因子分析与主成分分析

1．    问题描述    2

2．    因子分析    2

2.1 数据基本分析    2

2.2 因子旋转    3

2.3 因子得分    4

3．    主成分分析    5

3.1 相关系数分析    5

3.2 主成分分析    5

1．问题描述

对美国洛杉矶12个人口调查区的5个经济学变量的数据进行主成分分析与因子分析，数据如下：

表1

2.1 数据基本分析

KMO和球形Barlett的检验用于因子分析的适用性检验。KMO检验变量间的偏相关是否较小，球形Barlett检验是判断相关阵是否是单位阵，由SPSS因子分析输出如下表：

表2

    由Bartlett 检验可以看出，应拒绝各变量的假设，即变量间具有较强的相关性。但是KMO 统计量为0.575<0.7,说明各变量问信息的重叠程度可能不是特别的高，有可能做出的因子分析模型不是很完善，但还是值得尝试的。

    公因子方差是    表示各变量中所含原始信息能被提取的公因子所表示的程度，由下表中所示的变量共同度可知:几乎所有变量共同度都在80% 以上，因此提取出的这几个公因子对各变量的解释能力是较强的。

表3

    碎石图用于显示各因子的重要程度，其横轴为因子序号，纵轴表示特征根大小。它将因子按特征根从大到小依次排列，从中可以非常直观的了解到哪些是最主要的因子。前面陡峭的对应较大的特征根，作用明显;后面的平台对应较小的特征根，其影响不明显。本例中可见前两个个因子的散点位于陡坡上，而后三个因子散点形成了平台，且特征根均小于1，因此至多考虑前两个公因子即可。

2.2 因子旋转

        由SPSS因子分析并采用最大方差旋转法输出方差累计贡献率表如下：

同时输出旋转后的因子载荷矩阵如下表：

+

+

+

+

+

    第一主因子对中等学校平均校龄,专业服务项目,中等房价有绝对值较大的载荷(代表一般社会福利-福利条件因子); 而第二主因子对总人口和总雇员数有较大的载荷(代表人口-人口因子).

2.3 因子得分

若要使用这些因子做其他研究，如自变量回归分析、聚类、判别、评价等，就要对公因子进行测度，即求出公因子的值。因此有SPSS因子分析输出因子得分矩阵如下：

        由上表可以直接写出各公因子的表达式：

3．主成分分析

3.1 相关系数分析

由因子分析可以输出5个变量间的相关系数矩阵如下，可见总人口与总雇员数、中等房价与中等学校平均校龄等变量间相关性较强，存在信息上的重叠。

    由因子分析可知，选取两个主成分就可以描述原变量的绝大部分信息，同时可以输出未旋转前的主成分系数矩阵如下表，说明了各主成分在个变量上的载荷，再分别除以相应主成分的特征值的平方根，从而得出各主成分的表达式，注意在表达式中各变量己经不是原始变量，而是标准化变量。

                  =

                 =

其中,  =1.797