《历年高考专题汇编》统计与概率

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《历年高考专题汇编》—>统计与概率

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人	得分

一、选择题（题型注释）

1．的展开式中x的系数是

（A）     （B）     （C）2     （D）4

2．设，且，若能被13整除，则

A．0                     B．1              

C．11                      D．12

3．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()

　（Ａ）种　　　　　（Ｂ）种　　　　　（Ｃ）种　　　　（Ｄ）种

4．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有

(A)  1344种    (B)  1248种    (C)   1056种   (D)   960种

5．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（    ）

A．24种        B．36种        C．48种        D．72种

6．图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为

A.１５　　　B.１６　　　C.１７　　　D.１８

7．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为

（A）（B）（C）  （D）

8．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为

A．      B．     C．       D． 

9．在某地的奥运火炬手传递活动中，有编号为的名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为

A、           B、          C、          D、

10．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(     )

A.      B.     C.    D. 

11．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A．                      B．

C．                          D．

12．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(        ).

A.90   B.75   C.  60     D.45

13．如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年到2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图，图中左边的数字从左到右分别表示镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年到2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为

A、           B、          C、          D、

14．样本有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为

(A)                       (B)                (C)           (D)2

15．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

（A）甲地：总体均值为3，中位数为4    （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0       

（C）丙地：中位数为2，众数为3        （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3

16．已知随机变量Z服从正态分布N（0，）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=

(A)0.477        (B)0.625    (C)0.954   (D)0.977

第II卷（非选择题）

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评卷人	得分

二、填空题（题型注释）

17．已知的展开式中没有常数项，，且2≤n≤8，则n=______．

18．已知是正整数)的展开式中，的系数小于120，则

19．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻。这样的六位数的个数是            （用数字作答）

20．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。（以数字作答）

21．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有        种．（用数字作答）．

22．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有        种（用数字作答）。

23．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是   　　　   （结果用分数表示）.

24．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为       （用数字作答）.

25．某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取________所学校.

26．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则

（Ⅰ）4位回文数有          个；

（Ⅱ）位回文数有         个．

评卷人	得分

三、解答题（题型注释）

27．设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．

（1）求概率；

（2）求的分布列，并求其数学期望．

28．(本小题满分13分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为且各车是否发生事故相互,求一年内该单位在此保险中：

（1）获赔的概率；(4分)

（2）获赔金额的分别列与期望。(9分)

29．本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

降水量X
工期延误天数	0	2	6	10

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：

（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差； 

（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.

30．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱。为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

	“厨余垃圾”箱	“可回收物”箱	“其他垃圾”箱
厨余垃圾	400	100	100
可回收物	30	240	30
其他垃圾	20	20	60

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率 

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0，a+b+c=600.当数据a,b,c,的方差最大时，写出a,b,c的值（结论不要求证明），并求此时的值。

（注：，其中为数据的平均数）

31．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

32．（本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为

该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：

市场情形	概率	价格与产量的函数关系式
好	0.4
中	0.4
差	0.2

设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．

（I）分别求利润与产量的函数关系式；

（II）当产量确定时，求期望；

（III）试问产量取何值时，取得最大值．

参

1．C

【解析】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的基本运算能力.

，故的展开式中含x的项为，所以x的系数为2.

2．D

【解析】本题考察二项展开式的系数.

由于

51=52-1，,

又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.

3．C

【解析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；

从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；

∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法  故选C；

【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；

【突破】从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；

4．B

【解析】首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有种排法.所以此时余下的这4个数字共有种方法．由乘法原理可知共有种不同的排法，选B．

5．:B.

【解析】: 此题的难度主要是来自分类，按“问题元素”优先的原则，对甲进行分类：甲照看第一道工序（甲1丙4）、甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“休息”（乙1丙4）三种.

    CCA+ CCA+ CCA=36

6．B

【解析】若按原定的分配，A点余10件，B点余5件，C点却4件，D点却11件。要使调动件次最少，须考虑从最近的点调到最多的缺件到所缺处，而D却的最多，与之相邻的点C也是剩余最多的，应优先考虑由C点的余货全数补给D点，再考虑由B点的填补临近点C的不足再去填补经C补给后D点的不足，这就能使得调动件次最少。

7．B

【解析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点的概率为。

8．C

【解析】一天显示的时间总共有种，和为23，总共有4种，故所求概率为。

9． 

【解析】属于古典概型问题，基本事件总数为。

选出火炬手编号为，

时，由可得4种选法；

时，由可得4种选法；

时，由可得4种选法。

10．D

【解析】甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

共12对，所以所求概率为，选D.

11．A.

【解析】本题考察几何概型及平面图形面积求法.

令，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为，围成OC为，作对称轴OD，则过C点。即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，。在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和，，，扇形OAB面积，选A.

12．A

【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,则,所以,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.

13．B

【解析】

14．D

【解析】由题意知,解得,所以样本方差为

=2,故选D.

【命题意图】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差,属基础题,熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键.

15．D

【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.

16．C

【解析】因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,

所以0.954,故选C.

【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.

17．:5

【解析】当n=2时，（x+的展开式中有，结论不成立；当n=3时，（x+的展开式中有1，结论不成立；当n=4时，（x+的展开式中有常数项，结论不成立；当n=5时，（x+的展开式中x的次数依次是5，1，－3，－7，－11，－15，结论成立. 

18．1

【解析】本题考查二项式定理及其应用，只要直接利用通项公式先求出的系数，再解不等式即可;可求得，令，得∴的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。

19．40

【解析】本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，∴不同的安排方案共有种。

20．25

【解析】所有的选法数为，两门都选的方法为。

故共有选法数为

21．96

【解析】排列组合应用问题，弄清题意。从特殊位置入手分类和分步完成，从最后一棒分类，甲为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有，乙为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有，则有．

22．216

【解析】安装灯泡可以先A1开始，按照A1-B1-C1-C-B-A这个顺序.A1有4种选法，B1有3种选法，C1有2种选法.C在选择时，分成三类：一类是与A、B、C颜色都不同，则有3种方法；两类是与B1颜色相同，则有3种方法.三类是与A1颜色相同，则有3种方法.根据乘法原理共有种安装方法,

23． 

【解析】已知六个无共线的点生成三角形总数为：；可构成三角形的个数为：，所以所求概率为：.

24．： 

【解析】：语文、数学、外语三门文化课间隔1节艺术课排列有种排法，语文、数学、外语三门文化课相邻有种排法，语文、数学、外语三门文化课两门相邻有种排法，故所有的排法种数有+，在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为

【考点定位】本题在计数时根据具体情况选用了插空法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义

25．18,9

【解析】学校共有150+75+25=250，则小学中抽取中学中抽取

【考点定位】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算

26．（Ⅰ）90（Ⅱ）

【解析】本题考查排列、组合的应用.

（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有种。

（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为.

法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此,则答案为.

27．（1）

（2）

【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。

（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望

解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，

∴共有对相交棱。

∴。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，

∴，。

∴随机变量的分布列是：

	0	1

∴其数学期望。

【考点定位】本题主要考查概率统计知识，离散型随机变量的分布列，数学期望的求解，随机事件的基本运算，本题属于基础题目，难度中等偏上，考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意不哟啊遗漏的取值情况。

28．（1）

（2）综上知，的分布列为

（元）．

【解析】解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，，

且，，．

（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

．

（Ⅱ）的所有可能值为，，，．

，

，

，

．

综上知，的分布列为

求的期望有两种解法：

解法一：由的分布列得

（元）．

解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，

则有分布列

故．

同理得，．

综上有（元）．

29．（Ⅰ）的均值为3，方差为.

（Ⅱ）.

【解析】本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。

（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：

，

.

.

所以的分布列为：

	0	2	6	10
	0.3	0.4	0.2	0.1

于是，；

.

故工期延误天数的均值为3，方差为. 

（Ⅱ）由概率的加法公式，

又.              

由条件概率，得.

故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.

【考点定位】本题考查概率和统计的基础知识，概率统计是高考的一个热点知识，几乎年年必考，熟练基础知识是解决此类试题的关键。

30．（Ⅰ）

（Ⅱ）0.3

（Ⅲ）时，方差取得最大值

【解析】（1）厨余垃圾投放正确的概率约为

（2）设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确。事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即约为，所以约为

（3）当时，方差取得最大值，因为，

所以

【考点定位】此题的难度集中在第三问，其他两问难度不大，第三问是对能力的考查，不要求证明，即不要求说明理由，但是要求学生对方差意义的理解非常深刻

31．（）合唱团学生参加活动的人均次数为

（）

（）．

【解析】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（）该合唱团学生参加活动的人均次数为．

（）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．

（）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

；

；

的分布列：

	0	1	2

的数学期望：．

32．（I）L1=

   (q＞0).

   (q＞0)

(q＞0)

（II）

（III）当q=10时, f(q)取得最大值,即最大时的产量q为10.

【解析】解:由题意可得

L1=

   (q＞0).

同理可得   (q＞0)

(q＞0)    4分

(Ⅱ) 解:由期望定义可知

(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知是产量q的函数,设

(q＞0)

得0解得

(舍去).

由题意及问题的实际意义(或当0＜q＜10时,f′(q)＞0;当q＞10时, f(q) ＜0＝可知,当q=10时, f(q)取得最大值,即最大时的产量q为10.