=0与圆x2+y2B,由题意a2+b2≥9,

则事件B包含的基本事件有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共5个,故P(B)

20(10分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3).

(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

甲的频数统计表(部分)

运行

次数n	输出y的值 为1的频数	输出y的值 为2的频数	输出y的值 为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2 100	1 027	376	697

乙的频数统计表(部分)

运行

次数n	输出y的值 为1的频数	输出y的值 为2的频数	输出y的值 为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2 100	1 051	696	353

　当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

解(1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.

当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1

当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2

当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3

所以,输出y的值为1的概率y的值为2的概率y的值为3的概率

(2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:

	输出y的值 为1的频率	输出y的值 为2的频率	输出y的值 为3的频率
甲
乙

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.