2016辽宁石化职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

  1．满足条件M{0，1，2}的集合共有（ ）

  A．3个    B．6个     C．7个     D．8个

  2．（文）等差数列中，若，，则前9项的和等于（ ）

  A．66     B．99      C．144     D．297

  （理）复数，，则的复平面内的对应点位于（ ）

  A．第一象限          B．第二象限

  C．第三象限          D．第四象限

  3．函数的反函数图像是（ ）

              A          B

              C          D

  4．已知函数为奇函数，则的一个取值为（ ）

  A．0      B．    C．      D．

  5．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有（ ）

  A．种          B．种

  C．种           D．种

  6．函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是（ ）

  A．5，-15           B．5，-4

  C．-4，-15           D．5，-16

  7．（文）已知展开式的第7项为，则实数x的值是（ ）

  A．    B．-3     C．      D．4

  （理）已知展开式的第7项为，则的值为（ ）

  A．     B．     C．     D．

  8．过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（ ）

  A．   B．    C．    D．

  9．给出下面四个命题：①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交；②“直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l⊥平面；③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；④“直线∥平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ）

  A．1个    B．2个     C．3个     D．4个

  10．若0＜a＜1，且函数，则下列各式中成立的是（ ）

  A．     B．

  C．     D．

  11．如果直线y＝kx＋1与圆交于M、N两点，且M、N关于

直线x＋y＝0对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（ ）

  A．     B．      C．1      D．2

  12．九0年度大学学科能力测验有12万名学生，各学科成绩采用15级分，数学学科能力测验成绩分布图如下图：请问有多少考生的数学成绩分高于11级分？选出最接近的数目（ ）

  A．4000人           B．10000人

  C．15000人          D．20000人

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

  二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上

  13．已知：＝2，＝，与的夹角为45°，要使与垂直，则__________．

  14．若圆锥曲线的焦距与k无关，则它的焦点坐标是__________．

  15．定义符号函数  ，则不等式：的解集是__________．

  16．若数列，是等差数列，则有数列也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有__________也是等比数列．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

  17．（12分）一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率．

  18．（12分）已知：（R，a为常数）．

  （1）若，求f（x）的最小正周期；

  （2）若，时，f（x）的最大值为4，求a的值．

  注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．

  19甲．（12分）如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，，．

  （1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；

  （2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．

  19乙．（12分）如图，三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧面是菱形且垂直于底面，∠＝60°，M是的中点．

  （1）求证：BM⊥AC；

  （2）求二面角的正切值；

  （3）求三棱锥的体积．

  20．（12分）已知函数f（x）的图像与函数的图像关于点A（0，1）对称．

  （1）求f（x）的解析式；

  （2）（文）若，且在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围；

  （理）若，且在区间（0，上为减函数，求实数a的取值范围．

  21．（12分）假设A型进口车关税税率在2002年是100％，在2007年是25％，2002年A型进口车每辆价格为万元（其中含32万元关税税款）．

  （1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90％，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？

  （2）某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8％（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？

  22．（14分）如图，直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．

  （1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；

  （2）（文）是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点，且线段MN的中点为C，若存在，求l与直线AB的夹角，若不存在，说明理由．

  （理）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．

参

1．B 2．（文）B （理）D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．（文）A （理）D 

8．D 9．B 10．D 11．A 12．B 13．2

  14．（0，）  15．  16．

  17．解析：恰有3个红球的概率

  有4个红球的概率

  至少有3个红球的概率

  18．解析：∵ 

  （1）最小正周期 

  （2），

  ∴ 时 ，∴ ，  ∴ a＝1．

  19．解析：（甲）（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）设P（0，0，2m）（1，1，m）， ∴ （-1，1，m），＝（0，0，2m）

  ∴ ，，

  ∴ 点E坐标是（1，1，1）

  （2）∵ 平面PAD， ∴ 可设F（x，0，z）＝（x-1，-1，z-1）

  ∵ EF⊥平面PCB ∴ ，-1，2，0，

  ∵  ∴ ，-1，0，2，-2

  ∴ 点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．

  （乙）（1）证明：∵ 是菱形，∠＝60°△是正三角形

  又∵ 

  （2） ∴ ∠BEM为所求二面角的平面角

  △中，60°，Rt△中，60°

  ∴ ， ∴ 所求二面角的正切值是2；

  （3）．

  20．解析：（1）设f（x）图像上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）图像上

  ∴ ， ∴ ，即 

  （2）（文）：，即在（0，上递减， ∴ a≤-4

  （理）：， ∵  在（0，上递减，

  ∴ 在（0，时恒成立．

  即 在（0，时恒成立． ∵ （0，时， ∴．

  21．解析：（1）2007年A型车价为32＋32×25％＝40（万元）

  设B型车每年下降d万元，2002，2003……2007年B型车价格为：（公差为-d）

  ，…… ∴ ≤40×90％ ∴ 46-5d≤36 d≥2

  故每年至少下降2万元

  （2）2007年到期时共有钱

  ＞33（1＋0.09＋0.00324＋……）＝36.07692＞36（万元）

  故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车

  22．解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，A（-1，0），B（1，0）

  设椭圆方程为：

  令 ∴

  ∴ 椭圆C的方程是：

  （2）（文）l⊥AB时不符合，

  ∴ 设l：

  设M（，），N（，），

  ∵   ∴ ，即，

  ∴ l：，即 经验证：l与椭圆相交，

  ∴ 存在，l与AB的夹角是．

  （理），，l⊥AB时不符，

  设l：y＝kx＋m（k≠0）

  由 

  M、N存在∆

  设M（，），N（，），MN的中点F（，）

  ∴ ，

  ∴   ∴ 

  ∴   ∴ 且

  ∴ l与AB的夹角的范围是，．