2020-2021学年山东省泰安一中高二上学期期中数学试卷 (解析版)

一、选择题（共8小题）.

1．（3分）直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，则实数a＝（　　）

A．﹣4    B．4    C．﹣2    D．2

2．（3分）如图，已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且MG＝2GN，若记，则＝（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．（3分）若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则m＝（　　）

A．21    B．19    C．9    D．﹣11

4．（3分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，，共面，则λ＝（　　）

A．2    B．3    C．4    D．6

5．（3分）对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（　　）

A．开口向上，焦点为（0，1）    

B．开口向上，焦点为    

C．开口向右，焦点为（1，0）    

D．开口向右，焦点为

6．（3分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤2，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）

A．    B．    C．    D．

7．（3分）已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（3分）椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）

A．[，1]    B．[，]    C．[，1）    D．[，]

二、多选题（共4小题）

9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．B1G⊥BC    

B．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1    

C．A1H∥面AEF    

D．二面角E﹣AF﹣C的大小为

10．（3分）已知直线xsinα+ycosα+1＝0（α∈R），给出下列命题正确的是（　　）

A．直线的倾斜角是π﹣α    

B．无论α如何变化，直线不过原点    

C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切    

D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1

11．（3分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（　　）

A．当k＝4时，曲线C为圆    

B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为    

C．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件    

D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为

12．（3分）已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，M、N是左、右顶点，e为椭圆C 的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，已知＝0，3，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和之间BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是（　　）

A．e＝    B．k＝    C．k1•k2＝﹣    D．k3•k4＝

三、填空题（共4小题）

13．（3分）已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是　   　．

14．（3分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为　   　．

15．（3分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为　   　．

16．（3分）设F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上一点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△PF1F2的面积等于　   　

四、解答题（共6小题）

17．已知P（3，2），一直线l过点P，

①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；

②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．

18．已知过点M （0，2）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B两点．

（1）求斜率k的取值范围；

（2）以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围；

（3）O为坐标原点，求证：直线OA与OB斜率之和为定值．

19．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB＝BC＝AC＝4，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．

（1）证明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

20．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y＝±x，且双曲线过点（，）．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|．

21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．

22．已知椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．

（1）求椭圆C的方程．

（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（﹣2，1）是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．

参

一、选择题（共8小题）

1．（3分）直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，则实数a＝（　　）

A．﹣4    B．4    C．﹣2    D．2

【分析】根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．

解：∵直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，

∴a≠0，且＝≠，

则实数a＝2，

故选：D．

2．（3分）如图，已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且MG＝2GN，若记，则＝（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出．

解：＝+，＝，＝﹣，＝＝，＝（+）＝（+），

可得：＝++．

故选：C．

3．（3分）若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则m＝（　　）

A．21    B．19    C．9    D．﹣11

【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．

解：由C1：x2+y2＝1，得圆心C1（0，0），半径为1，

由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，

∴圆心C2（3，4），半径为．

∵圆C1与圆C2外切，

∴，

解得：m＝9．

故选：C．

4．（3分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，，共面，则λ＝（　　）

A．2    B．3    C．4    D．6

【分析】根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可．

解：∵＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），三个向量共面，

∴，

∴（2，﹣1，2）＝x（﹣1，3，﹣3）+y（13，6，λ）

∴

解得：

故选：B．

5．（3分）对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（　　）

A．开口向上，焦点为（0，1）    

B．开口向上，焦点为    

C．开口向右，焦点为（1，0）    

D．开口向右，焦点为

【分析】根据二次函数的性质进行判断．

解：∵a＝4＞0，

∴图象开口向上，

焦点为．

故选：B．

6．（3分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤2，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】求出A关于x+y＝4的对称点A'，根据题意，A'C﹣为最短距离，求出即可．

解：设点A关于直线x+y＝4的对称点A'（a，b），设军营所在区域为的圆心为C，

根据题意，A'C﹣为最短距离，先求出A'的坐标，

AA'的中点为（，），直线AA'的斜率为1，

故直线AA'为y＝x﹣3，

由，联立得

故a＝4，b＝1，

所以A'C＝，

故A'C﹣＝，

故选：B．

7．（3分）已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】先假设A在右支上，利用角平分线的性质和双曲线定义可求出|AF1|，|AF2|与a的关系，然后在三角形中利用余弦定理化简即可求解．

解：设OF2的中点为M，另设|AF1|＝m，|AF2|＝n，假设A在双曲线的右支上，

由角平分线的性质可得＝＝，

又M是OF2的中点，则，

根据双曲线的定义可得：m﹣n＝2a，所以m＝3a，n＝a，

则在三角形AF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2＝，

所以cos60°＝＝，化简可得，即，

所以双曲线的离心率为，

故选：B．

8．（3分）椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）

A．[，1]    B．[，]    C．[，1）    D．[，]

【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|＝|AF′|，推知|AF|+|BF|＝2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|＝2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|＝2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．

解：∵B和A关于原点对称

∴B也在椭圆上

设左焦点为F′

根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a

又∵|BF|＝|AF′|∴|AF|+|BF|＝2a  …①

O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|＝2c

又|AF|＝2csinα    …②

|BF|＝2ccosα    …③

②③代入①2csinα+2ccosα＝2a

∴＝

即e＝＝

∵a∈[，]，

∴≤α+π/4≤

∴≤sin（α+）≤1

∴≤e≤

故选：B．

二、多选题（共4小题）

9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．B1G⊥BC    

B．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1    

C．A1H∥面AEF    

D．二面角E﹣AF﹣C的大小为

【分析】建立空间坐标系，求出各向量坐标，利用向量的平行和垂直关系判断．

解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，

设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（0，1，），F（，1，0），B1（1，1，1），G（0，，0），

H（1，1，），A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），

∴＝（0，1，﹣），＝（﹣，1，0），＝（﹣，0，），＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，0，0），

＝（﹣1，﹣，﹣1），

∴＝2，∴AD1∥EF，

∴平面AEF与平面ADD1A1的交线为AD1，故B正确；

∵＝1≠0，∴B1G与BC不垂直，故A错误；

设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），则，

∴，令y＝1可得＝（2，1，2），

•＝0+1﹣1＝0，∴A1H∥平面AEF，故C正确；

平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），

∴cos＜＞＝＝＝，

设二面角E﹣AF﹣C的大小为θ，则cosθ＝，故D错误．

故选：BC．

10．（3分）已知直线xsinα+ycosα+1＝0（α∈R），给出下列命题正确的是（　　）

A．直线的倾斜角是π﹣α    

B．无论α如何变化，直线不过原点    

C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切    

D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1

【分析】根据倾斜角的范围，可判断A；将（0，0）代入直线方程，可判断B；将原点和直线方程代入直线距离公式，可得直线总和单位圆相切，可判断C；求出三角形面积公式，结合三角函数的图象和性质，可判断D．

解：根据倾斜角的范围为[0，π），而π﹣α∈R，可知A错误；

当x＝y＝0时，xsinα+ycosα+1＝1≠0，故直线必不过原点，故B正确；

原点到直线的距离d＝1，故直线总和单位圆相切，故C正确；

当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积S＝||＝≥1，故D正确；

故选：BCD．

11．（3分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（　　）

A．当k＝4时，曲线C为圆    

B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为    

C．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件    

D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为

【分析】通过k的值，判断曲线的形状，然后判断选项的正误即可．

解：曲线C的方程为，当k＝4时，方程为x2+y2＝2，曲线C为圆，所以A正确；

当k＝0时，曲线C为，是双曲线，其渐近线方程为，所以B正确；

“6＞k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充要条件，所以“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要而不充分条件，所以C不正确；

k＞6时，曲线C为双曲线，其离心率为e＝＝，如果＝，可得k﹣4＝k﹣2，无解，所以

k＜2时，＝，然后＝，可得4﹣k＝6﹣k，显然不成立，所以≠，所以D不正确．

故选：AB．

12．（3分）已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，M、N是左、右顶点，e为椭圆C 的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，已知＝0，3，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和之间BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是（　　）

A．e＝    B．k＝    C．k1•k2＝﹣    D．k3•k4＝

【分析】过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，设|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，可得AB|＝5t，由椭圆定义可得a＝3t．|BF1|＝|BF2|＝3t，在△EF1F2中，由勾股定理可得：c，b即可判断AB的正误，

设A（x，y），则＝，即可判断 CD正误．

解：∵＝0，∴AF1⊥BF1，过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，∴AF1⊥EF2．

设|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，

又3，∴|AB|＝5t，

∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t．

∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B（0，b），

在△EF1F2中，EF1＝＝，EF2＝＝，F1F2＝2c，

∵EF12+EF22＝F1F22，∴，b＝＝，

∴椭圆离心率e＝，故A正确，

k＝，故B错，

设A（x，y），易得M（﹣a，0），N（a，0），

则＝，故C正确，

同理，故D错．

故选：AC．

三、填空题（共4小题）

13．（3分）已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是　　．

【分析】分别求出直线MQ、MP的斜率，进而即可求出直线MN的斜率的取值范围．

解：画出图象

∵，

＝﹣．

要使直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，

则满足．

∴，

∴．

故答案为．

14．（3分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为　　．

【分析】分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值，转化为求向量与的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即可求得，注意向量夹角与异面角间的关系．

解：分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），M（0，1，），D1（0，0，1），

所以＝（﹣1，﹣1，1），＝（﹣1，1，），

则cos＜，＞＝＝＝，即异面直线BD1与AM所成角的余弦值为，

故答案为：．

15．（3分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为　（y≠0）　．

【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．

解：（1）∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，∴AB＝8，BC+AC＝10，

∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，

∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

∵2a＝10，2c＝8，∴b＝3，

所以椭圆的标准方程是（y≠0）．

故答案为：（y≠0）

16．（3分）设F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上一点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△PF1F2的面积等于　12　

【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝6，再由|PF1|：|PF2|＝2：1，求出|PF1|，|PF2|，由此转化求出△PF1F2的面积．

解：F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，F1（﹣3，0），F2（3，0），|F1F2|＝6，

∵|PF1|：|PF2|＝2：1，∴设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，

由双曲线的性质知|2x﹣x|＝2，解得x＝2．

∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，

∴cos∠F1PF2＝＝，sin∠F1PF2＝．

∴△PF1F2的面积为×4×2×＝12．

故答案为：12．

四、解答题（共6小题）

17．已知P（3，2），一直线l过点P，

①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；

②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．

【分析】设斜率为k，得出直线的点斜式方程，从而求出截距，再根据条件列方程求出k，从而得出直线l的方程．

解：①显然直线l有斜率且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为：y＝k（x﹣3）+2，

令x＝0得y＝﹣3k+2，令y＝0得x＝+3．

∴﹣3k+2++3＝12，解得k＝﹣或k＝﹣2．

∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2或y＝﹣2（x﹣3）+2．

②∵直线l与x、y轴交于正半轴，∴﹣3k+2＞0，+3＞0，

∴（﹣3k+2）（+3）＝12，解得k＝﹣．

∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2．

18．已知过点M （0，2）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B两点．

（1）求斜率k的取值范围；

（2）以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围；

（3）O为坐标原点，求证：直线OA与OB斜率之和为定值．

【分析】（1）写出直线l的方程，若直线与圆相交，则圆心C到直线l的距离d小于半径r，进而解得k的取值范围．

（2）若若以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，则直线与圆外切，相交，内切，所以|r﹣1|≤|MC|≤r+1，进而解除r的取值范围．

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆方程，消去y整理得（k2+1）x2+（4k﹣2）x+4＝0，韦达定理得，代入化简kOA+kOB＝+＝2k+＝1，进而得出答案．

解：（1）根据题意可得，直线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣0），即kx﹣y+2＝0，

圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝1，则其圆心C（1，0），半径r＝1，

若直线与圆相交，必有d＜r，即，解得k＜﹣，

所以斜率k的取值范围为k＜﹣．

（2）若以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，

则|r﹣1|≤|MC|≤r+1，

即|r﹣1|≤≤r+1，

所以﹣1≤r≤+1．

（3）证明：联立直线与圆的方程：

，消去y整理得（k2+1）x2+（4k﹣2）x+4＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

根据韦达定理得，

则kOA+kOB＝+＝+＝2k+

＝2k+＝2k+＝2k﹣2k+1＝1，

故直线OA与直线OB的斜率之和为定值1．

19．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB＝BC＝AC＝4，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．

（1）证明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

【分析】（1）证明DO⊥AC．利用平面DAC⊥底面ABC，推出DO⊥底面ABC．

（2）以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间0﹣xyz直角坐标系．求出平面ADE的一个法向量，平面AEC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D﹣AE﹣C的余弦值即可．

【解答】（1）证明：∵AD＝CD＝，O是AC的中点，

∴DO⊥AC．

∵平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，

∴DO⊥底面ABC．

（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．

OA＝OC＝OD＝2，OB＝

如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，

OB为y轴，OC为z轴建立空间0﹣xyz直角坐标系．则A（2，0，0），，C（﹣2，0，0），D（0，0，2），，，，．

设平面ADE的一个法向量为，

则即

令z1＝1，则，所以．

同理可得平面AEC的一个法向量．

．

因为二面角D﹣AE﹣C的平面角为锐角，所以二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．

20．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y＝±x，且双曲线过点（，）．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|．

【分析】（Ⅰ）设双曲线方程为：3x2﹣y2＝λ，点代入，即可求双曲线的方程；

（Ⅱ）直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求|AB|．

解：（Ⅰ）设双曲线方程为：3x2﹣y2＝λ，点代入得：λ＝3，

所以所求双曲线方程为：…（6分）

（Ⅱ）直线AB的方程为：y＝x﹣2，

由得：2x2+4x﹣7＝0，…（10分）

∴．…（12分）

21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．

【分析】（I）因为PO⊥AD，又CD⊥平面PAD，得到PO⊥CD，进而证明结论；

（II）以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，平面EFG的法向量，又平面ABCD的法向量，利用夹角公式求出即可；

（III）假设线段PA上存在点M，设，由直线GM与平面EFG所成角为，得到关于λ的方程，解方程判断即可．

解：（Ⅰ）证明：因为△PAD是正三角形，O是AD的中点，所以 PO⊥AD．

又因为CD⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，

所以PO⊥面ABCD；

（Ⅱ）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则，，，

设平面EFG的法向量为，

由，得

令z＝1，则 ，

又平面ABCD的法向量，

设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ，

所以．

所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为；

（Ⅲ）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，

设，由，

所以．

所以＝，

整理得2λ2﹣3λ+2＝0，无解，

所以，不存在这样的点M．

22．已知椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．

（1）求椭圆C的方程．

（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（﹣2，1）是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．

【分析】（1）由题意可得b，运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到所求椭圆方程；

（2）可设直线l的方程为y＝x+t，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理，计算可得所求定值．

解：（1）椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点，

可得b＝，e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝2，c＝，

则椭圆的方程为+＝1；

（2）若直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x+t，

联立椭圆方程x2+4y2﹣8＝0，

可得x2+2tx+2t2﹣4＝0，则△＝4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），可得x1+x2＝﹣2t，x1x2＝2t2﹣4，

则kAE+kAQ＝+＝+＝+

＝•＝•＝•＝0．

则直线AE与AQ的斜率之和为定值0．