2021届中考数学压轴题专题突破01 数与式问题【含答案】

一、选择题

1．已知x m=3 ，x n=5，则x m+n的值为（）

A．8 B．15 C．53D．35

【答案】B

2．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

由题意得

，

∴，

∴，

∵无论x取任何实数，代数式都有意义，

∴，

∴.

故选C.

【关键点拔】

本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键.

3．中国倡导“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为44亿人，数据44亿用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．44×1010

【答案】B

4．计算()2＋的结果是( )

A．1B．－1C．2x－5D．5－2x

【答案】D

【解析】

由题意要求()2＋的值，

∵2-x≥0，

∴x≤2，

∴x-3＜0，

∴=3-x，

∴()2＋=2-x+3-x=5-2x，

故选D．

【关键点拔】

本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是要注意二次根式根号里面要为非负数. 5．化简(－2)2018·(＋2)2019的结果为( )

A．－1 B．－2 C．＋2 D．－－2

【答案】C

【解析】

原式=[（-2）（+2）]2018•（+2）=（-1）]2018•（+2）=+2，

故选C．

【关键点拔】本题考查了指数幂的运算性质，考查了运算能力和转化能力，属于基础题

6．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）

A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定

【答案】A

【关键点拔】

考查了二次根式的化简，需要正确理解二次根式的算术平方根等概念．

7．某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8．于是，他在每个框中各填写了一个两位数与，结果发现，所得到的六位数恰是一个完全立方数．则+=（）

A．40 B．50 C．60 D．70

【答案】D

【解析】

设，则据末位数字特征得y＝2，

∵603＝216000，703＝343000，

∴，

∴，

∵623＝238328，

∴，

∴.故选D.

【关键点拔】

本题考查的知识点是完全平方数，解题关键是根据末位数字特征得y＝2.

8．求1+2+22+23+…+22018的值，可令S＝1+2+22+23+…+22018，则2S＝2+22+23+24+…22019，因此2S﹣S＝22019﹣1，即S＝22019﹣1．依照以上的方法，计算出1+5+52+53+…52017的值为（）

A．52018﹣1 B．52019﹣1 C．D．

【答案】C

【关键点拔】

本题考查了有理数的混合运算，利用错位相减法，消掉相同值，是解题的关键．

9．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于()

A．98 B．99 C．100 D．101

【答案】B

【解析】

∵

=

=，

∴S=+++ …+=

=

=100-，

∴不大于S的最大整数为99．

故选B.

【关键点拔】

本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础．

10．如图所示，每个小立方体的棱长为1，图1有1个立方体，其中1个看得见，0个看不见；图2有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；图3有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……；则第10个图形中，其中看得见的小立方体个数是（）

A．270 B．271 C．272 D．273

【答案】B

【关键点拔】

本题考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

二、填空题

11．若＋＝＋|2c－6|，则b c＋a的值为____．

【答案】－3

【关键点拔】

本题考查了二次根式有意义的条件和非负数的性质，同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.

12．若规定一种运算=ad-bc，则化简=________

【答案】-5x

【解析】

根据题目的新规定知，

=(x-1)x-(x+4)x

=x2-x-x2-4x

=-5x.

故答案：-5x.

【关键点拔】

本题考查了多项式的化简，解题的关键是根据题目信息列出算式.

13．已知a，b，c是△ AB C的三边，化简＝_________．

【答案】2c

【关键点拔】

本题考查了二次根式的性质，三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.

14．若0＜a＜1，则－的值为_______．

【答案】－2a

【解析】

∵0＜a＜1，∴＞1＞a＞0，

∴原式=

=

=

=-2a，

故答案为：-2a.

【关键点拔】

本题考查了二次根式的性质与化简，正确分析出＞1＞a＞0是解题的关键.

15．一个正数的平方根为2﹣m与3m﹣8，则m的值为_____．

【答案】3

【关键点拔】

本题考查平方根，注意一个正数的两个平方根的和为0．

16．当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是______，最小是______. 【答案】0 1

【解析】

当|x-2|+|x-3|的值最小时，2≤x≤3，

又因为1不在2和3之间，所以可令x=2，

则|x-2|+|x-3|-|x-1|=0，

令x=3，则|x-2|+|x-3|-|x-1|=-1，

所以，所求最大值为0，最小值为-1.

【关键点拔】本题考查了代数式的最值问题，正确地分区间讨论是解题的关键. 17．已知x、y为正偶数，且，则__________.

【答案】40

【解析】

∵，

∴xy(x+y)=96，

∵x、y为正偶数，xy≥4，x+y≥4，

∴96=222223=616=812=424

当xy(x+y)= 424时，无解，

当xy(x+y)= 616时，无解，

当xy(x+y)=812时，x+y=8，xy=12，

解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，

∴x2+y2=22+62=40.

故答案为：40【关键点拔】

本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.

18．下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，

则的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是________ 【答案】①③

④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则x的取值范围是即

，x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．

故答案为：①③．

【关键点拔】

本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．

19．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t（s,t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有

这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成1×18,2×9,3×6这三种，这时就有F(18)=．给出下列关于F()的说法：（1）F(2)=；（2）

F(24)=；（3）F(27)=3；（4）若是一个完全平方数，则F()= 1．上述4个说法正确的有_______个.

【答案】2

【解析】

∵2=1×2，∴F（2）=，故（1）是正确的；

∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的；

∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是错误的；∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的，∴正确的有（1），（4）．

故答案为：2．

【关键点拔】

本题考查了题目信息获取能力，解决本题的关键是理解答此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对

值最小，F（n）=（p≤q）．

20．大于1的正整数m的三次幂可“”成若干个连续奇数的和．如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3“”后，其中有一个奇数是347，则m的值是_____．

【答案】19；

【关键点拔】

考查了有理数的乘方，观察出的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．

三、解答题

21．利用因式分解计算或说理：

(1)523-521能被120整除吗？

(2)817-279-913能被45整除吗？

【答案】(1)523-521能被120整除；(2)817-279-913能被45整除.

【关键点拔】

本题考查了因式分解的实际运用，掌握提取公因式法的方法和同底数幂的乘法是解决问题的关键．22．某能源研究所做了一个统计：1km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.2×108kg煤所产生的能量．那么5×105km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?

【答案】6×1013kg．

【解析】

由题意可得：1.2×108 ×5×105=6×1013（千克），

答：一年内从太阳得到的能量相当于燃烧6×1013千克煤．

【关键点拔】

此题主要考查了整式的混合运算，熟练应用运算法则是解题关键．

23．阅读材料，解答下列问题．

例：当a＞0时，如a＝6，则|a|＝|6|＝6，故此时a的绝对值是它本身；

当a＝0时，|a|＝0，故此时a的绝对值是零；

当a＜0时，如a＝－6，则|a|＝|－6|＝6＝―(―6)，故此时a的绝对值是它的相反数．

因此综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即

这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．

问：(1)请仿照上面的分类讨论的方法，分析实数的各种展开的情况；

(2)猜想与|a|的大小关系．

【答案】（1）详见解析；（2）

【关键点拔】

本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式利用分类讨论得出是解题关键．

24．我国现行的二代身份证号码是18位数字，由前17位数字本体码

．．．组成.校验码通过前

．．．．．和最后1位校验码

17位数字根据一定规则计算得出，如果校验码不符合这个规则，那么该号码肯定是假号码.现将前17位数字

．．

本体码

．．．记为，其中表示第位置上的身份证号码数字值，按下表中的规定

．．分别给出每个位置上的一个对应的值.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2

4 4 0

5 2 4 1 9 8 0 0 1 0 1 0 0 1

现以号码为例，先将该号码的前17位数字本体码

．．．．．填入表中(现已填好)，依照以

下操作步骤计算相应的校验码

．．．进行校验:

（1）对前17位数字本体码

．．．．．，按下列方式求和，并将和记为：

.

现经计算，已得出，继续求得____；

（2）计算，所得的余数记为，那么____；

（3）查阅下表得到对应的校验码（其中为罗马数字，用来代替10）：

值0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

校验码 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2

所得到的校验码为____，与号码中的最后一位进行对比，由此判断号码是____（填“真”或“假”）身份证号.

【答案】196；9；3，假.

【关键点拔】

此题考查用数字表示事件，关键是理解掌握阅读知识中规定的运算．

25．已知a＝，求的值．

【答案】1－.

【解析】

∵a＝＝2－，

∴a－1＜0，

∴原式＝，

＝a－1＋，

＝a－1，

＝2--1，

=1-.

【关键点拔】

本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．26．对于三位正整数:121、253、374、495、583、671、880、…,它们都能11整除.若设百位数字是十位数字是个位数字是

(1)观察这些三位数,根据你的观察、总结,应满足的关系式是__________；

(2)为了说明满足上述关系式的三位正整数都能被11整除,请利用代数式的运算证明你得出的结论的正确性；

(3)除此之外,还有一类三位正整数，例:429、506、528、638、517、759、…，它们也能被11整除.请观察这组数字的特点,发现有什么规律?再自选一个异于上面3个数字且满足“规律”的三位数,来验证你所发现的“规律”的正确性.

【答案】（1）a+c=b；（2）见解析；（3）a+c-11=b.

∴满足上述关系式的三位正整数都能被11整除；

（3）∵429：4+9-11=2、506：5+6-11=0、528：5+8-11=2、638：6+8-11=3、517：5+7-11=1、759：7+9-11=5、…，∴a+c-11=b，

如a=3,c=9,则b=3+9-11=1,该三位数是319，

∵319÷11=29，

∴满足该特点的三位数能被11整除.

【关键点拔】

本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，此题注意多位数的表示法．

27．一点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位……（1）写出第一次移动后这个点在数轴上表示的数；

（2）写出第次移动后这个点在数轴上表示的数；

（3）如果第次移动后这个点在数轴上表示的数为56，求的值.

【答案】（1）3；（2）；（3）54.

（3）根据（2）得：m+2=56，

解得m=54.

【关键点拔】

本题考查了数轴的知识，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，从一些特殊的数字变化中找出变化的规律是解题关键.

28．计算：

.

【答案】

【解析】

原式=

=

=.

【关键点拔】

本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

29．已知，.

（1）化简：；（2）当与互为相反数时，求（1）中化简后的式子值.

【答案】（1）；（2）.

（2）因为与互为相反数，

所以，

又因为，

所以且，

即且.

当，时，

2（A+B）-3（2A-B）=6×+3×02-10××0+11

=6×+11

=12.

【关键点拔】

本题考查整式的加减、相反数的性质及平方和绝对值的非负数性质，熟练掌握运算法则是解题关键. 30．先阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋

解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________

②根据上述思路，试将下列各式化简：

(1)； (2).

【答案】①，3+；②(1)5-；(2) .

(2)

=

=

=

=

=.

【关键点拔】

本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．