2016届天津市和平区高三第四次模拟数学(理)试题(解析版)

一、选择题

1．若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则等于（    ）

A．    B．2    C．    D． 

【答案】B

【解析】试题分析： 是纯虚数,则，选B

【考点】复数的运算，复数的概念.

2．已知变量满足约束条件，则的取值范围是（    ）

A．   

B． 

C． 

D． 

【答案】A

【解析】试题分析：根据变量满足约束条件，画出可行域，利用的几何意义，表示可行域内一点与原点连线的斜率，找出最优解，得出斜率的取值范围是

【考点】线性规划

【方法点睛】线性规划问题常见的目标函数为截距型，但在学习中不能忽略一些特殊的目标函数，如距离型：，斜率型如：等.

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（    ）

A．72    B．86    C．98    D．128

【答案】C

【解析】试题分析：运行程序，, , ,

, , ,

, , ,不满足，输出，选C.

【考点】程序框图,

4．“若，则全为0”的逆否命题是（    ）

A．若全不为0，则  

B．若不全为0，则

C．若不全为0，则  

D．若全为0，则

【答案】C

【解析】试题分析：根据命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，可以写出 “若，则全为0”的逆否命题是“若不全为0，则”，选C.

【考点】四种命题

5．如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，若，点到圆的切线，弦平分弦于点，且，则等于（    ）

A．3    B．4    C．    D． 

【答案】D

【解析】试题分析：根据切割线定理，，解得，，设,利用相交弦定理，即，又，则与相似，，即，解方程组得：，选B.

【考点】平面几何选讲.

【方法点睛】平面几何问题要注意使用相似三角形对应边成比例获取比例式转化为等积式，圆中注意利用圆幂定理（相交弦定理，切割线定理，割线定理），在求值问题和证明等积式时很有应用价值.

6．已知双曲线的渐近线上的一点到其右焦点的距离等于2，抛物线过点，则该抛物线的方程为（    ）

A．     B．     C．     D． 

【答案】B

【解析】试题分析：，右焦点点A在轴右侧，双曲线的渐近线方程为，设，，解得，有在抛物线上，则，得，该抛物线的方程为.选B.

【考点】双曲线和抛物线的有关问题.

7．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（    ）

A．   B．   C．   D． 

【答案】C

【解析】试题分析：先画出两个函数图象的草图，可以看出两个函数图象的交点的横坐标大致应在内，下面给出准确的验证，当时，，当时， 

，由于，则，则，因此，则所在的区间是.

【考点】函数图象，函数的零点.

8．已知函数，函数则关于的实根个数取得最大值时，实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D． 

【答案】A

【解析】试题分析：，，令，得，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，取最大值为2，当时取最小值；由函数的图像可知，当或时，；

（1） 当时，方程，则，有一个实根，，方程有三个

实根，此时关于的方程共有4个实根;

（2） 当时，方程，则，方程只有一个实根，或，

方程只有一个实根，此时关于的方程共有2个根；

（3） 当时，方程，则，方程有三个实根，或，方

程有三个实根，此时关于的方程共有6个实数根；

（4）当时，方程，有，方程有三个实根，或，方程有三个实根，此时关于的方程共有6个实数根；

（4） 当时，方程，有，方程有3个或2个或1个实根，

综上所述：关于的方程的实根最多有6个，实数的取值范围是.

【考点】函数图象，函数的零点，数形结合思想.

【方法点睛】给出两个函数研究某个函数复合形式构成的方程的根的个数问题，是今年出现的新题型，常常方程中含有参数，因此首先要具备讨论思想.解题时，首先画出两个函数的草图，利用数形结合思想，借助图形解题更为直观；本题借助的图象，根据，由的值反看的值或其取值范围，然后借助的图象，根据的值或范围反看的值或的个数.

二、填空题

9．在的展开式中，系数为有理数的项的所有系数之和为______．

【答案】225

【解析】试题分析： ,当时，系数为有理数的项，所有系数之和为

【考点】二项式定理

10．一个几何体的三视图如图所示（单位），则该几何体的体积为______．

【答案】16

【解析】试题分析：根据三视图恢复原几何体，原几何体为一个四棱锥，底面为直角梯形，其中，底面，，则该几何体的体积为．

【考点】三视图、棱锥的体积.

11．若从区间中随机取出两个数和，则关于的一元二次方程有实根，且满足的概率为______．

【答案】

【解析】试题分析： 在（0，2）上随机取两个数，则，对应区域面积为,关于的方程有实根，，对应区域为，满足，即以原点为圆心，2为半径的圆上及圆内，符合要求的可行域的面积为，概率为.

【考点】几何概型

12．设函数，若，则的值为______．

【答案】

【解析】试题分析：,则，，所以.

【考点】定积分

13．在中，内角所对的边分别为．若，的面积为，则的值为______．

【答案】

【解析】试题分析：的面积为，又；又，则，则，，则

，则.

【考点】正、余弦定理解三角形.

14．设两个向量，其中．若，则的最小值为______．

【答案】

【解析】试题分析：,则，将代入得： ，则，解得：

，所以，又，则，则，则的最小值为值为.

【考点】平面向量与不等式

三、解答题

15．已知，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在上的值域．

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由，得，即．………2分

所以或（舍去）．

因为，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

．

由，得，

当时，；当时，．

所以，函数在上的值域为．

【考点】三角函数求值与三角函数图象与性质.

【方法点睛】有关三角函数图象与性质问题，首先要把函数的解析式化为的标准形式，再谈函数的性质，如单调性、最值等.

16．某同学需通过选拔考试进入学校的“体育队”和“文艺队”，进入这两个队成功与否是相互的，能同时进入这两个队的概率是，至少能进入一个队的概率是，并且能进入“体育队”的概率小于能进入“文艺队”的概率．

（Ⅰ）求该同学通过选拔进入“体育队”的概率和进入“文艺队”的概率；

（Ⅱ）学校对于进入“体育队”的同学增加2个选修课学分，对于进入“文艺队”的同学增加1个选修课学分，求该同学获得选修课加分分数的分布列与数学期望．

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，有且．

解得．

（Ⅱ）依题意，随机变量的所有可能取值为．

，

．

∴的分和列为：

【考点】概率与离散型随机变量的分布列及数学期望.

17．如图，在底面为菱形的四棱锥中，，点在上，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：∵在菱形中，，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴平面．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得

，

则．

设平面的一个法向量为，

则，即

设，可得．

而平面的一个法向量为，

∴．

设所求二面角的平面角为，

则，

所以二面角的正弦值为．

2

（Ⅲ）因为，为上一点，，

则有，故点坐标为．

所以．

由（Ⅱ）可知平面的一个法向量为．

若平面，则，得．

则，即的值为．

考点:空间直线与平面的平行与垂直，二面角的求法.

【方法点睛】利用空间向量证明垂直是首选的方法，由于判断两线垂直只需数量积为零，方便而且有说服力，求二面角用空间向量只需计算准确，达到以数助形的目的，

18．已知数列中，．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）设，若，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：∵，

∴．

∵，∴．

∴．

∴数列是首项、公比均为2的等比数列．

（Ⅱ）解：∵是等比数列，首项为2，通项，

故

，

当时，符合上式，

∴数列的通项公式为．

（Ⅲ）解：∵，

∴．

∴

故．

若，使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为．

【考点】累加法求数列通项公式，裂项相消法数列求和，恒成立问题.

【方法点睛】证明数列为等比数列，就是证明数列的后一项与前一项的比为同一个常数，证明时千万注意题目的暗示，谁是等比数列？证明什么？目标明确了，就有了证明的方向.掌握求数列的通项公式的基本方法，特别是累加与累乘法及构造法，是高考常见考法，数列求和常用方法有分组求和法、倒序相减法、裂项相消法、错位相减法等，而近年高考命题中的数列求和，则偏向分析法分组求和.

19．椭圆的上顶点为是椭圆上一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动直线与椭圆只有一个公共点，且轴上存在着两个定点，它们到直线的距离之积等于1，求出这两个定点的坐标．

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）∵，

∴．

由，得．

由点在椭圆上，得，解得．

再由解得．

∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，

整理，得．

由，得．

假设存在着定点满足题设条件．

、到直线的距离分别为、，

则由

对于恒成立，可得

解得或故满足条件．

当直线的斜率不存在时，经检验，仍符合题意．

【考点】求椭圆方程，直线与椭圆相切问题，定点定值问题.

20．已知函数．

（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；

（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；

（Ⅲ）根据的不同取值，讨论函数的极值点情况．

【答案】(1)1 (2)  (3)当时，函数无极值点；当时，函数无极值点；

当时，函数有一个极小值点和一个极大值点；

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，，其定义域为，，

所以在上是增函数，当时，．

故函数在上的最小值是1．

（Ⅱ）由题设条件，得，设，

依题意，在区间上存在子区间使不等式成立．

因为函数的图象是开口向上的抛物线，

所以只需或即可．

由，即，得；由，即，得．

∴若在上存在单调递增区间，则的取值范围是．

（Ⅲ）由（Ⅱ），可知．

（ⅰ）当时，在上恒成立，

此时，函数无极值点；

（ⅱ）当时，若，即时，

在上恒成立，此时，函数无极值点；

若，即时，易知当时，，此时；

当或时，，此时．

所以当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点，

综上，当时，函数无极值点；当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点．

【考点】导数与函数的单调性，导数与函数的极值，导数与函数的最值.

【方法点睛】连续函数在闭区间上有最大值和最小值，求函数在闭区间上的最值，先求函数的极值与区间两端点的函数值比较，便可求出最值；函数在某区间上存在单调递增区间，就是导函数不小于零在此区间上有解；讨论函数的极值点情况，先求导，根据参数的范围，利用分类讨论思想，研究方程的解的情况及的正负，若函数在某区间上单调，则无极值点？若是极值点，不仅满足，而且还需要左右导数值正、负相反.