第七章 像差概述

7.1 介绍

在第三章的课后练习中，你可以用运优化减少或者消除像差，比如球差、慧差、像散。在第六章，可以看到通过改变光阑的位置来减少慧差和像散。直到现在我们也只是仅仅在优化函数编辑器SPHA,COMA,ASTL看到这些像差。即使你对这些基础像差已经有一些前期的探索，我们仍然要在更深层次设计镜头之前了解这些像差。这些像差将会被在像平面上或者输出孔径上描述。

7.2 评价图

在整个过程中，有两个评价图一直要用到。分别是射线图（ray fan plot）和散斑点图表（spot diagram）我们将根据这些图标来描述像差，这将有助于我们理解这些图到底说明了什么。

7.2.1 射线图

如图7.1a，假设有一个离轴实物，垂直于y轴，从这个实物上一些光线发射出来射向通过光轴和点光源定义的光平面。假设光通过一个近轴的薄透镜，光阑面在该透镜上，主要光线将穿过光阑中心。主要光线在空间均匀分布于沿y轴的孔径面上。两束光线在孔径的边沿分别在主光线的两侧。这中空间分布就叫射线图。主光线进入像平面进而穿透像平面以一定的高度。其余的光线也是在不同的位置进入像平面进而穿透像平面。

我们划斑点图，横坐标代表y轴孔径，纵坐标代表y轴的像平面。用一个特殊的光线作为一个例子，比如光线a，画出在孔径中的位置与像平面中的位置，作为x－y点在图表中。然而，在像平面上我们不从光轴画出射线a的位移，而是画出射线a相对于主光线的位移。换句话说，主光线穿透的位置被定义为我们斑点图y轴的零点。另外，我们就可以用规格化的位置代替实际光线a的孔径位置。限定在x－轴上的图表范围为±1。当我们根据这些协议所描述的规则画出所有的光线，就可以称为射线图，如图7.1b所示。射线图的形状依赖于系统中像差的类型和大小。对于一个没有像差系统，射线图将是一个和x轴重合的直线。（有法向到切向的扇型就叫弧矢扇型图）

7.2.2 散斑图表

假定，添加相同两个直线栅格入瞳，如图7.2。从沿y轴的物体两端分别穿过两个孔径。光线进入像空间会聚在像平面。用二维代替原来的一维光线穿过方式，就可以得到一个二维的分布，这个就叫散斑图，如图7.3。这个光线的分布图也依赖于系统像差，系统的像差越少，散斑图就越集中，在没有像差的系统中，散斑图是一个点。

尽管添加完全相同直线栅格在入瞳中比较流行，其它的方式也有运用，如图7.4所示。

7.3 光线的像差种类

7.3.1 散焦

子午平行光线射向透镜，如图7.5所示，在这个例子中，我们假定系统没有像差。光线就被完美的聚焦轴线的像平面上，而且所有的光线仅聚焦于轴上一点，我们可以观测到光线沿轴向分布，可以在图7.5中的中间看出。图上标为c的点就位焦点，所有的光线会聚于这一点，散斑图是一个点。在这一点的两侧光线散斑图分布是对称的，越远离焦点散斑图越大。然而散焦面的光线分布仅仅是与入瞳分布成一定的几何关系。

尽管离焦在严格意义上并不是一种像差，但是它的影响却是一直存在的。如果观测点不在轴上平面时，物体像几何大小被一个有限尺寸的模糊散斑图缠绕，其结果导致图像的一些细节的丢失和清晰度减小。当这些面的距离增大时，模糊散斑变大，清晰度降低。

在图7.5的下半部分，将边缘部分的光线定义为光线1，也就是此光线穿过光阑的上边缘，然后经过透镜，散焦于平面a上。光线位于光轴上端一定量位置，量的大小展示在（a）图中，返回光阑中，所有的光线透射到平面a上，画出相对于光轴的相对高度，如图（a）所示的正斜线。光轴平面上的光线高度为0，如图（c）所示，平面a是内部的轴上焦点。

如果去相等距离的外部焦点，在观测平面e上，光线的高度是相反的，如图（a）所示，是一条负斜线，光线射线图在弧矢和慧矢具有相同的斜率就称为离焦。

7.3.2 球差

子午光线穿过透镜将引起球差。假定光线如图7.6（上部）在光轴两侧等距离分布，与散焦不同的是，球差会使得所有光线不会穿过光轴上的焦点。例如边缘光线（1和－1）的像比0.33和－0.33的光线像更靠近透镜，但是0.33和－0.33光线的像更靠近透镜焦点。因此球差使得不同环带内的光线聚焦在光轴上的不同点，球差也可以被认为是区域像差，在光轴和边缘光线之间的聚焦距离就称为纵向球差。这样的光线相交不一定在光轴上，例如0.66和光线1相交在子午平面，如图所示的像平面a和b之间。所有相近的光线相交就叫散焦。在子午光线边缘光线穿过散焦线定义一个自然腰宽，对应于光轴上位置就称为最小渐晕。

散斑图显示在图7.6的中间部分，从图中可以看出散斑图不在和离焦一样只是与入瞳光线分布成一定的几何关系，每一个散斑图都是唯一的，并且散斑图在轴平面等距离的两侧也不在对称。轴上焦点不在是一个像点而是一个具有一定尺寸的模糊圆圈，最小的模糊圆圈在c处，在轴上这一点具有最高的清晰度。

球差相关光线分布如图7.6中的底部。

注意到像差曲线都有一个明显的S状。在轴平面上的中心区域，像差曲线比较平坦，这个区域也没有离焦。边缘光线具有最大的横向像差值，定义其代表最大的系统球差。这时，当远离近轴焦点，像差的中心区域不在平坦，并且随着近轴距离的增加，其斜度增加。比如c图，横向像差达到最小，这就是最小的模糊平面，我们就认为球差和离焦达到平衡。

7.3.3慧差

在前面的两个例子中用平行于光轴的光线代替子午光线，用和光轴成一定角度的平行光线作为输入光束，如图7.7所示。如果系统没有任何像差，所有的光线将会聚于近轴平面的同一个焦点，焦点将偏离光轴。假定系统只有慧差时，慧差和球差一样也是与光线的分布区域有关，边缘光线对（＋1和－1）聚焦在近轴平面上，但是其偏离主光线的距离最大。光线对（＋0.33和－0.33）也聚焦于近轴平面，但是比较接近主光线。我们可以认为慧差是随光线

区域不同而发生侧面伸缩。

光线散焦平面给出了子午散斑图，可以从7.7的底部图中看到，相对于主光线的位移可以

测量得到。二次特性在图（e）中更为明显，其图行是对称抛物线，都为负值。光线对（＋1和－1）具有相同偏移主光线。边缘光线具有最大的慧差值。实际这些图相对于散焦面并不是真正的抛物线，但是慧差的二次特性仍然很明显。

用散斑图定义散焦面可以从图7.7的中间部分看到。轴上焦点的散斑图看上去像一个倒立的柱型冰激凌。与球差不同的是，来自同一个区域的光线不会聚焦在同一个点，仅仅从相反方向的光线对才可以会聚于近轴平面的同一个点，不同的区域的光线在近轴平面上形成不连续的像圈。像圈的半径随着光线区域的半径而增加。圈中心偏离主光线位的移量随着区域半径的增加也增大。所以这种冰激凌状的模式可以从图7.8中看到。其特点是偏离散焦面不同其形状也不同，但在近轴上形状很紧密。

7.3.4像散如图7.9用三维的光线像差代替子午光线像差更有利于说明像散。假定系统只有像散一种像差，切向和弧矢光线都可以展示出来，像散和球差、慧差不同不是一个由光线分布区域不同而引起的像差，像散是由于切向和弧矢光线分别沿着主光线形成不同的聚焦而引起。像散发生可以认为不同光线形成不同的观察效果。所有的细光束形成一个完美的焦点，然而切向焦点和弧矢焦点分离开。因此就可以形成一个正交于切平面尖锐的线状像。同理也就形成一个弧矢平面的线状像。这两个线状像相互正交。

在两个椭圆散斑图之间分别是线状焦点和中心的模糊圆斑，像的位置就焦介质焦点，散焦面也画出。

几何像差展现在图7.9的下面，两个图形分别说明不同的散焦位置，虚线是切向、实线是弧矢。两个图都是线性的，但是两个图具有不同的斜率，说明了几何像差。切向焦点的曲线图斜率为零，（d）图说明在弧矢焦点上曲线图斜率也为零。（c）说明了两个方向上具有相同的斜率值，但是斜率的符号相反。

7.3.5 场曲和畸变

这两个离轴像差不影响点无的成像质量，如图7.10所示，主光线从出瞳穿过，对于一个没有像差的系统，主光线穿过近轴平面，所有光线穿过这个位置。然而当系统只有场曲时，

所有的光线穿过一个沿主光线方向的点，但是这个点不在主平面上，可以从7.10b中看出。如果系统只有畸变时，所有的光线穿过一个点，但是这点不是沿主光线的方向，而是沿径向有一个偏移，从7.10c中可以看出。

子午场曲如图7.11，随着光线场视角的增加偏离主平面的偏移量也随之增加，这样会导致形面弯曲，散斑图在主平面上的不同高度，其半径也随之增大。

子午畸变如图7.12，一个尖锐的像在主平面上形成，最为高度函数的散斑图在主平面是一个点，这些点沿径向漂移，随着视场增大，漂移量也增大。

7.4 波前像差

7.4.1波前概述

树荫和小孔成像说明光是沿直线传播的，小孔成像也可以帮助我们理解什么是“线光”。假定点光源发射光线，这些光线具有一定的光程差：

OPD=L×Refractive index(折射率）(7.1) OPD在这里就是一个径向，光线的末端在球形表面上，这个表面是一个最基本的例子说明什么是波前。波前也可以叫位相面。光是一种电磁波，光线沿着一定的路径传播，路径由电磁场强度为u以正弦函数以光速传播方向，可以由（7.2）式表示，如图7.13。

场强度是循环，位相Φ指的是这个循环上的某一点，例如，当Φ＝90时，u＝u0，在光系统中，电场振动的时间就可以被忽略。光的路径与物和像相互联系，位相振动沿着这个路径就可以认为被“冻结”，在不同光线或者同一光线的不同部分位相不同到底有什么意义，对我们来说，位相不同就意味着时间不同。

如图7.14所示，假定两束光线从点光源上发出，沿着光线路径，循环的自然光说明了光的长度就是光程差。

在同一个波前平面上，所有光线的具有相同位相Φ，如果点光源移向无穷远处，波前就可以认为是一个平面，光线就可以认为时平行光，球形和平面波前相对于其它结构波前都是一个理想结构，也可以认为是一个参考波前。

7.4.2波前与光学系统的相互关系

理想系统如图7.15所示，在系统的入瞳处是一个以物体上某一点为中心的发散的球面波前，也就光程差相同表面。在系统的出瞳处，会出现凹险或者凸出球面波前会聚在像平面某点，也是一个光程差相同的表面，这个面不仅代表像点，也与相应物点具有一定的关系。一个完美的光学系统，光从物点出发，穿过系统，到达像面任何光线路径都具有相同的光程差。

在光轴上从物到出瞳定义光程，让所有的其它光线具有相同的光程。仅仅球面的波前可以会聚于一点。对于不完美的光学系统，其它光线不会停止在这个球面上，因此就不会形成 一个像点，可以从图7.16中看出，这仍然是一个波前。所有的光线终止在这些面上具有相同的位相，但是这个波前面是一个非球面。这样的球面可以说明具有像差。相对于理想像点，这种具有像差的波前将扩展成一定的体积会引起分辨率的降低。

7.4.3 波前描述具有像差的波前与理想球面波前比较，也可以将理想波前作为一个参考波前。参考波前与出瞳的最高点相切，中心曲率与理想像点一致。对于出瞳上的每一点，测量其光程差W，在沿着径向球形参考表面的参考波前和像差波前，如图7.17所示。光程差函数W（x，y）是关于孔径的，可以用来描述像差波前。

光程差函数W（x，y）可以通过一个数学多项式来计算。这个多项式非常有用，每一项可以描述一种像差以及像差的大小。传统有两个多项式用来描述出瞳处像差。在光学设计中，有多个多项式系列用来描述。在光学效验中，测量波前像差的种类必须作些解释。用Zernike 多项式可以恰当描述。

如图7.18a用极坐标表示系列多项式，其数学表达式如下：

在系列多项式的每一项，Wijk代表波前像差系数，其值可正可负，它具有长度尺寸。系数定义的最大值可以被实现。这个下标ijk是一个记忆符号，项系数与像差细节联系在一起。下标代表那一项其它因素。因子H是像高部分，其值的范围由0到1。孔径部分ρ范围也是由0到1。其它孔径坐标由余弦项表示，其值范围由－1到1。使用标准孔径和场坐标很方便。维数由Wijk来决定。

系列像差由多项式的5个低阶项来描述，其和i＋j＝4，分别代表最为熟悉的像差：球差、慧差、像散、场曲和畸变。前3个影响PSF的质量。后两个影响横向和纵向离轴场点的位置。

如图7.19所示，沿着轮廓和其形状的三维图数学描述焦点、球差、慧差和像散。Wijk 可以用来计算光学系统几何和近轴光线追迹。

7.4.4 波前和衍射

在几何光学中，光程差函数W（x，y）描述近轴光线穿过近轴焦点的平面。在物理光学中，光程差函数W（x，y）描述像的衍射行为。在傅立叶光学中，幅度和位相在出瞳可以描述为：

位相信息也包含在光程差函数W（x，y）中。通过傅立叶变换就可以得到像点与孔径的函数。相关点扩展函数可以给出：

不相关点扩展函数可以由下式给出：

7.5 像平面和出瞳像差的关系

像平面光线像差和出瞳位置的波前像差具有明确的关系，其关系可以由下式表示：

T叫做横向光线像差，在11.8节中将做更详细的说明。

说明：系列像差有时是4阶像差，有时是3阶像差，前者应用在出瞳位置上；后者应用 在像平面上。方程7.6足以说明。

7.6 阿贝正弦条件

慧差有时可以认为与阿贝正弦条件相互抵制，换句话说，如果系统没有慧差阿贝正弦条件将满足。但是什么是阿贝正弦条件？最基本的与横向放大率m相关。假定薄透镜具有有限的物像共轭点，如图7.20所示，阿贝正弦条件可以表示为：

它意味横向放大率与光线穿过的孔径区域相互。