2023年海南省海南中学、海口一中、文昌中学、嘉积中学四校高考数学模拟试卷+答案解析(附后)

高考数学模拟试卷

1. 设集合，则( )

A. B. C. D.

2. 已知复数z满足，则( )

A. B. C. D.

3. 已知，满足，且，的夹角为，则( )

A. B. 2 C. 4 D.

4. 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞

船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点长轴端点中离地面最远的点距地面，近地点长轴端点中离地面最近的点距地面，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为( )

A. B.

C. D.

5. 若抛物线C：的准线被曲线所截得的弦长为2，则

( )

A. 1或5

B. 2或10

C. 2或4

D. 4或8

6. 已知等比数列的前3项和为42，则( )

A. 12

B. 6

C. 3

D.

7. 设x、，若，则的最小值为( )

A. B. C. D.

8. 已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为( )

A. B. C. D.

9. 新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，

我们都需要先进行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲、

乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结

论正确的是( )

A. 乙同学体温的极差为

B. 甲同学体温的第三四分位数为C. 乙同学的体温比甲同学的体温稳定

D. 甲同学体温的众数为和，中位数与平均数相等

10. 将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移2个单位得到函数

的图象，则以下说法中正确的是( )

A. 函数的解析式为

B. 是函数的一个对称中心

C. 是函数的一条对称轴

D. 函数在上单调递增

11. 如图，在平行四边形ABCD中，，

，沿对角线BD将折起到的位置，使

得平面平面BCD，下列说法正确的有( )

A. 三棱锥四个面都是直角三角形

B. 平面平面PBD

C. PD与BC所成角的余弦值为

D. 点B到平面PCD的距离为

12. 记、分别为函数、的导函数，若存在，满足

且，则称为函数与的一个“S点”，则下列说法正确的为( )

A. 函数与存在唯一“S点”

B. 函数与存在两个“S点”

C. 函数与不存在“S点”

D. 若函数与存在“S点”，则

13. 的展开式中的常数项为______ .

14.

函数为定义在R上的奇函数，当时，则______ .

15. 已知在四面体中，则该四面体外接球的表面积为______ .16. 已知双曲线，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的第一象限内的点，点I为的内心，点I在x轴上的投影H的横坐标为______ ，

的面积的取值范围为______ .

17. 的内角A，B，C分别为a，b，已知

求；

从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立.

①；②；③

18. 等差数列中，，分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；

记中您选择的的前n项和为，判断是否存在正整数k，使得，成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由.

19. 如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且

若M、N分别为棱AB、的中点，求证：平面CDN；

为的中点，求直线DE与侧面所成角的正弦值.

20. 某地A，B，C，D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如表单位：十台：

A商场B商

场

C 商

场

D商场

购讲该型冰箱数x

3456

销售该型冰箱数

y 3

4已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；

假设每台冰箱的售价均定为4000元.若进入A商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为p，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的

期望不超过6000元，求p的取值范围.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，

21. 已知椭圆C：的离心率为，椭圆的右焦点

求椭圆C的方程；

、B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM

与直线交于点记PA、PF、BN的斜率分别为、、，是否存在实数，使得

22. 已知实数，函数，e是自然对数的底数．

当时，求函数的单调区间；

求证：存在极值点，并求的最小值．答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：，

故选：

化简集合A，再求交集即可．

本题考查了交集及其运算，是基础题．

2.【答案】A

【解析】解：因为，

则

故选：

利用复数的四则运算化简计算可得z的值．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

3.【答案】B

【解析】解：因为，所以，

，

所以

故选：

先求出的值，将平方转化为数量积计算．

本题主要考查平面向量的数量积运算，向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．

4.【答案】D

【解析】解：由题意得，

，

故，

，

故选：

根据椭圆的远地点和近地点的距离可得，进而可得，求得b，可得答案．

本题主要考查了椭圆性质的简单应用，属于基础题．

5.【答案】B

【解析】解：由题意可知，圆的圆心为，半径为，

抛物线C的准线方程为，

圆心M到准线的距离为，

解得或

故选：

求出圆心坐标与圆的半径，求出抛物线C的准线方程，计算出圆心到准线的距离，可得出关于p 的等式，解之即可．

本题考查抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系，化归转化思想，属基础题．

6.【答案】D

【解析】解：设等比数列的公比为q，

等比数列前3项和42，当时，不满足题意，

当时，又，则，

所以，解得，则，则

故选：

根据等比数列通项与前n项和公式结合已知得出其首项与公比，即可得出答案．

本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，属于基础题．

7.【答案】A

【解析】解：因为x、，，则，即，

由题意可得，

所以，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故的最小值为

故选：

由已知变形可得出，可得出，利用基本不等

式可求得的最小值．

本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

8.【答案】C

【解析】解：由题意知，，由，得，

，

设，则，

当时，单调递增，因，

当且仅当时取等号，故，

又，所以，故，

，则，即有，故

故选：

通过形式构造函数，通过的性质判断大小关系．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数的大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．

9.【答案】BC

【解析】解：对于选项A：乙同学体温的最大值为，最小值为，故极差为，故A错误；

对于选项B：甲同学体温按照从小到大的顺序排列为：，，

，，

又，

故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第6个数据，即，故B正确；

对于选项C：乙同学体温按照从小到大的顺序排列为：，，

，，

故乙同学体温的平均数为：，故乙同学体温的方差

；

又甲同学体温的平均数为：，

故甲同学体温的方差

；因为，所以乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故C正确；

对于选项D：甲同学体温的众数为，；

中位数为与平均数相等，故D错误．

故选：

根据折线图，结合极值，百分位数，方差，众数，中位数和平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．

本题主要考查了统计图的应用，考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．

10.【答案】BD

【解析】解：将的图象先向下平移2个单位再向右平移个单位可得的解析式为，故A错误；

因为，所以是函数的一个对称中心，故B正确；

因为不是的最大值或最小值，故不是函数的一条对称轴，故C错误；

当时，因为在上为减函数，所以

在上为增函数，故D正确．

故选：

根据函数图象的平移求出的解析式，再用整体代入法检验对称中心与对称轴，并判断在

上的单调性，可得答案．

本题主要考查了三角函数图象的平移，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．11.【答案】ABD

【解析】解：中，，

由余弦定理得，故，所以

，

因为平面平面BCD，平面平面，面BCD，

所以平面PBD，平面PBD，则；同理平面CBD，

因为平面PCD，所以平面平面PBD，A、B正确；

以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

因为，

所以，即PD与BC所成角的余弦值为，C错误；

由上知：，若为面PCD的法向量，

所以，取，又，

则B到平面PCD的距离为，D正确．

故选：

先根据勾股定理判断，再由面面垂直得线线垂直，可判断A、B，以D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算线线角判断C，应用向量法求点面距离可判断

本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解线线角问题，向量法求解点面距问题，属中档题．

12.【答案】ACD

【解析】解：令，

对于A，则，

由，得；由，得，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

此时，函数与存在唯一“S点”，故A正确；

对于B，，则，

令，则，

所以当时，单调递增；当时，单调递减；因为，

所以函数与不存在“S点”，故B错误；

对于C选项，则，

令，可得，解得或，

但，

此时，函数与不存在“S点”，故C正确；

对于D选项，其中，则，

若函数与存在“S点”，记为，

则，解得，故D正确．

故选：

令，求出，利用“S点”的定义逐项判断，可得出合适的选项．

本题属于新概念题，考查了导数的综合运用及恒成立问题，理解定义是关键，属于中档题．

13.【答案】24

【解析】解：在的展开式中，通项公式为，

令，求得，可得展开式的常数项为

故答案为：

先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

本题要求写出二项展开式中的指定项，考查的是二项式定理，解题的关键是写出展开式的通项，确定r的值，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：由题设，故时，

所以，故

故答案为：

由奇函数有，再求，利用奇函数性质，即可求值．

本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．

15.【答案】【解析】解：在四面体中，可知四面

体外接一个母线为的圆锥，圆锥的底面半径为r，可得，所以，四面体的外接球的球心在圆锥的高上，圆锥的高为：，外接球的半径为R，可得

，解得，

所以四面体外接球的表面积为：

故答案为：

求出四面体的底面外接圆的半径，然后求解四面体外接球的半径，即可求解四面体外接球的表面积．

本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．

16.【答案】

【解析】解：由题意得：，故，

设点，且I在上垂足为H，

根据双曲线定义及切线长定理得：

，

又，解得：，

所以点H坐标为，即横坐标为3，

设渐近线的倾斜角为，则，

记，则，

所以，即，

又，解得负值舍，

所以，则，

所以

故答案为：3，

先由双曲线的定义得到点I在上垂足为右顶点，设出渐近线的倾斜角为，则，

，则，求出，从而求出，求出的面积的取值范围．

本题考查双曲线的几何性质，双曲线中焦点三角形内切圆问题，方程思想，函数思想，属中档题．17.【答案】解：，即，

，

又，则，故，

又，即，

则；

选①②，则③成立；

证明：，

由得，

，则，

所以，则，

选②③，则①成立；

证明：，

由得，

由，则，

由，故

选①③，则②成立；

证明：，

在中，由余弦定理得，解得，

由得，

则

【解析】由三角形内角性质及三角恒等变换可得，结合二倍角正切公式、同角三角函数关系，即可得出答案；

根据所选两个条件，结合平方关系、余弦定理、三角形面积公式求证第三个条件成立，即可证明结论．

本题考查解三角形，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

18.【答案】解：由题意可知：有两种组合满足条件：

①，，此时等差数列，，

所以其通项公式为

②，，此时等差数列，，

所以其通项公式为

若选择①，

则

若，成等比数列，则，

即，整理，得，

此方程无正整数解，故不存在正整数k，使，成等比数列．

若选择②，

则，

若，成等比数列，则，

即，整理得，因为k为正整数，所以，

故存在正整数，使，成等比数列．

【解析】由题意利用等差数列的定义和性质，写出它的通项公式．

由题意利用等比数列的定义和性质，求出k的值，从而得出结论．

本题主要考查等差数列的前n项和公式，等差数列、等比数列的性质，属于中档题．19.【答案】证明：如下图，连接MD，由M，D分别是AB，AC的中点，

故且，

在三棱柱中，N是中点，故且，

所以且，即为平行四边形，故，

又面CDN，面CDN，故平面CDN；

解：由点在底面上的投影为AC的中点D，即面ABC，DB，面ABC，

所以，

由底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，则，

所以，DB，DC两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，

所以，

则，

若为侧面的法向量，则，

令，则，

故，

即直线DE与侧面所成角的正弦值为

【解析】连接MD，根据中位线、棱柱的性质得且、且

，进而有为平行四边形得到线线平行，根据线面平行的判定证结论；

首先证，DB，DC两两垂直，再构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值即可．

本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．20.【答案】解：，

，

，

所以，则，

故y关于x的线性回归方程为；

设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X，

则X的所有可能取值为0，1，2，

，

，

，

所以X的分布列为：

X012

P

所以，

，

令，即，解得，

又因为，

所以，

所以p的取值范围为

【解析】根据最小二乘法求线性回归方程即可；

设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X，求出分布列得到期望，由期望的性质求出，列出不等式求解即可．

本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．

21.【答案】解：因为椭圆的离心率为，椭圆的右焦点，所以，，则，故，

因此，椭圆C的方程为

设、，设直线MN的方程为，其中，

联立，得，

由韦达定理可得，

所以，

易知点、，

所以，直线AM的方程为，

将代入直线AM的方程可得，即点，，

所以，

所以，

【解析】根据题意求出c、a、b的值，可得出椭圆C的方程；

设、，设直线MN的方程为，其中，将直线MN的方程

与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出、、的表达式，进而可求得实数的值．

本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．

22.【答案】解：当时，

，

令，解得：，

令，解得，

故在单调递减，在单调递增，

所以函数的增区间为，减区间为；

证明：，

设，

，

，

，，

，

不妨设，

由于的定义域为

，

，

，

使得为的极小值点，

，

，

，

，

在单调递增，在单调递减，

，

，

在单调递增，

，

，

综上，的最小值为

【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值和最值，属于难题．对函数进行求导，令导数大于0可得增区间，令导数小于0可得减区间；

利用导数研究函数的单调性，可知函数存在极小值点，由可得

，求导，研究

的单调性可得，进一步研究，可得，由在单调递增，可得，从而可得的最小值．