基础自测
1.（2008· 福建理，4）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为 （ ）
A.3 B.0 C.-1 D.-2
答案 B
2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 （ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B
3.（2009·新郑二中模拟）设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-∞,0）上单调递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系为 （ ）
A.f(a+1)≥f(b+2) B.f(a+1)≤f(b+2)
C.f(a+1)＜f(b+2) D.f(a+1)＞f(b+2)
答案 D
4.已知f（x）=是奇函数，则实数a的值等于 （ ）
A.1 B.-1 C.0 D.±1
答案 A
5.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］ (a＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数；④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
例1 判断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)=;
(2)f(x)=log2(x+) (x∈R);
(3)f(x)=lg|x-2|.
解 （1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.
∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),
故f(x)既是奇函数又是偶函数.
（2）方法一 易知f(x)的定义域为R，
又∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
方法二 易知f(x)的定义域为R，
又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（3）由|x-2|＞0，得x≠2.
∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.
例2 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.
（1）证明 ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（2）解 方法一 设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）. ∵x∈R+，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0, ∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x, ∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
方法二 设x1＜x2,且x1,x2∈R.
则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
例3 （12分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x) .
（1）求证：f(x)是周期函数；
（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)= x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的个数.
（1）证明 ∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x）， 2分
∴f（x）是以4为周期的周期函数. 3分
（2）解 当0≤x≤1时，f(x)= x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.
∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,
∴-f（x）=-x，即f(x)= x. 5分
故f(x)= x(-1≤x≤1) 6分
又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,
∴f(x-2)= (x-2), 7分
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），
∴-f（x）=（x-2），
∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）. 8分
∴f（x）= 9分
由f(x)=-,解得x=-1.
∵f（x）是以4为周期的周期函数.
故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z). 10分
令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,
又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,
∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-. 12分
1.判断下列各函数的奇偶性：
（1）f（x）=（x-2）；
（2）f（x）=；
（3）f（x）=
解 （1）由≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.
（2）由得定义域为（-1，0）∪（0，1）.
这时f（x）=.
∵f（-x）=-∴f（x）为偶函数.
（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.
x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).
-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.
∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.
2.已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3.
（1）证明：函数y=f(x)是R上的减函数；
（2）证明：函数y=f(x)是奇函数；
（3）试求函数y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域.
（1）证明 设x1，x2∈R，且x1＜x2, f(x2)=f［x1+(x2-x1)］=f(x1)+f(x2-x1).
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)＜f(x1).故f(x)是R上的减函数.
（2）证明 ∵f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立，∴可令a=-b=x,则有f（x）+f（-x）=f（0），
又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而x∈R，f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）.故y=f(x)是奇函数.
（3）解 由于y=f(x)是R上的单调递减函数，
∴y=f（x）在［m，n］上也是减函数，故f(x)在［m，n］上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).
由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=n f(1),同理f(m)=mf(1).
又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m,f(n)=-n.∴函数y=f(x)在［m,n］上的值域为［-n,-m］.
3.设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0，］都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），
且f（1）=a＞0.
（1）求f()及f()；
（2）证明：f（x）是周期函数；
（3）记an=f(2n+，求an.
（1）解 ∵对x1、x2∈，都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），
∴f（x）=f(≥0，x∈［0，1］.
∴f（1）=f(
f(.
∵f(1)=a＞0, ∴f(
（2）证明 ∵y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R.
又由f（x）是偶函数知，f（-x）=f（x），x∈R，
∴f（-x）=f（2-x），x∈R.
将上式中-x用x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.
（3）解 由（1）知f（x）≥0，x∈［0，1］.
∵f(=f(…
=f(…·f(又f(
∵f（x）的一个周期是2，∴an=f(2n+)=f(),∴an=a.
一、选择题
1. f(x),g(x)是定义在R上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的 ( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.（2008·重庆理，6）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是 （ ）
A.f（x）为奇函数 B.f（x）为偶函数
C.f（x）+1为奇函数 D.f（x）+1为偶函数
答案 C
3.已知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），若f（0）
=2，则f（2 008）的值为
A.2 B.0 C.-2 D.±2
答案 A
4.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （ ）
①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x·f(x); ④y=f(x)+x.
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
答案 D
5.设f(x)是R上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x1＜0,且x1+x2＞0,则 （ ）
A.f(x1)＞f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)＜f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定
答案 A
6.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在R上f(x)的表达式为 （ ）
A.-x(x-2)
B.x(|x|-2)
C.|x|(x-2)
D.|x|(|x|-2)
答案 B
二、填空题
7.已知函数f(x)=g(x)+2,x∈［-3，3］，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M+N= .答案 4
8.f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)= .
答案 -b+4
三、解答题
9.已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(1)求证：f(x)是周期函数.
(2)已知f(3)=2，求f(2 004).
（1）证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1)∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),
则f(x+2)=f
∴f(x+3)=f
f(x+6)=f
∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
(2)解 f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.
10.已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.
解 ∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），
即f（x）=-xlg(2+x) （x＞0）.∴f(x)=
即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).
11.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
（1）试判断f(x)的奇偶性；
（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
解 (1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),
此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.
（2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,
∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，
从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1.
当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,
∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2+1.
12.设函数f(x)在（-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.
（1）试判断函数y=f（x)的奇偶性；
（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论
解（1）由 从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f(3)=f(1)=0,而f(7)≠0,故f(-3)≠0.
故函数y=f（x)是非奇非偶函数.
（2）由（1）知y=f(x)的周期为10.
又f（3）=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,
故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y=f(x)在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005，0］上有400个解，所以函数y=f(x)在［-2 005，2 005］上有802个解.
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