考研辅导讲义_03

本章知识要点

二维分布函数的概念和性质

一、分布函数的概念: ),(Y X 的分布函数),(),(y Y x X P y x F ≤≤=. 二、分布函数的性质: 1 单调性; 2 规范性; 3 右连续性; 4 相容性. 三、矩形区域的概率:

0),(),(),(),(),(≥+−−=≤<≤四、边缘分布函数: ),()(∞+=x F x F X , ),()(y F y F Y +∞=.

二维离散型随机变量及其概率分布

一、离散型随机变量的概率分布的性质: (1)非负性; (2)规范性. ij p 二、离散型随机变量的边缘分布和条件分布:

1 , ∑===

=j

j

i

i y

Y x X P x X P ),()(∑====j

j i j y Y x X P y Y P ),()(;

2 设, 0)(>=i x X P )(),()|(i j i i j x X P y Y x X P x X y Y P ======, L ,2,1,0=j . 设, 0)(>=j y Y P )

()

,()|(j j i j i y Y P y Y x X P y Y x X P ====

==, .

L ,2,1,0=i 二维连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量的概率密度),(y x f 的性质: (1)非负性; (2)规范性. 二、概率密度与分布函数的关系:

∫

∫

∞

−∞

−=x y dudv v u f y x F ),(),(, y

x y x F y x f ∂∂∂=

)

,(),(2, (){}∫∫

=

∈D

dxdy y x f D Y X P ),(,.

三、连续型随机变量的边缘密度和条件密度:

1 边缘密度: , ;

∫

∞+∞

−=

dy y x f x f X ),()(∫

∞+∞

−=dx y x f y f Y ),()(2 条件密度: 设, 则0)(>x f X )()

,()(x f y x f x y f X X Y =, .

+∞<<∞−y 设, 则0)(>y f Y )

()

,()(y f y x f y x f Y Y X =, +∞<<∞−x .

随机变量的性

一、两个随机变量的性定义: 称随机变量X 与Y ，如果

)()(),(y F x F y x F Y X =.

二、离散型变量的充要条件: 对一切j i ,有

)()(),(j i j i y Y P x X P y Y x X P =====.

三、连续型变量的充要条件: 对一切实数y x ,有

)()(),(y f x f y x f Y X =.

四、随机变量函数的性: 若随机变量相互，则它们的任意(Borel )函数也相互. n X X X ,,,21L )(,),(),(2211n n X f X f X f L L

随机向量函数的分布

一、和的分布:

和的密度: .

∫

∫+∞∞

−+∞∞−+−=−=dy y y z f dx x z x f z f Y X ),(),()(卷积公式: .

∫

∫

+∞∞

−+∞∞

−+−=−=dy y f y z f dx x z f x f z f Y X Y X Y X )()()()()(二、极值分布: 设n ξξξ,,,21L 相互，分布函数分别是,

则极大值)(,),(),(2211x F x F x F n L {}n X ξξξ,,,

max 21L =和极小值{}n Y ξξξ,,,min 21L =的分布函数为别是:

{}[])()()(,,,max )(2121x F x F x F x P x F n n X L L =≤=ξξξ,

{}[])](1[)](1)][(1[1,,,min )(2121y F y F y F y P y F n n Y −−−−=≤=L L ξξξ.

三、一般情况: ),(Y X h Z =的分布函数

∫

≤=≤=≤=z

y x h dxdy y x f z Y X h P z Z P z G ),(),()),(()()(.

关于正态分布的重要结论

一、若, 则, . ),,,,(~),(2

22

121ρσσμμN Y X ),(~2

11σμN X ),(~2

22σμN Y 二、若, , 且),(~2

11σμN X ),(~2

22σμN Y X 与Y ,则当时,

02

2

≠+b a ),(~2

2221221σσμμb a b a N bY aX +++.

常考题型解析

[题型一] 求二维随机变量的分布的问题

例1某箱装有100件产品,其中一、二、三等品各为80、10、10件.现从中抽取一件,记

⎩⎨

⎧=.0,1否则，

等品，

抽到i X i 321，=i . 试求的概率分布.

(21,X X )例2 袋中有只白球、b 只黑球、c 只红球. 从中依次取出n 个球,a ξ表示取到的白球数,

η表示取到的黑球数. 分别就有放回和无放回两种抽取方式,求()ηξ,的概率分布.

例3 设事件B A ,满足41)(=

A P , 2

1

)|()|(==B A P A B P , 令 ⎩⎨

⎧=.,

0,

,

1否则发生A X

⎩⎨⎧=.

,0,

,1否则发生B Y 求Y X ,的联合概率分布.

解: 由条件得81

)|()()(==A B P A P AB P , 4

1)|()|()()(==

B A P A B P A P B P . 故有 85)(1)()0,0(=−====B A P B A P Y X P U , 81

)()1,1(====AB P Y X P ,

81)()()()1,0(=−====AB P B P B A P Y X P , 8

1

)()0,1(====B A P Y X P .

即的概率分布为

(Y X ,)

例4 接连不断地掷一颗骰子,直到出现大于4的点数为止. 以X 表示最后一次掷的点数, 以Y 表示掷的次数,求的概率分布. ()Y X ,

[题型二] 二维分布函数的性质

例5 设二维随机变量的分布函数为

(Y X ,))3

arctan )(2arctan (),(y

C x B A y x F ++=

求: (1)常数A 、

B ; (2)二维随机变量()Y X ,的概率密度函数; (3)Y X ,的分布函数; (4){}33,22<<−<<−Y X P . 例6 如下四个函数,那个不能作为二维随机变量的分布函数?

(A )

⎩

⎨

⎧>−−=−−.

,0,0,),

1)(1(),(1其它y x e e y x F y x (B ))3

arctan 2)(2arctan 2(1),(2

2y x y x F ++=

πππ (C )⎩⎨

⎧<+≥+=.

12,

0,

12,

1),(3y x y x y x F

(D )

⎩

⎨

⎧>+−−=−−−−.

,0,0,,

2221),(4其它y x y x F y x y x 例7(2002-M14) 设和是任意两个相互的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和, 分布函数分别为和, 则

1X 2X )(1x f )(2x f )(1x F )(2x F (A ) 必为某一随机变量的密度函数. )()(21x f x f +(B ) 必为某一随机变量的密度函数. )()(21x f x f (C ) 必为某一随机变量的分布函数. )()(21x F x F +(D )

必为某一随机变量的分布函数.

)()(21x F x F 解: (A )、(B )不满足密度函数的规范性,(C )不满足分布函数的规范性.故应选择(D ).

或直接证明满足分布函数的单调性、规范性和右连续性.

)()(21x F x F 另解: 构造性法: 随机变量{}Y X ，max 的分布函数就是, 故应选择(D ). )()(21x F x F

[题型三] 概率分布和概率密度的性质

例8 设随机变量的密度函数为

(Y X ,)⎪⎩⎪

⎨⎧<<=−.o ,

0,20,),(therwise x y if Ae y x f x

求: (1)常数A ; (2){}12+≤Y X P ; (3)()Y X ,的分布函数.

例9(1995-M3) 设随机变量的密度函数为

(Y X ,)⎩⎨⎧<<<<=.o ,

0,

10,10,4),(therwise y x if xy y x f

求的分布函数.

(Y X ,)例10 设X 与Y 是两个相互的随机变量,它们服从同一均匀分布)1,0(U . 试求

022=++Y t X t

有实根的概率.

例11(1999-M13) 设的随机变量X 、

Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则 (A ){}210=

≤+Y X P . (B ){}21

1=≤+Y X P . (C ){}210=≤−Y X P . (D ){}2

1

1=≤−Y X P .

例12(1990-M3) 设随机变量X 和Y 相互,其共同的概率分布为

则下列式子正确的是

(A ) Y X =. (B ) 0)(==Y X P .

(C ) 2

1

)(=

=Y X P . (D ) 1)(==Y X P . 注: (A )错误,同分布不能认为Y X =. 可举例说明(射击问题或男女生比例问题).

1997-M3有类似题,选择(A ),(B )换成了其它. 例13(1995-M1) 设X 和Y 为两个随机变量,且

{}730,0=≥≥Y X P , {}{}7

4

00=≥=≥Y P X P .

则{}=≥0),max(Y X P .

[题型四] 边缘分布、条件分布与性

例14 若),(Y X 的分布律为

则α,β

应满足的条件是 ; 若X 与Y 相互,则=α ,

=β .

例15 设二维随机变量),(Y X 的分布律为

已知事件{}与{0=X }1=+Y X 相互,则,b 的值是

a (A ) 31=a , 61=

b . (B ) 61=a , 31

=b .

(C ) 51=a , 103=b . (D ) 83=a , 8

1

=b .

解: 由分布律的规范性得2

1

=+b a .

依题意,应有)1,0()1()0(=+===+=Y X X P Y X P X P , 即

b b a b =++))(8

1

(, 结合2

1=+b a 可得83=a , 81

=b .

例16(1999-M4)(1999-M3类似(选择)题) 已知随机变量和的概率分布

1X 2X ⎟⎟⎠⎞⎜

⎜⎝⎛−412

1

41101~1X , ⎟⎟⎠

⎞

⎜

⎜⎝⎛212110~2X 且满足.

{}1021==X X P (1)求,的联合分布; (2)问与是否? 为什么?

1X 2X 1X 2X 注: 已知边缘分布却没有性条件是一种十分特殊的题型,具有一定技巧和难度.

例17(1990-M4) 一电子仪器由两个部件构成, 以X ,Y 分别表示两元件的寿命(千小时), 已知X ,Y 的联合分布函数

⎩⎨

⎧≥≥+−−=+−−−.

,

0,0,0,

1),()(5.05.05.0其它y x e e e y x F y x y x

(1)问X 和Y 是否相互? (2)求两个元件寿命都超过100小时的概率α.

例18 一射手进行射击,击中目标的概率为)10(<

例19 设数X 在区间内随机地取值,当观察到)1,0()10(<<=x x X 时,数Y 在区间

)1,(x 上随机地取值,求Y 的概率密度函数.

[题型五] 随机向量函数的分布

例20 已知X ,Y 的联合概率分布为

),(Y X )0,0(

)

1,0()

0,1()1,1(

)

0,2

()1,2(

P

0.1 0.15 0.25 0.2 0.15 0.15

求: (1)X 的概率分布; (2)Y X +的概率分布. 解: 可将联合分布写成下列形式

易得X 的概率分布和Y X +的概率分布如下:

X

0 1 2 Y X +0 1 2 3

P 0.250.45 0.3

P

0.1

0.4

0.35 0.15

例21(2002-M3) 设随机变量ξ,η同分布,ξ的分布律为

3

1

)(==i P ξ, .3,2,1=i

又设),max(ηξ=X , ),min(ηξ=Y . 求:

(1)),(Y X 的分布律; (2)X 的数学期望.

例22(1997-M4) 设随机变量Y 服从参数1=λ的指数分布,随机变量

⎩⎨

⎧>≤=.

,

1,,0k Y k Y X k .2,1=k

求: (1)和的联合分布律;

1X 2X (2)和的数学期望.

)(21X X E +例23(陈文灯例2.44) 设X ,Y 相互,概率密度函数分别为

⎩⎨

⎧<<=.

,

0,

10,

1)(其它x x f X

⎩⎨

⎧≥=−.

,

0,0,

)(其它y e y f y Y 求随机变量Y X Z +=的密度函数.

例24(1992-M1) 设随机变量X 与Y ,X 服从正态分布, 服从),(2

σμN Y ],[ππ−上的均匀分布,试求Y X Z +=的密度函数(计算结果用标准正态分布函数表示).

Φ例25(1991-M1) 设二维随机变量),(Y X 的密度函数为

⎩⎨

⎧>>=+−.

,

00,0,

2),()2(其它y x e y x f y x

求随机变量Y X Z 2+=的密度函数.

例26(2003-M3) 设随机变量X 与Y ,其中X 的概率分布为

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛7.03.021

~X

而Y 的概率密度为)(y f , 求随机变量Y X U +=的密度函数.

注: 本题是创新题型,以前从未出现过,有一定的难度和综合性.

例27 设随机变量X 与Y 相互,分别服从指数分布)(λE 和)(μE ,则

(A )Y X +服从指数分布)(μλ+E . (B )Y X −服从指数分布)(μλ−E . (C )服从指数分布{Y X ，max })(μλ+E . (D )服从指数分布{Y X ，min })(μλ+E . 解: 应选择(D ). 实因: 当时,有

0≥z {}z e z Y P z X P z Y z X P z Y X P )()()(),()(min μλ+−=>>=>>=>，.