指数与指数函数》高三第一轮复习讲义

咸丰一中数学组：青华

高考要求：    

（1）通过具体实例（如细胞的，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

重点难点：

对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质；

指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．

知识梳理

1．根式的概念

(1)根式

如果一个数的n次方等于a  ( n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做___________，其中n>1且n∈N*.式子叫做_______，这里n叫做_________，a叫做__________．

(2)根式的性质

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．负数没有偶次方根

③;__________（须使有意义）.       

④零的任何次方根都是零．

2.有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂：N*).

n个

②零指数幂：

③负整数指数幂： Q a≠0，).

④正分数指数幂：a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.

⑤负分数指数幂：=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）

⑥0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂___________.

(2)有理指数幂的运算性质

①aras＝________(a>0，r，s∈Q)． 

 ②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)．

③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．

（注）上述性质对r、R均适用。

3．指数函数的图象与性质

2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；

3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。

4）指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则

                           在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小； 

                          在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小； 

即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

探究点一　有理指数幂的化简与求值

例1（1）　

（2） 

（3）已知则                。

指数幂化简与求值的原则和要求： 

(1)化简原则：

①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；

③化小数为分数；      ④注意运算的先后顺序． 

(2)结果要求： 

①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； 

②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示； 

③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂． 

探究点二　指数函数的图象及其应用

例2　（1）.已知函数的图象恒过定点A（其坐标与a无关），则定点A的坐标为         ．

（2）若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________.

（3）已知函数y＝()|x+1|.

①作出函数的图象(简图)；         ②由图象指出其单调区间；

③由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．

4. y＝2-x的图像可以看成是由函数y＝2-x+1＋3的图像平移后得到的，平移过程是      (　 　)

A．向左平移1个单位，向上平移3个单位 B．向左平移1个单位，向下平移3个单位

C．向右平移1个单位，向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，向下平移3个单位

5.函数y＝的图象大致为                      (　 　)

6、函数与的图象的交点个数是（    ）

A．0个   B．1个  C．2个   D．3个

7、函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是             

探究点三　指数函数的性质及应用

例3　（1）函数y=的值域是（    ）

A.{y|y<-或y>0}    B.{y|y<0或y>0}   C.{y|y<-2或y>0}     D.{y|y<-或y>2}

（2）已知函数的值域为，则的范围是            （     ）

A.         B.         C.       D.

（4）下列各式中正确的是（   ）

点评：比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．

（5）若函数则的值为              

（6）若关于x的方程25-|x+1|-4×5-|x+1|=m有实数根，则实数m的取值范围是（    ）

A.m<0                B.m≥-4               C.-4≤m<0           D.-3≤m<0

（7）例2．设0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．

（8）．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

①求a，b的值；  ②判断并证明函数的单调性；

③若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

课后练习：

1．下列结论正确的个数是  (　　)

①当a<0时，＝a3；    ②＝|a|；

③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；

④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.

A．0            B．1            C．2            D．3

2．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有             (　　)

A．a＝1或a＝2        B．a＝1      C．a＝2            D．a>0且a≠1

3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是                           (　　)

A．aB．aC．bD．b4．已知实数、满足等式()a＝()b下列五个关系式 ①；②    ；

③；④；⑤其中不可能成立的关系式有

    A．1个             B．2个             C．3个             D．4个

5. 设 y3＝()－1. 5，则 (        )

   A．y3>y1>y2      B．y2>y1>y3       C．y1>y2>y3    D．y1>y3>y2

6. 若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于  (　　)

A.        B．2或－2       C．－2            D．2

7.下列说法中，正确的是    （    ）

①任取x∈R都有3x＞2x  ②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a－x 

③y=()－x是增函数   ④y=2|x|的最小值为1  

⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2－x的图象对称于y轴

A．①②④    B．④⑤    C．②③④    D．①⑤

8．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　)                                                      

9．函数y＝()x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是 (　　)

10.正实数x1,x2及函数f(x)满足4x=,且f(x1)+f(x2)=1,则f(x1+x2)的最小值为（    ）

A.4        B.2      C.                D.

11．若为奇函数，则实数         ．

12．若曲线与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 

13使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)≤g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)＝，g(x)＝2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则m－n的最大值为________． 

14．设关于的方程R），

（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。