一轮复习： 复数

[最新考纲]

1．理解复数的基本概念．

2．理解复数相等的充要条件．

3．了解复数的代数表示法及其几何意义．

4．会进行复数代数形式的四则运算．

5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 

知 识 梳 理

1．复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

辨 析 感 悟

1．对复数概念的理解

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)

(2)2i比i大．(×)

(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i.(×)

2．对复数几何意义的认识

(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)

(6)(2013·福建卷改编)已知复数z的共复轭复数＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．(×)

3．对复数四则运算的理解

(7)(教材习题改编)＝－i.(√)

(8)(2013·浙江卷改编)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√)

[感悟·提升]

1．两点提醒　一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；

二是两个虚数不能比较大小，如(2)．

2．两条性质　(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．

(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

考点一　复数的概念

【例1】 (1)(2013·山东卷)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)．　

A．2＋i  B．2－i  C．5＋i  D．5－i

(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若复数z满足(3－4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为(　　)．

A．－4  B．－  C．4  D. 

解析　(1)由(z－3)(2－i)＝5，

得z＝＋3＝＋3＝＋3＝5＋i，

∴＝5－i.故选D.

(2)(3－4i)z＝|4＋3i|＝5.

∴z＝＝，∴z的虚部为.

答案　(1)D　(2)D

规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．

【训练1】 (1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)．

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)．

A．0  B．－1  C．1  D．－2

解析　(1)ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B.

(2)∵z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0.

答案　(1)B　(2)A

考点二　复数的几何意义

【例2】 (1)(2013·湖南卷)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)．

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

(2)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)．

A．25  B.  C．5  D. 

解析　(1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二象限．

(2)∵z＝＝＝＝＝－4－3i，

∴|z|＝＝5.

答案　(1)B　(2)C

规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．

【训练2】 (1)(2013·四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)．

A．A  B．B  C．C  D．D

(2)(2013·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.

解析　(1)设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B.

(2)在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．

∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i.

答案　(1)B　(2)－2＋3i

【例3】 (1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.

(2)＝________.

(3)已知复数z满足＝2－i，则z＝________.

解析　(1)法一　|z|＝＝，

z·＝|z|2＝.

法二　z＝＝－＋，

z·＝＝.

(2)＝

＝＝i(1＋i)4＝i[(1＋i)2]2

＝i(2i)2＝－4i.

(3)由＝2－i，得z＝－i＝－i＝i－－i＝－－i.

答案　(1)　(2)－4i　(3)－－i

规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．

【训练3】 (1)(2014·临沂模拟)设z＝1＋i，则＋z2等于(　　)．

A．1＋i  B．－1＋i  C．－i  D．－1－i

(2)(2013·安徽卷)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)．

A．1＋i  B．1－i

C．－1＋i  D．－1－i

解析　(1)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i

＝＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.

(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·i＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，

故2＝2a，a2＋b2＝2b

解得a＝1，b＝1

即z＝1＋i.

答案　(1)A　(2)A

1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．

3．要记住一些常用的结果，如i，－＋i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

思想方法12——解决复数问题的实数化思想

【典例】 (2013·天津卷)已知a，b∈R，i为虚数单位，若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.

解析　(a＋i)·(1＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i＝bi

则解得a＝1，b＝2.所以a＋bi＝1＋2i.

答案　1＋2i

[反思感悟] (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．

(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．

【自主体验】

1．(2014·滨州模拟)已知＝b＋i(a，b∈R)，则a－b＝(　　)．

A．1  B．2  C．－1  D．－3

解析　a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝1.

答案　A

2．(2012·湖北卷)若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.

解析　由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝(a＋b)＋(b－a)i，

根据复数相等得解得∴a＋b＝3.

答案　3

对应学生用书P387

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)．

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析　 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D.

答案　D

2．(2013·广东卷)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)．

A．(2,4)  B．(2，－4)

C．(4，－2)  D．(4,2)

解析　由已知条件得z＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.

答案　C

3．(2014·武汉模拟)设复数z＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z的虚部为(　　)．

A．－2  B．2  C．－2i  D．2i

解析　z＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i，所以复数z的虚部为2.

答案　B

4．(2013·新课标全国Ⅱ卷)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)．

A．－1＋i  B．－1－i  C．1＋i  D．1－i

解析　由题意得z＝＝＝－1＋i，故选A.

答案　A

5．(2013·陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)．

A．若|z1－z2|＝0，则1＝2  

B．若z1＝2，则1＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2  

D．若|z1|＝|z2|，则z＝z

解析　A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，成立．

B中，z1＝2，则1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z11＝z22，C正确．

D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，

则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.

答案　D

二、填空题

6．(2013·江苏卷)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．

解析　∵z＝(2－i)2＝3－4i，

∴|z|＝＝5.

答案　5

7．(2014·郑州模拟) 4＝________.

解析　4＝2＝1.

答案　1

8．(2013·上海卷)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，则m＝________.

解析　由题意知解得m＝－2.

答案　－2

三、解答题

9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

解　(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，

则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.

∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.

10．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限．

解　(1)若z为实数，则解得m＝－2.

(2)若z为虚数，则

解得m≠－2且m≠－3.

(3)若z为纯虚数，则解得m＝3.

(4)若z对应的点在第二象限，则

即∴m＜－3或－2＜m＜3.

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2014·陕西师大附中模拟) 2 014＝(　　)．

A．－i  B．i  C．－1  D．1

解析　2 014＝2 014＝2 014＝

(－i)2 104＝i2 014＝i4×503＋2＝－1.

答案　C

2．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(　　)．

A．－3＋2i  B．3＋2i

C．－2＋3i  D．2＋3i

解析　法一　x＝＝－3±2i.

法二　令x＝a＋bi，a，b∈R，∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0，即a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0，

∴

解得a＝－3，b＝±2，即x＝－3±2i.

答案　A

二、填空题

3．(2014·北京西城模拟)定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝，则y＝________.

解析　因为x＝＝＝－i.

所以y＝＝＝－2.

答案　－2

三、解答题

4.

如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：

(1)所表示的复数，所表示的复数；

(2)对角线所表示的复数；

(3)求B点对应的复数．

解　(1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.

∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.

(2)＝－，∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)＝＋＝＋，

∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，

即B点对应的复数为1＋6i.

基础回扣练——推理证明、算法、复数　(对应学生用书P3)

(建议用时：60分钟)

一、选择题

1．(2013·湖北卷)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)．

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析　z＝＝1＋i，＝1－i，对应点(1，－1)在第四象限．

答案　D

2．(2013·辽宁卷)复数z＝的模为(　　)．

A.  B.  C.  D．2

解析　z＝＝＝－－i，

∴|z|＝＝.

答案　B

3．(2013·江西卷)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)．

A．－2i  B．2i

C．－4i  D．4i

解析　由M∩N＝{4}知4∈M，所以zi＝4，z＝－4i，选C.

答案　C

4．(2014·佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是(　　)．

A．－  B. i  

C．±i  D．±

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a＝1，

∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±.

答案　D

5．(2014·青岛一模)某程序框图如图所示，若a＝3，则该程序运行后，输出的x值为(　　)．

A．15  B．31  C．62  D．63

解析　第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2；

第二次循环：x＝2×7＋1＝15，n＝3；

第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4.

此时不满足条件，输出x＝31.

答案　B

6．(2014·郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为(　　)．

A．6  B．5  C．4  D．3

解析　第一次循环，n＝1，S＝1＋2＝3；第二次循环，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循环，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循环，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n＝4.

答案　C

7．(2013·江西卷)阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为(　　)．

A．S＝2]B.S＝2]D.S＝2]解析　i＝2，S＝5；i＝3，S＜10，排除D；i＝4，S＝9；i＝5，S＜10，排除A和B，故选C.

答案　C

8.(2014·咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为(　　)．

A．k≤6?  B．k＞4?

C．k＞5?  D．k≤5?

解析　当k＝1时，S＝2×0＋1＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环，因而选B.

答案　B

9．(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，所在的位置是(　　)．

A．第一列  B．第二列

C．第三列  D．第四列

解析　正奇数从小到大排，则位居第45位，而45＝4×11＋1，故位于第四列．

答案　D

10．(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)．

A．S2＝S＋S＋S  B．S2＝＋＋

C．S＝S1＋S2＋S3  D．S＝＋＋

解析　如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S.

答案　A

二、填空题

11．(2013·重庆卷)已知复数z＝，则|z|＝________.

解析　z＝＝＝2＋i，∴|z|＝.

答案　

12．(2014·茂名一模)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝________.

解析　＝＝＋i，

由题意知：＝0，∴a＝2.

答案　2

13．(2014·湖南十二校二联)为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10 000名中学生参加了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是________．

解析　由已知得，输出的数据为体育锻炼时间超过20分钟的学生数6 200，故锻炼时间不超过20分钟的学生数为10 000－6 200＝3 800，由古典概型的概率计算公式可得，P＝＝0.38.故所求频率是0.38.

答案　0.38

14．(2014·泰安一模)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值为________．

解析　第一次：n＝3×5＋1＝16，k＝1；

第二次：n＝＝8，k＝2；

第三次：n＝＝4，k＝3；

第四次：n＝＝2，k＝4；

第五次：n＝＝1，k＝5，

此时满足条件，输出k＝5.

答案　5

15．(2013·宝鸡二检)已知2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，若9＋＝92×(a，b为正整数)，则a＋b＝________.

解析　观察分数的分子规律得b＝9，则a＝b2－1＝80，故a＋b＝.

答案　

16．(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.

解析　平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以＝.

答案　

三、解答题

17．在单调递增数列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立．

(1)求a2的取值范围；

(2)判断数列{an}能否为等比数列，并说明理由．

解　(1)因为{an}是单调递增数列，所以a2＞a1，即a2＞2.

又(n＋1)an≥na2n，令n＝1，则有2a1≥a2，即a2≤4，所以a2∈(2,4]．

(2)数列{an}不能为等比数列．

用反证法证明：

假设数列{an}是公比为q的等比数列，由a1＝2＞0，得an＝2qn－1.

因为数列{an}单调递增，所以q＞1.

因为(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立，

所以对任意n∈N*，都有1＋≥qn.①

因为q＞1，所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞2.

因为1＋≤2(n∈N*)．

所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞1＋，与①矛盾，故假设不成立．

18．(2013·常德模拟)设a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.

(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的结论．

解　(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.

猜想an＝(n∈N*)．

(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．

②假设n＝k时猜想正确，

即ak＝，

则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝.

这说明，n＝k＋1时猜想正确．

由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝.