2021-2022学年江西省南昌二十八中教育集团九年级(上)期末数学试卷(解析版)

一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分．只有一项是最符合题目要求的）

1．“篮球运动员投篮一次，投中篮筐”这一事件是（　　）

A．确定事件    B．必然事件    C．不可能事件    D．不确定事件

2．下面是应用的几个子频道图标，其中图案是中心对称图形的是（　　）

A．我的书架    B．强国应用    

C．防疫行程卡    D．强国医生

3．若⊙O的半径r＝6，点O到直线l的距离为3，下列图中位置关系正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（　　）

A．25°    B．30°    C．35°    D．40°

5．若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为2的是（　　）

A．图1    B．图2    C．图3    D．图4

6．从﹣3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程ax2+3x﹣1＝0的系数a的值，能使该方程有实数根的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

7．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则k的值为 　   　．

8．如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形＝　   　cm2．

9．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．健康码用打印机打印在边长为2cm的正方形区域内．为了估计图中阴影部分的总面积，老师在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，由此可估计阴影部分的总面积约为 　   　cm2．

10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为直线x＝1，若点A（2，y1）与B（3，y2）是此抛物线上的两点，则y1　   　y2（填“＞”或“＜”）．

11．将二次函数y＝3x2的图象沿y轴方向向上平移1个单位，沿x轴方向向右平移3个单位的函数解析式为 　   　．

12．如图，A（﹣1，6）是双曲线y＝（x＜0）上一点，P为y轴正半轴上一点，将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线另一点B，则点B的坐标为 　   　．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分）

13．解方程：

（1）2y2﹣5y﹣3＝0；

（2）x2﹣1＝2（x+1）．

14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣3）、C（4，﹣4），

（1）作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；

（2）写出点A1、B1、C1的坐标．

15．某校开展“垃圾分类，从我做起”的活动，该活动的志愿者从甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取．

（1）若随机抽取1名，甲被抽中的概率为　   　；

（2）若随机抽取2名，求甲在其中的概率．

16．已知△ABC内接于⊙O，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中作出平分∠BAC的弦（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）如图1，P是BC边的中点；

（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．

17．如图，已知BC为⊙O的直径，BC＝5，AB＝3，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）求BD，CD的长．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分）

18．圆周率π的故事

我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率π的值﹣﹣﹣“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估计圆周率π的值．

（1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为　   　，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式C＝2πr，可以估计π＝≈　   　．

（2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计π的值．

19．截止2021年3月15号，我国自主研发的新冠疫苗已接种超过6200万剂次．疫苗已经经过三期临床试验，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度y（miu/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）．

（1）根据图象求当x≤20时，y与x之间的函数关系式；

（2）根据图象求当x≥20时，y与x之间的函数关系式；

（3）体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为多少天？

20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．

（1）求证：CE为⊙O的切线；

（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．

五、解答题（本大题共2题，每小题9分，共计18分）

21．国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米．

（1）求此抛物线解析式；

（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远？

22．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）．

（1）求b、k、m的值；

（2）根据图象直接写出﹣x+b＜（x＞0）的解集；

（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．

六、解答题（本大题12分）

23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

参

一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分．只有一项是最符合题目要求的）

1．“篮球运动员投篮一次，投中篮筐”这一事件是（　　）

A．确定事件    B．必然事件    C．不可能事件    D．不确定事件

【分析】直接根据随机事件的概念逐一判断即可．

解：“篮球运动员投篮一次，也可能投中篮筐，也可能投不中篮筐”这一事件是不确定事件．

故选：D．

2．下面是应用的几个子频道图标，其中图案是中心对称图形的是（　　）

A．我的书架    B．强国应用    

C．防疫行程卡    D．强国医生

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．

解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；

B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

3．若⊙O的半径r＝6，点O到直线l的距离为3，下列图中位置关系正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．

解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为3，

∵6＞3，即：d＜r，

∴直线l与⊙O的位置关系是相交．

故选：A．

4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（　　）

A．25°    B．30°    C．35°    D．40°

【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．

解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，

∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，

∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，

故选：B．

5．若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为2的是（　　）

A．图1    B．图2    C．图3    D．图4

【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．

解：图1中，阴影面积为4；

图2中，阴影面积为×4＝2；

图3中，阴影面积为2××4＝4；

图4中，阴影面积为4××4＝8；

则阴影面积为2的有1个．

故选：B．

6．从﹣3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程ax2+3x﹣1＝0的系数a的值，能使该方程有实数根的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】首先确定使得一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有实数根的a的取值范围，然后利用概率公式求解即可．

解：一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有实数根时，b2﹣4ac≥0，

即：32﹣4a×（﹣1）≥0，

解得：a≥﹣，

∴从﹣3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程ax2+3x﹣1＝0的系数a的值时只有1，2适合，

∴能使该方程有实数根的概率是＝，

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

7．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则k的值为 　1　．

【分析】先把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0得1+k﹣2＝0，然后解关于k的方程即可．

解：把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0得1+k﹣2＝0，

解得k＝1．

故答案为：1．

8．如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形＝　4　cm2．

【分析】根据扇形的面积公式S扇形＝×弧长×半径求出即可．

解：由题意知，弧长＝8﹣2×2＝4cm，

扇形的面积是×4×2＝4cm2，

故答案为：4．

9．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．健康码用打印机打印在边长为2cm的正方形区域内．为了估计图中阴影部分的总面积，老师在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，由此可估计阴影部分的总面积约为 2.6  cm2．

【分析】根据频率可以估计阴影部分占正方形的65%，求出正方形面积即可求．

解：因为经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，

所以，估计阴影部分面积大约占正方形面积的65%，

正方形的面积为：2×2＝4（cm2），

由此可估计阴影部分的总面积约为：4×65%＝2.6（cm2），

故答案为：2.6．

10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为直线x＝1，若点A（2，y1）与B（3，y2）是此抛物线上的两点，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）．

【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1可得x＞1时，y随x增大而减小，进而求解．

解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，

∴x＞1时，y随x增大而减小，

∴y1＞y2．

故答案为：＞．

11．将二次函数y＝3x2的图象沿y轴方向向上平移1个单位，沿x轴方向向右平移3个单位的函数解析式为 　y＝3（x﹣3）2+1　．

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

解：二次函数y＝3x2的图象沿y轴向上平移1个单位所得函数解析式为：y＝3x2+1；

二次函数y＝3x2+1的图象沿x轴向右平移3个单位所得函数解析式为：y＝3（x﹣3）2+1．

故答案为：y＝3（x﹣3）2+1．

12．如图，A（﹣1，6）是双曲线y＝（x＜0）上一点，P为y轴正半轴上一点，将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线另一点B，则点B的坐标为 　（﹣3，2）或（﹣2，3）　．

【分析】先把A（﹣1，6）代入反比例函数y＝（x＜0）求出k的值，分别过A、B两点作x轴的垂线AC，BD，由旋转的性质证明△APC≌△PBD，再设P（0，m），即可得出B的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求m的值，确定P点坐标．

解：分别过A、B两点作AC⊥y轴，BD⊥y轴，垂足为C、D，

∵A（﹣1，6）是双曲线y＝（x＜0）上一点，

∴k＝﹣6，

∴反比例函数的解析式为y＝﹣，

∵∠APB＝90°，

∴∠APC+∠BPD＝90°，

又∠APC+∠PAC＝90°，

∴∠PAC＝∠BPD，

在△APC和△PBD中，

，

∴△APC≌△PBD（AAS），

∴CP＝BD，AC＝PD＝1，

设P（0，m），

∴OP＝m，

∴PC＝6﹣m

∴B（m﹣6，m﹣1），

∵点B在双曲线上，

∴m﹣1＝，解得m＝3或m＝4，

∴B（﹣3，2）或（﹣2，3）．

故答案为：（﹣3，2）或（﹣2，3）．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分）

13．解方程：

（1）2y2﹣5y﹣3＝0；

（2）x2﹣1＝2（x+1）．

【分析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）先变形为（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．

解：（1）（2y+1）（y﹣3）＝0，

2y+1＝0或y﹣3＝0，

所以y1＝﹣，y2＝3；

（2）（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，

（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，

x+1＝0或x﹣1﹣2＝0，

所以x1＝﹣1，x2＝3．

14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣3）、C（4，﹣4），

（1）作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；

（2）写出点A1、B1、C1的坐标．

【分析】（1）根据中心对称的定义作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接可得；

（2）由所作图形可得点的坐标．

解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）由图知点A1的坐标为（﹣2，1）、B1的坐标为（﹣1，3）、C1的坐标为（﹣4，4）．

15．某校开展“垃圾分类，从我做起”的活动，该活动的志愿者从甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取．

（1）若随机抽取1名，甲被抽中的概率为　　；

（2）若随机抽取2名，求甲在其中的概率．

【分析】（1）由从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种等可能的结果，甲在其中的有3种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．

解：（1）随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们出现的可能性相等．

恰好抽取1名恰好是甲（记为事件A）的结果有1种，

所以P（A）＝．

故答案为：．

（2）画树状图得：

共有12种可能的结果：

（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙）、（丁，丙）．

它们是等可能的，记“随机抽取2名，甲在其中”为事件A，

则事件A发生的可能有6种，

∴．

16．已知△ABC内接于⊙O，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中作出平分∠BAC的弦（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）如图1，P是BC边的中点；

（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．

【分析】（1）连接OP并延长，交⊙O于D，根据P是BC边的中点，可得OD垂直平分BC，进而得到点D为的中点，连接AD，则∠BAD＝∠CAD，因此AD即为所求；

（2）连接PO并延长，交⊙O于E，根据直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC，可得PE垂直平分BC，进而得到点E为的中点，连接AE，则∠BAE＝∠CAE，因此AE即为所求．

解：（1）如图所示，AD 即为所求；

（2）如图所示，AE即为所求．

17．如图，已知BC为⊙O的直径，BC＝5，AB＝3，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）求BD，CD的长．

【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；

（Ⅱ）证明△CBD是等腰直角三角形，可得结论．

解：（Ⅰ）∵BC为直径，

∴∠CAB＝∠CDB＝90°，

在Rt△ABC中，BC＝5，AB＝3，

AC＝＝＝4；

（Ⅱ）∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD，

∴CD＝BD，

在Rt△CBD中，BC＝5，CD＝BD，BD＝CD＝BC＝．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分）

18．圆周率π的故事

我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率π的值﹣﹣﹣“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估计圆周率π的值．

（1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为　　，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式C＝2πr，可以估计π＝≈　2.83　．

（2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计π的值．

【分析】（1）根据题意和勾股定理，可以写出正方形的外接圆的半径，然后即可计算出相应的π的值；

（2）根据题意，可以估计出当正多边形为正六边形时，π的值．．

解：（1）由题意可得，

对于边长为a的正方形，其外接圆半径为：＝，

π＝＝≈2.83，

故答案为：，2.83；

（2）由题意可得，

设正六边形的边长为b，则π＝＝3，

即估计π的值是3．

19．截止2021年3月15号，我国自主研发的新冠疫苗已接种超过6200万剂次．疫苗已经经过三期临床试验，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度y（miu/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）．

（1）根据图象求当x≤20时，y与x之间的函数关系式；

（2）根据图象求当x≥20时，y与x之间的函数关系式；

（3）体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为多少天？

【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；

（2）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；

（3）结合所求解析式，把y＝140代入求出答案．

解：（1）设当x≤20时，y与x之间的函数关系式是y＝kx，

图象过（20，280），

则20k＝280，

解得：k＝14，

y与x之间的函数关系式是：y＝14x，

（2）设当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y＝，

图象过（20，280）解得：k＝5600，y与x之间的函数关系式是y＝；

（3）当x≤20时，140＝14x，

解得：x＝10．

当x≥20时，140＝，

解得：x＝40，

故40﹣10＝30（天），

答：体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为30天．

20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．

（1）求证：CE为⊙O的切线；

（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．

【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得∠CDE＝∠OBC，再根据等量代换和直角三角形的性质可得∠OCE＝90°，由切线的判定可得结论；

（2）如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠CDE＝∠OBC，

∵CE⊥AD，

∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，

∵∠ECD＝∠BCF，

∴∠OCB+∠BCF＝90°，

∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，

∵OC是⊙O的半径，

∴CE为⊙O的切线；

（2）解：如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，

∵∠E＝∠OCE＝90°，

∴四边形OGEC是矩形，

∴OC＝EG，OG＝EC，

设⊙O的半径为x，

Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，

∴EC＝＝2，

∴OG＝2，GD＝x﹣1，OD＝x，

由勾股定理得：OD2＝OG2+DG2，

∴x2＝（2）2+（x﹣1）2，

解得：x＝4.5，

∴⊙O的半径是4.5．

五、解答题（本大题共2题，每小题9分，共计18分）

21．国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米．

（1）求此抛物线解析式；

（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远？

【分析】（1）根据题意找出抛物线顶点坐标，把函数解析式设为顶点式，再把（0，1.9）代入解析式求出a即可；

（2）由（1）解析式，令y＝0，解关于x的一元二次方程即可．

解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（9，10），

设抛物线解析时为：y＝a（x﹣9）2+10，

∵手榴弹离手点离地面高度为1.9米，

∴（0，1.9）在此抛物线上，

∴1.9＝a（0﹣9）2+10，

解得：a＝﹣0.1，

∴抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣9）2+10；

（2）由（1）得：y＝﹣0.1（x﹣9）2+10，

令y＝0，﹣0.1（x﹣9）2+10＝0，

解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝19，

∴志愿军同志的手榴弹扔了19米．

22．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）．

（1）求b、k、m的值；

（2）根据图象直接写出﹣x+b＜（x＞0）的解集；

（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．

【分析】（1）将点A（m，4）和B（4，1）分别代入y＝﹣x+b和即可求解；

（2）观察图象，找到反比例函数图象比一次函数图象高的部分，即为所求；

（3）设P的坐标为（n，﹣n+5）（1≤n≤4），S＝﹣（n﹣）2+，再由1≤n≤4，可得当时，，当n＝1或n＝4时，S最小＝2．

解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，4）和B（4，1），

∴﹣4+b＝1，

解得b＝5，

∴k＝4×1＝4，

∴4m＝k，

解得m＝1，

∴b＝5，k＝4，m＝1；

（2）∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（4，1），

∴的解集为0＜x＜1或x＞4；

（3）依题意，设P的坐标为（n，﹣n+5）（1≤n≤4），

则，

∵1≤n≤4，

∵，

∴当时，，

当n＝1或n＝4时，S最小＝2．

六、解答题（本大题12分）

23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）过N作ND∥y轴，交AC于D，由A（﹣2，0）、C（0，2）得直线AC的解析式为y＝x+2，设N（n，﹣n2﹣n+2），则D（n，n+2），可得ND＝﹣n2﹣2n，即得S△NAC＝ND•|xC﹣xA|＝﹣（n+1）2+1，根据二次函数性质可得答案；

（3）设M（t，0），可得BM2＝（t﹣1）2，CM2＝t2+4，BC2＝12+22＝5，分三种情况：①当BC＝CM时，t2+4＝5，得M（﹣1，0）；②当BM＝BC时，（t﹣1）2＝5，得M（+1，0）或（﹣+1，0）；③当BM＝CM时，（t﹣1）2＝t2+4，得M（﹣，0）．

解：（1）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣1），

把C（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣1），

解得a＝﹣1，

∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，

答：二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）在直线AC上方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大，

过N作ND∥y轴，交AC于D，如图：

设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0）、C（0，2）代入得：

，

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝x+2，

设N（n，﹣n2﹣n+2），则D（n，n+2），

∴ND＝（﹣n2﹣n+2）﹣（n+2）＝﹣n2﹣2n，

∴S△NAC＝ND•|xC﹣xA|＝×（﹣n2﹣2n）×2＝﹣n2﹣2n＝﹣（n+1）2+1，

∵﹣1＜0，

∴当n＝﹣1时，S△NAC有最大值为1，此时N（﹣1，2），

答：在直线AC上方的抛物线上存在点N（﹣1，2），使△NAC的面积最大为1；

（3）在x轴上存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，

设M（t，0），而B（1，0），C（0，2），

∴BM2＝（t﹣1）2，CM2＝t2+4，BC2＝12+22＝5，

①当BC＝CM时，t2+4＝5，

解得t＝1（与B重合，舍去）或t＝﹣1，

∴M（﹣1，0）；

②当BM＝BC时，（t﹣1）2＝5，

解得t＝+1或t＝﹣+1，

∴M（+1，0）或（﹣+1，0）；

③当BM＝CM时，（t﹣1）2＝t2+4，

解得t＝﹣，

∴M（﹣，0），

综上所述，M坐标为（﹣1，0）或（+1，0）或（﹣+1，0）或（﹣，0）．