全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总附详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y ＝12

x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258

）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（

32，﹣54）． 【解析】

【分析】 （1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；

（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；

（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32

=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32

=

交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】 （1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-

，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （3

2528

，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，

21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB

∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）∵顶点D的坐标为（325 28，-

），∴抛物线的对称轴为x

3

2

=．

∵抛物线y1

2

=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x

3

2

=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y2

13

22

x

=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x

3

2

=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：

2

40

b

k b

=-

⎧

⎨

+=

⎩

，解得：

1

2

2

k

b

⎧

=

⎪

⎨

⎪=-

⎩

，∴y

1

2

=x﹣2．

当x

3

2

=时，y

135

2

224

=⨯-=-，∴点M的坐标为（

35

24

-，）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．

2．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=

1

2

DE．

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点

M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①P （﹣1，6），②存在，M （﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，

132）． 【解析】

【分析】

（1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=12

DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．

【详解】

解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，

∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），

Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2， ∴

AC 2BC =， ∴AC 23

=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6）， 把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2

+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：34b c =-⎧⎨=⎩

， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4；

（2）①∵A （﹣2，6），B （1，0），

∴AB 的解析式为：y=﹣2x+2，

设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），

∵PE=1

2

DE，

∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=1

2

（﹣2x+2），

∴x=-1或1（舍），

∴P（﹣1，6）；

②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），

设M（﹣1，y），

∵B（1，0），A（﹣2，6）

∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，

BM2=（1+1）2+y2=4+y2，

AB2=（1+2）2+62=45，

分三种情况：

i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，

∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，

解得：y=311，

∴M（﹣1，11）或（﹣1，311

ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，

∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，

∴M（﹣1，﹣1），

iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，

∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=13

2

，

∴M（﹣1，13

2

）；

综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或

（﹣1，13

2

）．

【点睛】

此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理

的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．

3．如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．

①当线段PQ =34

AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．

【答案】（1）抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）直线BC 的函数表达式为y =x －3．（3）①

23．①P 1（122），P 2（16，74）． 【解析】

【分析】

已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

【详解】

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴− 221

b

b a

-⨯＝＝1 ∴b=-2 ∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3），

∴c=-3，

∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3；

（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，

∴x1=-1，x2=3．

∵A点在B点左侧，

∴A（-1，0），B（3，0）

设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，

则

03

3

k m

m

＝

＝

+

⎧

⎨

-

⎩

，

∴

1

3 k

m

⎧

⎨

-⎩

＝

＝

∴直线BC的函数表达式为y=x-3；

（3）①∵AB=4，PQ=3

4 AB，

∴PQ=3

∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，

则由抛物线的对称性可得PM=3

2

，

∵对称轴是直线x=1，∴P到y轴的距离是1

2

，

∴点P的横坐标为−1

2

，

∴P（−1

2，−

7

4

）

∴F（0，−7

4

），

∴FC=3-OF=3-7

4

=

5

4

∵PQ垂直平分CE于点F，

∴CE=2FC=5 2

∵点D在直线BC上，

∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，

∴DG=1，CG=1，

∴GE=CE-CG=5

2

-1=

3

2

．

在Rt△EGD中，tan∠CED=

2

3 GD

EG

＝．

②P1（2，-2），P2（6

-

5

2

）．

设OE=a，则GE=2-a，

当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），

∴1=1×（2-a），

∴a=1，

∴CE=2，

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的纵坐标为-2，

把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．

∴P1（2-2），

当CD为斜边时，DE⊥CE，

∴OE=2，CE=1，

∴OF=2.5，

∴P和F的纵坐标为：-5

2

，

把y=-5

2

，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-

6

2

1+

6

2

∵点P在第三象限．

∴P2（6-5

2

）．

综上所述：满足条件为P1（2-2），P2（6

-

5

2

）．

【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

4．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：

时间(天)1361036…

日销售量(件)9490847624…

未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—

t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究这种商品的有关问题.

(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.

【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．

【解析】

分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；

（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；

（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．

详解：（1）设数m=kt+b，有,解得

∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上

析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．

（2）设日销售利润为P，

由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，

∵21≤t≤40且对称轴为t=44，

∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，

∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.

（3）P1=（-2t+96）

=-+（14+2a）t+480-96n，

∴对称轴为t=14+2a，

∵1≤t≤20，

∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，

又∵a＜4，

∴3≤a＜4．

点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．

5．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1

2

x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣1

2

t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由

S△PAB=S△PAN+S△PBN=1

2

PN•AG+

1

2

PN•BM=

1

2

PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即

可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣6）（x+2），

将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣1

2（x ﹣6）（x+2）=﹣12

x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，

设直线AB 解析式为y=kx+b ，

将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：

660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩

， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，

设P （t ，﹣

12

t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣

12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12

t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN

=12PN•AG+12

PN•BM =12

PN•（AG+BM ） =12

PN•OB =12×（﹣12

t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t

2

（t﹣3）2+

27

2

，

∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）如图2，

∵PH⊥OB于H，

∴∠DHB=∠AOB=90°，

∴DH∥AO，

∵OA=OB=6，

∴∠BDH=∠BAO=45°，

∵PE∥x轴、PD⊥x轴，

∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形，

则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，

则当y=6时，﹣1

2

x2+2x+6=6，

解得：x=0（舍）或x=4，

即点P（4，6）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

6．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】

解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。

∵△AOB的面积等于6，∴1

2

AO•BD=6。∴BD=4。

∵点B在函数y=x2﹣3x的图象上，

∴4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，

∴x轴下方不存在B点。

∴点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在。

∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22

BO442

=+=。若∠POB=90°，则∠POD=45°。

设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2x x 3x =-。 若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若()2x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。

当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。

∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 2222=+=。

∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：12PO•BO=12×42×22=8。

7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：

2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．

【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．

（2）存在．S △PBC 最大值为

2716 （3）2m =1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】

【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．

（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．

（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．

【详解】

解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，

∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．

∴A （，0）、B （3，0）．

（2）存在．理由如下：

∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），

把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=

+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22

--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23

327p 4216--+

（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），

∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，

解得：12m =22m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，

解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．

综上所述，2m 2

=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．

8．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．

【解析】

【分析】

（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

【详解】

（1）由题意得，

3 2

2

a b

b

a

+-

⎧

⎪

⎨

-⎪

⎩

＝

＝

，

解得

1

4

a

b-

⎧

⎨

⎩

＝

＝

，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,

∵PA⊥BA

∴∠PAF+∠BAE=90°,

∵∠PAF+∠FPA=90°,

∴∠FPA=∠BAE

又∠PFA=∠AEB=90°

∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）

∴x 2-4x=-5 ∴点P 的坐标为（-1，-5），

又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1

所以BP 与x 轴交点为（

14，0） ∴S △PAB=

115531524

⨯⨯+= 【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

9．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣12

x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=

211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣

12

）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】 分析：（1）由待定系数法求解即可；

（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；

（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．

详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得

0421011a b a b --⎧⎨+-⎩

＝＝ 解得1814a b ⎧⎪⎪⎨

⎪-⎪⎩

＝＝ ∴抛物线解析式为：y=18x 2−14

x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1

41228

b a -

=-⨯＝1 （2）存在 使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小

∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．

设过点C′、O 直线解析式为：y=kx

∴k=-

12

∴y=-12x 则P 点坐标为（1，-12

） （3）当△AOC ∽△MNC 时，

如图，延长MN 交y 轴于点D ，过点N 作NE ⊥y 轴于点E

∵∠ACO=∠NCD ，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN ⊥AC

∴M 、D 关于AN 对称，则N 为DM 中点

设点N 坐标为（a ，-12a-1） 由△EDN ∽△OAC

∴ED=2a

∴点D 坐标为（0，-

52a−1） ∵N 为DM 中点

∴点M 坐标为（2a ，

32a−1） 把M 代入y=

18x 2−14

x−1，解得 a=4

则N 点坐标为（4，-3）

当△AOC ∽△CNM 时，∠CAO=∠NCM

∴CM ∥AB 则点C 关于直线x=1的对称点C′即为点N

由（2）N （2，-1）

∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）

点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

10．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC = （1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；

（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.

【答案】（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小值为10131++；（3）12(4,5),(8,45)P P --

【解析】

【分析】

（1）OB=OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，即可求解；

（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；

（3）S △PCB ：S △PCA =

12EB×（y C -y P ）：12

AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，即可求解． 【详解】

（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），

则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，

故-3a=3，解得：a=-1，

故抛物线的表达式为：y=-x 2+2x+3…①；

对称轴为：直线1x =

（2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE ，其中AC=10、DE=1是常数，

故CD+AE 最小时，周长最小，

取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD=C′D ，

取点A′（-1，1），则A′D=AE ，

故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，

四边形ACDE 的周长的最小值

=AC+DE+CD+AE=10+1+A′D+DC′=10+1+A′C′=10+1+13；

（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，

直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5两部分，

2

EB×（y C-y P）：

1

2

AE×（y C-y P）=BE：AE，

则BE：AE，=3：5或5：3，

则AE=5

2

或

3

2

，

即：点E的坐标为（3

2

，0）或（

1

2

，0），

将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，

解得：k=-6或-2，

故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②

联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），

故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．