利用均值不等式求最值的九种技巧

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第二节 不等式(组)

第一节 一元一次不等式

不等式复习导引

浅谈含参数的不等式问题

不等式考点透析

分类讨论法在解含参数的有理不等式时...

谈不等式证明的几种特殊方法

一元一次不等式复习指南

不等式易错题剖解 　　利用均值（基本）不等式求最值是历年高考的热点内容之一.利用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备.下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧，供同学们参考.

　　一、 添、减项（配常数项）

　　例1 求函数y=3x2+162+x2的最小值.

　　分析 3x2+162+x2是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而12+x2可与x2+2相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即y=3x2+6+162+x2-6，再用均值不等式.

　　解 x2+2＞0,y=3x2+162+x2=3(x2+2)+162+x2-6

　　≥23(2+x2)·162+x2-6=83-6,

　　当且仅当3(2+x2)=162+x2，即x2=433-2时,等号成立.

　　所以y的最小值是83-6.

　　评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.

　　二、 配系数（乘、除项）

　　例2 已知x＞0，y＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值.

　　分析 lgx+lgy=lg(x+y),xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x+y是否定值，

　　而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为3x·2y6，再用均值不等式.

　　解 x,y＞0,lgx+lgy=lg(xy)=lg3x·2y6≤lg163x+2y22=lg161222=lg6，

　　当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时，等号成立.

　　所以lgx+lgy的最大值是lg6.

　　评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用ab≤a+b22来解决.

　　三、 裂项

　　例3 已知x＞-1，求函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值.

　　分析 在分子的各因式中分别凑出(x+1)，借助于裂项解决问题.

　　解 x+1＞0,y=[(x+1)+4][(x+1)+1]x+1

　　=(x+1)+4x+1+5

　　≥2(x+1)4x+1+5=9，

　　当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.

　　所以ymin=9.

　　四、 取倒数

　　例4 已知0＜x＜12，求函数y=(x+1)2x(1-2x)的最小值.

　　分析 分母是x与(1-2x)的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为（1+x）(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.

　　解 由0＜x＜12，得1+x＞0，1-2x＞0.

　　取倒数，得

　　1y=x(1-2x)(1+x)2=13·3x1+x·1-2x1+x

　　≤133x1+x+1-2x1+x22=112，

　　当且仅当3x1+x=1-2x1+x，即x=15时，取等号.

　　故y的最小值是12.

　　五、 平方

　　例5 已知x＞0，y＞0，且2x2+y23=8，求 x6+2y2的最大值.

　　分析 条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式 x6+2y2平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.

　　解 (x6+2y2)2=x2(6+2y2)

　　=3·2x21+y23

　　≤32x2+1+y2322=3922，

　　当且仅当2x2=1+y23，即x=32，y=422时，等号成立.

　　故x6+2y2的最大值是923.

　　评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为x2(6+2y2)，先配系数，再运用均值不等式的变式.

　　六、 换元（整体思想）

　　例6 求函数y=x+22x+5的最大值.

　　分析 可先令x+2=t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.

　　解 令x+2=t，则t≥0，x=t2-2，

　　则y=t2t2+1(t≥0).

　　当t=0时，y=0；

　　当t＞0时，y=12t+1t≤122t·1t=24.

　　当且仅当2t=1t，即t=22时，取等号.

　　所以x=-32时，y取最大值为24.

　　七、 逆用条件

　　例7 已知1x+9y=1(x＞0,y＞0),则x+y的最小值是 .

　　分析 直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而无法求x+y的最小值.这时可逆用条件，即由1=1x+9y，得x+y=(x+y)1x+9y，然后展开即可解决问题.

　　解 由x＞0，y＞0，1x+9y=1,得

　　x+y=(x+y)1x+9y=yx+9xy+10≥2yx·9xy+10=16，

　　当且仅当yx=9xy，即x=4，y=12时，等号成立.

　　故x+y的最小值是16.

　　评注 若已知x＞0，y＞0，x+y=1(或其他定值)，要求1x+9y的最大值，则同样可运用此法.

　　八、 巧组合

　　例8 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4- 23,求2a+b+c的最小值 .

　　分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a+b≥ 2ab来解决.换个思路，可考虑将2a+b+c重新组合，变成(a+b)+(a+c)，而（a+b）(b+c)等于定值4-23，于是就可以利用均值不等式了.

　　解 由a,b,c＞0，知2a+b+c=(a+b)+(a+c)

　　≥2(a+b)(a+c)=2a2+ab+ac+bc=24-23=23-2，当且仅当b=c,即b=c=

　　3-1-a时，等号成立.

　　故2a+b+c的最小值为23-2.

　　九、 消元

　　例9 （2008年江苏卷）设x，y，z为正实数，x-2y+3z=0，则y2xz的最小值是.

　　分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得y=x+3z2，则可对y2xz进行消元，用x，z表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.

　　解 由x,z＞0,y=x+3z2，可得y2xz=x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3，当且仅当x=3z，即x=y,z=y3时，取“=”.

　　故y2xz的最小值为3.

　　巩 固 练 习

　　1. 当0＜x＜π2时，f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x的最小值为 .

　　2. 若x,y是正数，则x+12y2+y+12x2的最小值是 .

　　3. 已知对于x,y∈R且x＜y,不等式x+y≤ax+y恒成立，求实数a的最小值.

　　4. 如右图，要设计一张矩形广告，该广告要包含左右两个全等的矩形栏目（即右图中阴影部分），这两个栏目的面积之和为18 000cm2，四周空白的宽度均为10cm,中缝空白的宽度为5cm,怎样确定该广告的高与宽的尺寸（单位：cm）,才能使该广告的面积最小？

　　（参见第41页）