讲义_-_万有引力典型例题

例1、假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则：（　 ）

　　A、根据公式，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍。

　　B、根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的。

　　C、根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的。

　　D、根据上述(B)和(C)中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的。

　　解析：

　　设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r1，所受到的地球引力为F1；当人造地球卫星的轨道半径增为r2=2r1时所受到的地球引力为F2，则：

　　由此可知：选项(C)是正确的。“卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的。既然(C)是正确的，那么与其结果不同的(B) 显然是不正确的。

　　又人造地球卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则：

　　将r2=2r1代入可得：

　　由此可知：选项(D)是正确的。既然(D)是正确的，那么其结果不同的(A)显然是不正确的。

　　说明：

　　解答这个问题不应靠想象和猜测，而应通过踏实地推导才能正确地选出答案。在解答过程时需要认真思考的是各公式使用的条件:在使用分析问题时，不能只看到r与v的关系，还需考虑因r的变化而引起的万有引力F的变化。在使用分析问题时，不能只看到r与向心力的关系，还需考虑万有引力是否变化？线速度是否变化？在推导的顺序上，可选择变量较少且不易出差错的选项入手,由于公式中，G、M、m都是不变的量，因此推导F和r的关系不易出错。

　　例2、可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道：（　 ）

　　A、与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆

　　B、与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

　　C、与赤道表面的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的

　　D、与赤道表面的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的

　　解析：

　　只有参与地球自转的物体的运行轨道才可能与某一纬度线(非赤道)是共面同心圆，而人造地球卫星的圆轨道必须以地心为圆心，所以选项A错误。

　　若发射一颗极地卫星，其圆轨道必永远与赤道平面垂直，而某一经度线所决定的圆是随地球自转而转动的，所以选项B错误。

　　不论发射的是否为同步卫星，只要其圆轨道与赤道表面的赤道线是共面同心圆，其圆心都为地心，都是可以实现的。这其中只有同步卫星(距地表高度为36000km)是相对地球表面静止的，其它高度上的卫星相对地球表面是运动的。所以选项C、D正确。

　　说明：

　　本题是一道关于卫星轨道的问题，在这个问题上容易造成概念模糊。卫星的轨道不论是同步轨道、极地轨道还是任意轨道，其圆心必为地心，只有这样万有引力作为向心力才能时刻指向圆心。

　　例3、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，若轨道距地面的高度等于地球半径1.5倍，地球半径为R0=6.4×106m，地面附近的重力加速度，求这颗人造地球卫星的周期是多少？

　　解析：

　　人造卫星绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，是由地球对卫星的万有引力提供的，则：

　　∴ 

　　在地面附近，物体所受重力近似等于万有引力

　　例4、宇航员站在一行星表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到行星表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面内，该行星的半径为R，万有引力常数为G，求该行星的质量。

　　解析：

　　设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有：

　　x2+h2=L2　　　　　　　　①

　　根据平抛运动规律，当初速度增大到2倍，某水平射程也增大到2x，可得：

　　(2x)2+h2=(L)2　　　　②

　　由①、②解得

　　设该行星上的重力加速度为g，由平抛运动规律，得：

　　 　　　　　　　 ③

　　由万有引力定律与牛顿第二定律，得：

　　 　　　　④

　　联立以上各式解得：

　　说明：

　　本题是平抛运动的变形题，只是把物体由地球移到了星球上，关键在于平抛运动的两个分运动特点要掌握，并要注意到两分运动位移关系，再注意到星球附近物体所受重力可近似为星球对物体的万有引力，该题即可求解。

　巩固练习：

　　1、一名宇航员来到某星上，此星的密度为地球的一半，半径也为地球的一半，则他受到的“重力”为在地球上所受重力的：（　 ）

　　A、1/4　 　　B、1/2　 　　C、2倍　 　　D、4倍

　2、地球绕太阳公转的周期跟月球绕地球公转的周期之比是p，地球绕太阳公转的轨道半径跟月球绕地球公转轨道半径之比是q，则太阳跟地球的质量之比M日:M地为：（　 ）

　　A、q3/p2　 B、p2q3　 　C、p3/q2　 　　D、无法确定

3、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2，r2＜r1。以EK1、EK2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两上轨道上绕地运动的周期，则：（　 ）

　　A、EK2＜EK1，T2＜T1　          　B、EK2＜EK1，T2＞T1

　　C、EK2＞EK1，T2＜T1　            D、EK2＞EK1，T2＞T1

4、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点(如图)，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的：（　 ）

　　A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

　　B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

　　C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度

　　D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度 

5、一个球形天体的自转周期为T(s)，在它两极处用弹簧秤称得某物体的重力为G(N)，在赤道处称得该物体的重力为0.9G(N)。则该天体的平均密度为__________。

　　6、在一个半径为R的星球表面，以速度v竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回星球表面。若在这个星球表面发射一个绕它做圆周运动的人造卫星，人造卫星的最小周期是_________。

　　7、2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内。若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地面表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）

　参：

　　1、A　　 2、A　　 　3、C　　　 　4、BD 　5、 　　　　　6、 　　　 

　　7、