2013版高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性精品学案

2.3函数的奇偶性与周期性

【高考新动向】

一、考纲点击

1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；

2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性;

3、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。

二、热点难点提示

1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点；

2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题；

3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目.

【考纲全景透析】

一、函数的奇偶性

2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。

二、奇偶函数的性质

1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。

2、在公共定义域内，

亦即：

（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；

（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；

（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。

注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。

3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.

4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；

6、可逆性：  是偶函数；

奇函数；

7、等价性：

8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；

9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、周期性

1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。

2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。

【热点难点全析】

一、函数奇偶性的判定

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<1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤

，即：

（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。

（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系

①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；

②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；

③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;

④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

<2>图象法：

<3>性质法：

<4>一些重要类型的奇偶函数

函数f(x)=ax+a-x为偶函数;

       函数f(x)=ax-a-x为奇函数；

函数f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a>0且a≠1）为奇函数；

函数f(x)=loga()为奇函数（a>0且a≠1）;

函数f(x)= loga()为奇函数（a>0且a≠1）

2、例题解析

〖例1〗讨论下述函数的奇偶性：

解：（1）函数定义域为R，

   ，

∴f(x)为偶函数；

（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。

（2）须要分两段讨论：

①设

②设

③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；

由①、②、③知，对x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)为奇函数；

（3），∴函数的定义域为，

∴f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的图象由两个点 （－1，0）与（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；

（4）∵x2≤a2, ∴要分a >0与a <0两类讨论，

①当a >0时，

  ，∴当a >0时，f(x)为奇函数；

   既不是奇函数，也不是偶函数

〖例2〗f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

　　解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．

因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即f（x）在（－∞，－5］上单调减函数．

二、分段函数的奇偶性

1、分段函数奇偶性的判定步骤

分析定义域是否关于原点对称；

对x的值进行分段讨论，寻求f(x)与f(-x)在各段上的关系；

 综合（2）在定义域内f(x)与f(-x)的关系，从而判断f(x)的奇偶性。

注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。

2、例题解析

〖例1〗已知函数。试判断的奇偶性

分析：确定定义域判断每一段上与的关系判断整个定义域上与的关系结论。

解答：由题设可知函数的定义域关于原点对称。

当时，

注：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(-x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

〖例2〗判断函数的奇偶性

解析：显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，

∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；

当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数；

三、抽象函数的奇偶性

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判断（或证明）抽象函数的奇偶性的步骤

利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现f(x),f(-x)）;

巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；

找出f(x)与f(-x)关系，得出结论。

2、例题解析

〖例1〗已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)．

分析：判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性；解决本题的关键是在f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现f(-x)；用a表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12)，解决该问题的关键是寻找f(12)与f(-3)的关系．

解答：

〖例2〗 设函数在上满足，，且在闭区间[0，7]上，只有。

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。

解析：（1）由，得函数的对称轴为

∴ 

而，即不是偶函数

又 ∵ 在[0，7]上只有   ∴ 

从而知函数不是奇函数

故函数是非奇非偶函数

（2）

从而知函数的周期为T=10

又

∴ 

故在[0，10]和上均有2个根，从而可知函数在[0，2000]上有400个根，在[2000，2005]上有2个根，在上有400个根，在上没有根。

∴ 函数在上有802个根。

注：抽象函数奇偶性的判断，关键是要充分理解题意，灵活选取变量的值。

四、函数奇偶性应用

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应用函数奇偶性可解决的问题及方法

(1)已知函数的奇偶性，求函数值

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.

(2)已知函数的奇偶性求解析式

将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.

(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值

常常利用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.

(4)应用奇偶性画图象和判断单调性

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.

2、例题解析

【例】(1)(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=(    )

()-3　　　()-1　　　()1　　　()3

(2)(2011·辽宁高考)若函数为奇函数，则a=(    )

(3)已知偶函数f(x)在区间［0，+∞)上单调递增，则满足的x的取值范围是(    )

【方法诠释】(1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解；

(2)由题意可知f(-x)+f(x)=0，从而得到关于x的恒等式，再构建a的方程求解；

(3)根据奇偶性得到将原不等式转化为从而求解.

【解析】(1)选.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-［2×(-1)2+1］=-3.

(2)选.∵函数f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0恒成立，即恒成立.可化为(2x+1)

(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立.整理得2(1-2a)x=0恒成立，则必有1-2a=0,

(3)选.∵f(x)为偶函数，

又f(x)在［0,+∞)上单调递增,

∴由得：

解得:

注：利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想.

五、函数的周期性及其应用

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关于周期函数的常用结论：

（1）若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：

①，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；

②f(x+a)=，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；

③，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；

(2)如果T是函数y=f(x)的周期，则

①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；

②若已知区间［m,n］(m2、例题解析

〖例1〗(2011·新课标全国卷改编)已知函数f(x)对任意的实数x满足：且当x∈［-1,1］时，f(x)=x2.

(1)求f(2 012);

(2)确定函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点个数.

【方法诠释】解答(1)题需先由             探究出函数f(x)的周期，进而利用周期性，求f(2 012)；(2)作出y=f(x)及y=|lgx|的图象，从而使问题得解.

【解析】(1)∵对任意x∈R,都有

∴f(x)是以2为周期的函数，

∴f(2 012)=f(2×1 006+0)=f(0)=02=0.

(2)根据f(x)的周期性及f(x)在［-1,1］上的解析式可作图如下

可验证当x=10时，y=|lg10|=1;

x>10时，|lgx|>1,因此结合图象及数据特点y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个.

〖例2〗设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈［0,2］时，f(x)=2x-x2.

(1)求证：f(x)是周期函数;

(2)当x∈［2,4］时，求f(x)的解析式;

(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).

【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

∴f(x)是周期为4的周期函数.

(2)当x∈［-2,0］时，-x∈［0,2］，由已知得

f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,

又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,

∴f(x)=x2+2x.

又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］,

∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.

从而求得x∈［2,4］时，f(x)=x2-6x+8.

(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.

又f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)

=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.

∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.

五、函数奇偶性与周期性的综合应用

〖例〗已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)

=f(7+x)且在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0，

(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 011,2 011］上根的个数，并证明你的结论．

思路分析：(1)判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-x)与f(x)的关系，但本题不易出现f(-x)与f(x)，但可先假设该函数是奇函数或偶函数，看能否得出不正确的结论，进而得出结论(即举反例来判断函数的奇偶性).(2)先求函数的周期，然后在它的一个周期内求解，再由其周期性求出定义域内的全部解．

解析：(1)若y=f(x)为偶函数，

则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x)，

∴f(7)=f(3)=0，这与f(x)在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函数.

若y=f(x)为奇函数，

则f(0)=f(-0)=-f(0)，∴f(0)=0,这与f(x)在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函数.

综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(2)∵f(x)=f(2+(x-2))=f(2-(x-2))=f(4-x)，

f(x)=f(7+(x-7))=f(7-(x-7)) =f(14-x)，

∴f(14-x)=f(4-x),即f(10+(4-x))=f(4-x)

∴f(x+10)=f(x),即函数f(x)的周期为10.

又∵f(1)=f(3)=0，

∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z)，

f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z)，

即x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)均是方程f(x)=0的根.

由-2 011≤1+10n≤2 011及n∈Z可得n=0，±1，±2，±3，… ，±201，共403个；

由-2 011≤3+10n≤2 011及n∈Z可得n=0，±1，±2，±3，… ，±200，-201，共402个；

所以方程f(x)=0在闭区间［-2 011,2 011］上的根共有805个.

【方法提示】(1)如何判断函数不具有某性质

判断函数不具有某性质只需举出一个反例即可；

(2)奇偶函数根的个数问题

由于奇偶函数的定义域关于原点对称，且f(-x)=f(x)或

f(-x)=-f(x)，所以，除去根为零外，如果有解，则解的个数为偶数个.

注:方程f(x)=A(其中A为非零常数)的解的个数，如果函数f(x)为偶函数时解的个数为偶数个，如果函数f(x)为奇函数时解的个数不一定为偶数个．

六、函数的奇偶性与单调性的综合应用

〖例〗定义在R上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。

（1）求和的值；

（2）试判断的奇偶性，并加以证明；

（3）若时为增函数，求满足不等式的的取值集合。

解析：

（1）令，得    ∴ 

令，得

∴ 

（2）令，由，得

又   ∴ 

又 ∵ 不恒为0      ∴ 为偶函数

（3）由

知   又由（2）知

∴    又 ∵ 在上为增函数

∴ 

故的取值集合为

注：（1）对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“”脱掉，转化为我们会求的不等式；

（2）奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性。

【高考零距离】

1、（2012·浙江高考文科·Ｔ16）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。=_______________。

【解题指南】考查函数的性质,利用函数的周期性和奇偶性的性质把所求函数值化到已知的区间里面.

【解析】＝＝．

答案：．

2、（2012·湖南高考文科·Ｔ9）设定义在R上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数，f(x)的导函数，当X∈[0,π] 时， 0＜f(x)＜1； 当x∈（0，π） 且x≠时 ，（x-）f’(x)＞0 ，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为

 .2  . 4  . 5  . 8 

【解题指南】有偶函数得出值域，由导数得出单调区间及相应的单调性，根据曲线的交点判断零点的个数。

【解析】选. 由当x∈（0，π） 且x≠错误！不能通过编辑域代码创建对象。时 ，，知

又时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.

故选。

3、（2012·陕西高考数学文科·Ｔ2）相同下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(   )

()      ()      ()      ()

【解题指南】根据奇函数和增函数的定义进行判断;或根据已知函数的性质和图象直接判断,也可以用排除法求解.

【解析】选  选项为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项是奇函数,不是增函数;选项是反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项,取绝对值号,变为分段函数,符合题意.

4、（2011·广东高考理科·Ｔ4）设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 

 ．+||是偶函数    ．-||是奇函数

．|| +是偶函数    ．||- 是奇函数

【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性，可由奇偶性的概念进行判断.

【精讲精析】选.由题意.令，则.是偶函数.故选.

5. （2011·安徽高考文科·Ｔ11）设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则       . 

【思路点拨】由奇函数的定义有所以

【精讲精析】答案:-3.由奇函数的定义有所以.

6. （2011·广东高考文科·Ｔ12）设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=_______.

【思路点拨】令g(x)=x3cosx,利用g(x)是奇函数，求出g(a)=10，从而f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1，可得结论.

【精讲精析】答案-9令g(x)=x3cosx,则f(x)= g(x)+1且g(x)为奇函数，所以g(-a)=-g(a).由f(a)=11得g(a)+1=11,所以g(a)=10

f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9

7. （2011·浙江高考理科·Ｔ11）若函数为偶函数，则实数     

【思路点拨】两个偶函数的和函数亦是偶函数,偶函数与其它函数的和函数为非奇非偶函数.

【精讲精析】解法一：∵为偶函数，∴，

即恒成立，∴.

解法二：函数为偶函数，函数是由偶函数向左或向右平移了个单位，要使整个函数为偶函数，则需.

【考点提升训练】

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(    )

()y=-x3,x∈R              ()y=sinx,x∈R

()y=x,x∈R                ()y=()x,x∈R

2.(2012·宿州模拟)已知f(x)满足f(x+4)=f(x)和f(-x)=-f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=(    )

()-2       ()2       ()-98       ()98

3.(预测题)f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=(    )

()-b+4      ()-b+2      ()b-4       ()b+2

4.函数y=lg(-1)的图象关于(    )

()x轴成轴对称图形

()y轴成轴对称图形

()直线y=x成轴对称图形

()原点成中心对称图形

5.(2012·临沂模拟)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是(    )

6.（2012·莆田模拟）若f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且f(x)-g(x)=ex,则有（   ）

()f(2)()f(2)二、填空题(每小题6分，共18分)

7.设函数f(x)= 为奇函数，则k=______.

8.(2011·广东高考)设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=______.

9.（2012·泉州模拟）若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=f(1-x)，则

f(2 012)=________.

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.(易错题)设定义在［-2,2］上的奇函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.

11.(2012·珠海模拟)已知函数f(x)=a-是偶函数，a为实常数.

(1)求b的值；

(2)当a=1时，是否存在n>m>0,使得函数y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，若存在，求出m,n的值，否则，说明理由.

(3)若在函数定义域内总存在区间［m,n］(m【探究创新】

(16分)设函数f(x)的定义域为，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆)，有x+l∈，且f(x+l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.

(1)如果定义域为［-1,+∞)的函数f(x)=x2为［-1,+∞)上的m高调函数，求实数m的取值范围.

(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=|x-a2|-a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.

答案解析

1.【解析】选.在定义域内为奇函数的为，，，又y=sinx在R上不单调，y=x在R上为增函数，故选.

2.【解析】选.由已知得f(x)为以4为周期的奇函数,

∴f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1),

又x∈(0,2)时，f(x)=2x2,∴f(7)=-2×12=-2.

3.【解析】选.∵函数f(x),g(x)均为奇函数，

∴f(a)+f(-a)=0,g(a)+g(-a)=0,

∴F(a)+F(-a)=3f(a)+5g(a)+2+3f(-a)+5g(-a)+2=4,

∴F(-a)=4-F(a)=4-b.

4.【解题指南】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性，从而利用奇偶性判断其图象的对称性.

【解析】选.函数y=f(x)=lg(-1)=lg,

∴函数y=f(x)的定义域为(-1,1),

又∵f(-x)=lg

=-lg=-f(x),

∴y=lg(-1)为奇函数.

∴其图象关于原点成中心对称图形.

5.【解析】选.因为f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0，a≠1)为R上的奇函数，

∴f(0)=(k-1)-1=0,得k=2,

∴f(x)=ax-a-x.

又∵f(x)为R上的减函数，∴0故g(x)=loga(x+k)=loga(x+2)的图象是由y=logax(06. 【解析】选.∵f(x)-g(x)=ex,

又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

∴f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x,

可知f(x)是R上的增函数，

∴0∴g(0)7.【解析】∵f(x) =为奇函数，

∴f(-x)=-f(x),

即: =- 

得：(2+k)x=0，又x≠kπ+(k∈Z)时恒成立.

∴2+k=0,得k=-2.

答案：-2

8.【解析】令g(x)=x3cosx,则f(x)=g(x)+1且g(x)为奇函数,所以g(-a)=-g(a).

由f(a)=11得g(a)+1=11,所以g(a)=10,

f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9.

答案：-9

9.【解析】∵f(x)是R上的奇函数，

∴f(0)=0,又f(x)=f(1-x),

∴f(1)=f(0)=0,∴f(-1)=0,

令x=2,得f(2)=f(-1)=0,

∴f(-2)=0,同理可得f(2 012)=0.

答案：0

10.【解析】由f(m)+f(m-1)>0,

得f(m)>-f(m-1),

即f(1-m)又∵f(x)在［0,2］上单调递减且f(x)在［-2,2］上为奇函数,

∴f(x)在［-2,2］上为减函数，

∴

即解得-1≤m<.

【误区警示】本题易忽视m,1-m∈［-2,2］而致误.

11.【解析】(1)由已知,可得f(x)=a-的定义域为=(-∞,)∪(,+∞).

又y=f(x)是偶函数，故定义域关于原点对称.

于是，b=0.

又对任意x∈,有f(x)=f(-x),可得b=0.

因此所求实数b=0.

(2)由(1)，可知f(x)=a- (=(-∞,0)∪(0,+∞)).

考察函数f(x)=a-的图象，可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，又n>m>0,

∴y=f(x)在区间［m,n］上是增函数.

因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］.∴有

即方程1-=x,也就是2x2-2x+1=0有两个不相等的正根.

∵Δ=4-8<0,∴此方程无解.故不存在正实数m,n满足题意.

(3)由(1)，可知f(x)=a-(=(-∞,0)∪(0,+∞)).考察函数f(x)=a-的图象，

可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，

f(x)在区间(-∞,0)上是减函数.

因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，故必有m、n同号.

①当0(此时，m、n(m②当m综上所述，所求实数a的取值范围是a=0或a>.

【变式备选】已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.

【解析】(1)∵f(x)=ex-()x,且y=ex是增函数，

y=-()x是增函数，所以f(x)是增函数.

由于f(x)的定义域为R，

且f(-x)=e-x-ex=-f(x),

所以f(x)是奇函数.

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,

∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立

⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立

⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立

⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立

⇔(t+)2≤

⇔(t+)2≤0⇔t=-.

即存在实数t=-,

使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.

【探究创新】

【解析】(1)f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)，有

m≥2；x≥-1时，恒有f(x+2)≥f(x)，故m≥2即可.所以实数m的取值范围为［2,+∞)；

(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，

∵f(3a2)=a2=f(-a2)，

由f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2)，

故-a2+4≥3a2，从而a2≤1，

又a2≤1时，恒有f(x+4)≥f(x)，故a2≤1即可．

所以实数a的取值范围为［-1,1］.