宜春市2011届高三年级模拟考试

数学（理科）试卷

一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．如果（表示虚数单位），那么（    ）

    A．1        B．          C．0          D． 

2．设集合，，若，则（     ）

A．         B．        C．       D．

3．给定空间中的直线及平面，则“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（     ）

A．充要条件                         B．充分非必要条件   

C．必要非充分条件                   D．既非充分又非必要条件

4、已知则下列结论中不正确的是（ ）

A．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象

B．函数的最大值为

C．函数的图象关于对称  

D．函数的最小正周期为

5、一个四棱锥的三视图如图所示，其中

主视图是腰长为1的等腰直角三角形，

则这个几何体的体积是 (     )

A．          B．        

C．          D．

6.某市原来居民用电价为0.52元/kw·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/kw·h ，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h．对于一个平均每月用电量为200kw·h 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 (     )

 A.     B.      Ｃ.      D. 

7．已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（     ）                                          

A.           Ｂ.             C．            D． 

8. 直线，将圆面分成若干块，现有种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有种涂法，则的取值范围是（     ）                               

  A.                    Ｂ.       

  C．　　         D． 

9．定义：若平面点集中的任一个点，总存在正实数，使得集合，则称为一个开集.给出下列集合：

①；②；③；

④.  其中是开集的是（ ）

A．①④ ．②③ ．②④ ．③④

10．下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图），将线段围成一个正方形，使两端点恰好重合（如图），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在轴上，点的坐标为（如图），若图中直线与轴交于点，则的象就是，记作．现给出以下命题：

①；    ②的图象关于点对称；

③为偶函数；      ④在上为常数函数.

其中正确命题的个数为（     ）

A．               B.               C．             D． 

二．填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）

11.,，则范围为            ．（为坐标原点）.

12．执行右边的程序框图，则输出的结果是            .

13．已知D是不等式组所确定的平面区域，

则圆在区域D内的弧长为               .

14．给出下列命题：

①是幂函数

②函数的零点有个

③展开式的项数是6项

④函数图象与轴围成的

图形的面积是

⑤若，且，则

其中真命题的序号是                         （写出所有正确命题的编号）.

15.（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）

    A.化极坐标方程为直角坐标方程为               .

 不等式对任意恒成立的实数的取值范围为

_____________.

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤）

16．（本小题满分分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，且。

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若=1，求△ABC的周长l的取值范围。

17．（本小题满分分）桌面上有两颗均匀的骰子（个面上分别标有数字）.将桌面上骰子全部抛掷在桌面上，然后拿掉那些朝上点数为奇数的骰子，如果桌面上没有了骰子，停止抛掷，如果桌面上还有骰子，继续抛掷桌面上的剩余骰子. 记抛掷两次之内（含两次）去掉的骰子的颗数为.

（Ⅰ）求；     （Ⅱ）求的分布列及期望. 

18．（本小题满分分）如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，

其中BC//AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，

O为AD中点.

   （Ⅰ）求证：A1O//平面AB1C；

   （Ⅱ）求锐二面角A—C1D1—C的余弦值.

19.（本小题满分分）设函数.

   （Ⅰ）求函数单调区间； 

   （Ⅱ）若恒成立，求的取值范围； 

20．（本小题满分分）已知直线与抛物线相切于点，且与轴交于点，定点的坐标为.

   （Ⅰ）若动点满足，求点的轨迹；

   （Ⅱ）若过点的直线（斜率不等于零）与（I）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围.

21．（本小题分）设是数列的前项和，点在直线上.

（Ⅰ）求数列的通项公式； 

（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使的的最小值；

(Ⅲ)设正数数列满足，求数列中的最大项.

宜春市2011届高三年级模拟考试数学理科试卷

参 

 一、选择题：本大题共１0题，每小题５分，共5０分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

11.；12. 10；13.；14.⑤；15 .A:，B:．

三、解答题：本大题共６小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由

∵∴， 

                                 …………  5分  

（Ⅱ）由正弦定理得： 

       …………  8分  

∵∴

∴△ABC的周长l的取值范围为            …………  12分  

17. （本小题满分12分）

（Ⅰ）                   …………  5分  

（Ⅱ）

………………… 12分 

18（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图（１），

连结CO、A1O、AC、AB1，……1分

则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，

所以，四边形A1B1CO为平行四边形，………3分

所以A1O//B1C，

又A1O平面AB1C，B1C平面AB1C

所以A1O//平面AB1C………………6分

（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD

又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，

所以D1O⊥底面ABCD，……………7分

以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为轴、轴、轴建立如图（2）所示的坐标系，则（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，-1，0）.………………8分

所以，……9分

设为平面C1CDD1的一个法向量，

由，得，

令，则.……10分

又设为平面AC1D1的一个法向量，

由，得，

令，则，……………………11分

则，故所求锐二面角A-C1D1-C的余弦值为……12分

 19．（本小题满分12分）解：（I） 

当时，，在上是增函数；

当时，令得，           ……………………3分

若，则，从而在区间上是增函数；

若，则，从而在区间上是减函数．

综上可知：当时，在区间上是增函数.当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数  …………6分

（II）由（I）可知：当时，不恒成立           …………8分

又当时，在点处取最大值，

且                   ………………10分

令得

故若对恒成立，则的取值范围是      ……12分

20．（本小题满分13分）

解：（I）由

    故的方程为点A的坐标为（1，0）              ………… 2分

    设

    由

    整理得：                           ………………  4分

    动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，

长轴长为，短轴长为2的椭圆.               ………5分

（II）如图，由题意知的斜率存在且不为零，    

    设方程为①

    将①代入，整理，得

       ………………7分

    设．，

    则  ②

    令

    由此可得

    由②知

          即        ………… 10分

    解得

    又

    面积之比的取值范围是    ……………… 13分 

21. （1）依题意得，则时， 

，        --------2分

又时， 

  .-------4分

（2）依题意， 

由，得                   ------------------6分

因此n的最小值为1007.                        ------------------9分

（3）由已知得即      

∴                      -------------11分

令，则，当时，，即

∴当时，为递减函数                             

, ----12分

,

∴为数列中最大项.                             --------------14分