杨氏模量的测定

【实验目的】

1. 掌握用拉伸法测定金属丝的杨氏模量；

 2. 学会用光杠杆测量长度的微小变化；

 3. 学会用逐差法处理数据。

【实验仪器】

杨氏模量测量仪、光杠杆、镜尺组、钢卷尺、螺旋测微计、钢直尺、砝码

【实验原理】

1. 胡克定律和杨氏弹性模量

当固体受外力作用时，它的体积和形状将要发生变化，这种变化，称为形变。物体的形变可分为弹性形变和塑性形变。固体材料的弹性形变又可分为纵向、切变、扭转、弯曲。当外力不太大时，物体的形变与外力成正比，且外力停止作用物体立即恢复原来的形状和体积，这种形变称弹性形变。当外力较大时，物体的形变与外力不成比例，且当外力停止作用后，物体形变不能完全消失，这种形变称为范性形变。范性形变的产生，是由于物体形变而产生的内应力（大小等于单位面积上的作用力）超过了物体的弹性限度（屈服极限）的缘故。如果再继续增大外力，当物体内产生的内应力超过物体的强度极限时，物体便被破坏了。胡克定律：在物体的弹性限度内，胁强于胁变成正比，其比例系数称为杨氏模量（记为E）。在数值上等于产生单位胁变时的胁强。它的单位是与胁强的单位相同。其中：单位面积上所受到的力称为协强，协变是指在外力作用下的相对形变，它反映了物体形变的大小。杨氏模量来描述材料抵抗纵向弹性形变的能力。

胡克定律指出，在弹性限度内，弹性体的应力和应变成正比。设有一根长为L，横截面积为S的钢丝，在外力F作用下伸长了，则

                                           （5-1）

式中的比例系数E称为杨氏模量，单位为N·m－2。设实验中所用钢丝直径为d，则，将此公式代入上式整理以后得

                                          （5-2）

上式表明，对于长度L，直径d和所加外力F相同的情况下，杨氏模量E大的金属丝的伸长量小。因而，杨氏模量是表征固体材料性质的一个重要的物理量，是工程设计上选用材料时常需涉及的重要参数之一，一般只与材料的性质和温度有关，与外力及物体的几何形状无关。对一定材料而言，E是一个常数，它仅与材料的结构、化学成分及其加工制造的方法有关。杨氏模量的大小标志了材料的刚性。

     为能测出金属丝的杨氏模量 E ，必须准确测出上式中右边各量。其中 L、d、F 都可用一般方法测得，唯有 ΔL 是一个微小的变化量，用一般量具难以测准，为了测量细钢丝的微小长度变化，实验中使用了光杠杆放大法间接测量。利用光杠杆不仅可以测量微小长度变化，也可测量微小角度变化和形状变化。由于光杠杆放大法具有稳定性好、简单便宜、受环境干扰小等特点，在许多生产和科研领域得到广泛应用。

2、光杠杆和镜尺系统是测量微小长度变化的装置

光杠杆结构如图5-1(a) 所示，它实际上是附有三个尖足的平面镜。三个尖足的边线为一等腰三角形。前两足刀口与平面镜在同一平面内（平面镜俯仰方位可调），后足在前两足刀口的中垂线上。镜尺系统由一把竖立的毫米刻度尺和在尺旁的一个望远镜组成。镜尺系统和光杠杆组成如图5-2(b) 所示的测量系统。

  ( a )  光杠杆示意图                      ( b ) 光杠杆示意图

                           图5-1

将光杠杆和镜尺系统按图5-1(b) 安装好，并按仪器调节步骤调节好全部装置之后，就会在望远镜中看到由镜面 M 反射的直尺（标尺）的像。标尺是一般的米尺，但中间刻度为0。其光路部分如图5-2 。图中表示钢丝处于伸直情况下，光杠杆小镜的位置。从望远镜的目镜中可以看见水平叉丝对准标尺的某一刻度线  ，当在钩码上增加砝码（第 i 块）时，因钢丝伸长致使置于钢丝下端附着在平台上的光杠杆后足 P 跟随下降到 P’，PP’ 即为钢丝的伸长  ，于是平面镜的法线方向转过一角度，此时平面镜处于位置. 在固定不动的望远镜中会看到水平叉丝对准标尺上的另一刻线  ，. 假设开始时对光杠杆的入射和反射光线相重合，当平面镜转一角度，则入射到光杠杆镜面的光线方向就要偏转2 ，故，因甚小，OO’也很小，故可认为平面镜到标尺的距离，并有

             （5-3）

又从ΔOPP’，得

                          (5-4)

式中 b 为后足至前足连线的垂直距离，称为光杠杆常数。从以上两式得：

                (5-5)

，可称作光杠杆的“放大率”，上式中 b 和 D 可以直接测量，因此只要在望远镜测得标尺刻线移过的距离，即可算出钢丝的相应伸长。将值代入(5-2)式后得:

                          (5-6)

常用单位是：牛顿/米2. 式中 d 为钢丝的直径。

                             图5-2 光杠杆原理

【实验注意事项】

1．实验系统调好后，一旦开始测量，在实验过程中绝对不能对系统的任一部分进行任何调整。否则，所有数据将重新再测.

2．增减砝码时要防止砝码晃动，以免钢丝摆造成光杠杆移动并使系统稳定后才能读取数据。并注意槽码的各槽口应相互错开，防止因钩码倾斜使槽码掉落.

3．注意保护平面镜和望远镜，不能用手触摸镜面.

4．待测钢丝不能扭折，如果严重生锈和不直必须更换.

5、光杠杆的支脚z1, z2的尖端必须放在V 形槽的最深处，此时光杠杆最平衡。支脚应放在圆柱夹头的圆平面处，而不能放在圆柱形夹头的顶部夹住钢丝的孔或缝里.

6、望远镜调整要消除视差.

7、因刻度尺中间刻度为零，在逐次加砝码时，如果望远镜中标尺读数由零的一侧变化到另一侧时，应在读数上加负号。

8、在读数时应随时注意读数是否有误。这可以由二点来判断。（1）在相同的F下，增重与减重时标尺上的读数应大致相同。（2）由于胁变与胁强成正比，因此每次加1.0公斤时引起的伸长量（即相邻二个读数误差）应大致相同。如果离开这二点要求偏差过大，应检验仪器是否正常，钢丝本身是否直，光杠杆主杆尖脚z3 不要与金属丝相碰，钢丝夹头是否夹紧（特别是光杠杆的支脚的位置及平面镜是否松动，读数是否正确。

9、测量D时应该是标尺到平面的垂直距离。测量时卷尺应该放水平。

10、实验完成后，应将砝码取下，防止钢丝疲劳。

【实验方法与步骤】

1、夹好钢丝，调整支架呈竖直状态，在钢丝的下端悬一钩码和适量砝码，（这些重量不算在以后各次所加重量之内），使钢丝能够自由伸张。

2、安置好光杠杆，前足刀口置于固定平台的沟内，后足置于钢丝下端附着的平台上，并靠近钢丝，但不能接触钢丝。不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中。使平面镜 M 与平台大致垂直.

3、调节望远镜，使之处与平面镜同一高度；沿望远镜筒上面的缺口和准星观察到平面镜 M ；通过改变平面镜 M 的仰角，能够从标尺附近通过平面镜M 反射看到望远镜。调节右侧的物镜调焦手轮和调节镜筒下面的竖直旋钮，改变平面镜M 的仰角,从望远镜中先寻找到平面镜M，并对准平面镜M 中心；然后调节望远镜物镜调焦手轮看到标尺的像。如无标尺的像，则可在望远镜外观察，移动望远镜，使准星A，B 与平面镜中标尺像在一直线上，这时在望远镜中就可以看到标尺的像。调节目镜看清十字叉丝。观察望远镜中的标尺像，标尺要竖直，望远镜应水平对准平面镜中部。

4、试加几个砝码，估计一下满负荷时标尺读数是否够用，如不够用，应对平面镜进行微调，调好后取下砝码。

5、记录望远镜中水平叉丝对准的标尺刻度 初始读数。（不一定要为零），再在钢丝下端加砝码（1.0kg），记录望远镜中标尺读数，以后依次加1.0kg重的砝码，并分别记录望远镜中标尺读数。这是增量过程中的读数。然后再每次减少1.0kg重的砝码，并记下减重时望远镜中标尺的读数，填写在数据记录表格中（见后面数据记录部分）。

6、用米尺尺测量平面镜与标尺之间的距离、钢丝长度，用游标卡尺测量光杠杆长度b（把光杠杆在纸上按一下，留下z1, z2 ，z3三点的痕迹，连成一个等腰三角形。作其底边上的高，即可测出b）。用螺旋测微器测量钢丝直径d ,测量5次。可以在钢丝的不同部位和不同的经向测量。因为钢丝直径不均匀，截面积也不是理想的圆。

7、用分组逐差法计算，，此时，所以由(6)式就可以计算杨氏模量E；并计算误差。（误差公式为： 

                                   ， 

其中不计砝码质量的误差）。

【实验数据记录】

1、数据测量记录： 单位：mm

光杆干平面镜到尺子的距离D=             

光杆干前后足尖的垂直距离b=                

钢丝长度L=                      每个砝码的质量m=    kg

2、钢丝直径

1、从光杠杆的放大倍数考虑，增大D与减小b 都可以增加放大倍数，那么它们有何不同?

2、怎样提高测量微小长度变化的灵敏度？是否可以增大D无地增大放大倍数。其放大倍数是否越大越好？放大倍数增大有无？

3、为什么在测量中，望远镜中标尺的读数应尽可能在望远镜所在处标尺位置的上下附近？

4、拉伸法测量钢丝的杨氏弹性模量中需要测量那些物理量？分别用什么仪器测？应估读到哪一位？

5、什么情况下应用逐差法？逐差法有何优点？

6、材料相同，粗细长度不同的两根钢丝，它们的杨氏弹性模量是否相同？

7、在有、无初始负载时，测量钢丝原长L有何区别？

8、实验中，不同的长度参量为什么要选用不同的量具仪器（或方法）来测量？