2021年高考文数真题试卷(全国乙卷)含答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu（MUN）=（   ）            

A. {5}                                   B. {1,2}                                   C. {3,4}                                   D. {1,2,3,4}

2.设iz=4+3i，则z等于（   ）            

A. -3-4i                                    B. -3+4i                                    C. 3-4i                                    D. 3+4i

3.已知命题p： x∈R，sinx＜1；命题q： x∈R， e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）            

A. p q                            B. p q                            C. p q                            D. (pVq)

4.函数f（x）=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是（   ）            

A. 3 和                             B. 3 和2                            C. 和                             D. 和2

5.若x，y满足约束条件 ,则z=3x+y的最小值为（   ）            

A. 18                                          B. 10                                          C. 6                                          D. 4

6. （   ）            

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

7.在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（   ）            

A.                                           B.                                           C.                                           D. 

8.下列函数中最小值为4的是（   ）            

A.                 B.                 C.                 D. 

9.设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（   ）            

A.                        B.                        C.                        D. 

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）            

A.                                          B.                                          C.                                          D. 

11.设B是椭圆C： 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（   ）            

A.                                          B.                                          C.                                          D. 2

12.设a≠0，若x=a为函数 的极大值点，则（ ）            

A. a＜b                                 B. a＞b                                 C. ab＜a2                                 D. ab＞a2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）

13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 ，则λ=________.    

14.双曲线 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为________.    

15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.    

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）. 

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）

17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 

（1）求 ， ， s12  ， s22；    

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 - ≥ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.    

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM. 

​​

（1）证明：平面PAM 平面PBD；    

（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.    

19.设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.    

（1）求 和 的通项公式；    

（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .    

20.已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.    

（1）求C的方程.    

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.    

21.已知函数 .    

（1）讨论 的单调性；    

（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.    

四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1题；共2分）

22.在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1.    

（1）写出 C的一个参数方程；    

（2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.    

五、[选修4-5：不等式选讲]（共1题；共2分）

23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.    

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；    

（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.    

答案解析部分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【解析】【解答】因为 U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4} 则 MUN ＝{1，2，3，4}，

 于是 Cu（MUN）= {5} 。

 故答案为：A

 【分析】先求 MUN，再求 Cu（MUN） 。

2.【解析】【解答】因为 iz=4+3i ，所以Z＝

 故答案为：C

 【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。

3.【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题，

 故答案为：A

 【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。

4.【解析】【解答】因为 f（x）=sin +cos ＝,所以周期值域

 即最大值是

 故答案为：C。

 【分析】先将 f（x） 解析式化成的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。

5.【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），

 当直线 z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6. 

 故答案为：C

 【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。

6.【解析】【解答】因为  

 故选D。

 【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。

7.【解析】【解答】由几何概型得：P＝.

 故答案为：B

 【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。

8.【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；

 对于B：因为， 设t=|sinx|(  ),则y=g(t)=由双沟函数知，

 函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；

 对于C：因为 当且仅当时“＝”成立，

 即ymin=4，故C选项正确；

 对于D：当时，<0，故D选项不符合，

 故答案为：C.

 【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。

9.【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1,则h(-X)h(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合；

 对于B：因为h(x)= f(x-1)+1,则h(-X)＝h(X),所以h(X)是奇函数，故B符合；

 对于C：h(x)= f(x+1)－1,则h(-X)h(X)，所以C不符合；  对于D：h(x)= f(x+1)+1,则h(-X)≠h(X)，故D不符合.

 故答案为：B.

 【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。

10.【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，

 因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以

 即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1, 又,所以＝.

 故答案为：D

 【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

11.【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1

 =-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max

 ＝， 

 故答案为：A

 【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。

12.【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a 

 当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。

 故答案为：D.

 【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且 ， 则， 则 。

 【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。

14.【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.

 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。

15.【解析】【解答】

 于是

 【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。

16.【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；

 当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，

 故答案为： ②⑤或③④

 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数， 再直接用公式计算 s12  ， s22；

 (2)由 (1)中的数据，计算得： - =0.3，2 ≈0.34 ， 显然 - ＜2 ，可得到答案。

18.【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明 平面 ， 从而可能证明 

平面 平面 ；

（2）由连接BD（1）可得 ， 证明  通过计算，求出高 ，再用棱锥体积公式直接得到答案。

19.【解析】【分析】由 ， ， 成等差数列，列关系式等比数列 的公比q，进而得到 ，再由bn与an的关系求得bn；

 （2）先根据条件求得，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 < .

20.【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；

 （2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0  ， y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。

21.【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；

 （2）先设切点坐标横坐标x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。

四、[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程； 

（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。

五、[选修4-5：不等式选讲]

23.【解析】【分析】（1)当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式；

 （2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.