2021届云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学试题及答案解析(2021年4月)

理科数学参及评分标准·第1页（共4页）

2021年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学参及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．3-；14.5104；15.5；16．]1217,15[-三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17．（12分）

解：（1）∵0cos 2cos cos =++B b A c C a ，

∴0cos sin 2cos sin cos sin =++B B A C C A .………………………………2分∴B B C A cos sin 2)sin(-=+，即B B B cos sin 2sin -=.

∵π<1cos -=B .………………………………………………………………4分∵π<3sin 21≤==ac B ac S .当c a =时,由ac c a ++=2236得1222===ac c a ，33=S .

∴ABC ∆面积S 的最大值为33．………………………………………12分

18．（12分）

解：（1）4)65432(51=++++⨯=

x ,5)76.69.54.31.2(51=++++⨯=y .…………………………………………2分3.11013)())((ˆ51251==

---=∑∑==i i i i i x x y y x x b .∴2.043.15ˆˆ-=⨯-=-=x b y a .∴线性回归方程为2.03.1ˆ-=x y .…………………………………………6分（2）设这台设备有x 年状态正常，由已知得3.19ˆ≤y ，即3.192.03.1≤-x .…10分解3.192.03.1≤-x 得15≤x .∴估计该设备有15年状态正常.………………………………………………12分19．（12分）（1）证明：设12BB a =.∵四边形11BCC B 是菱形，D 为棱BC 的中点，

∴a BB BC 21==,12BD BC a ==.在D BB 1∆中， 6011=∠=∠BC B BD B ，

由BD B BB BD BB BD D B 1121221cos 2∠⋅-+=

，解得1B D =.∴22211BD B D BB +=.∴190BDB ∠= ，即1B D BC ⊥.…………………2分

理科数学参及评分标准·第2页（共4

页）∵AB BC ⊥，1AB BB ⊥，BC ⊂平面1BDB ，1BB ⊂平面1BDB ，且1BC BB B =∩，

∴AB ⊥平面1BDB .∵1B D ⊂平面1BDB ，∴D B AB 1⊥.………………4分∵D B AB 1⊥，1B D BC ⊥，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB BC B =∩，

∴1B D ⊥平面ABC .

∵1B D ⊂平面1AB D ，∴平面⊥D AB 1平面ABC .………………………6分

（2）解：过点D 作直线BA 的平行线交直线CA 于点E ，则由已知和（1）可知，1DB DE ⊥，

1DB DC ⊥，DE DC ⊥，分别以射线DC ，DE ，

1DB 为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，设12BB a =，

根据已知得()0,0,0D ，)0,0,(a C ，)0,2,(a a A -

，

()1B ，

)0,2,2(a a AC -=,)3,2,(1a a a AB -=,)0,2,(a a AD -=.

设平面C AB 1的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅.032,0221az ay ax AB n ay ax AC n 取3=z ，得3==y x .∴)3,3,3(=n 是平面C AB 1的一个法向量.同理可得平面D AB 1的一个法向量)0,1,2(=m .………………………………9分设二面角C AB D --1的平面角大小为θ，则πθ<<0，且3510535219cos =⨯=⋅=n m n m θ.∴35702sin =θ.∴二面角C AB D --1的正弦值为35702.……………………………………12分20．（12分）（1）证明：∵)ln ()()(x x a x f x F +-=，∴()e (ln )1=-+-x F x x a x x .∴))(1()(x a e x a x a xe e x F x x x -+=--+='.………………………………2分∵0≤a ，),0(∞+∈x ,∴0)(>'x F .∴当0≤a 时，)(x F 在),0(∞+上单调递增.………………………………4分

（2）解：由（1）知：当0≤a 时，)(x F 在),0(∞+上单调递增.

此时)2ln 21(12)21(---=a e F ，由于e 102-<，1ln 202-<，所以1()02a 时，设e ()-=x g x a x ，则()g x 在(0,)+∞上是增函数.根据函数x e y =与x a y =的性质得x e y =与x a y =的图象在第一象限有唯一的交点，设交点的横坐标为0x ，则0)(0=x g ，即a e x x =00.∴00ln(e )ln x x a =，即a x x ln ln 00=+.

∴1ln 1)(ln )(00000--=-+-=a a a x x a e x x F x .

∴当00x x <<时，0)(时，0)(>x g ，()0F x '>，所以()F x 在0(,)x +∞上是增函数.∴当0x x =时，)(x F 取得最小值，且)(x F 的最小值为1ln )(0--=a a a x F .

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∴对),0(∞+∈∀x ，都有0)(≥x F 01ln )()(0min ≥--==⇔a a a x F x F .…9分设()ln 1=--h a a a a )0(>a ，则()ln '=-h a a .

∴当01<h a ，所以()h a 在(0,1)上是增函数；当1>a 时，()0'a 时，0)(≤a h ，即01ln ≤--a a a ，且“=”成立1=⇔a ．由ln 10--≥a a a 得01ln =--a a a ．∴1=a ．

综上，存在唯一的实数a ，且1=a ，),0(∞+∈∀x ，都有0)(≥x F ．…12分

21．（12分）

解：（1）设抛物线C 的方程为)0(22>=p py x .………………………………………2分

∵直线:l 023=-+y mx 经过抛物线C 的焦点，∴02

3

20=-+⨯p m ，解得3=p ．

∴抛物线C 的方程为y x 62=．………………………………………………4分（2）设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，由2

3

,62

,

0m y y x x +-=⎧=⎪

⎨⎪⎩得2690x mx +-=．∵036362>+=∆m ,126x x m +=-，129x x =-，

∴261AB m =+（）．…………………………………6分由2

6x y =得2

6x y =．∴3

x y ='.

∴抛物线C 经过点A 的切线方程是111()3x

y y x x -=-，

将2116x y =代入上式整理得2

1136

x x y x =-.

同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为2

2236x x y x =-．

解方程组⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

-=-=6

3,632222

11x x x y x x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.6,2

2121x x y x x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.23,3y m x ……………………8分∴P 33,)2m --（到直线3

02

mx y +-=的距离131

2

3

23)3(22+=+--

-⨯=

m m m m d ，

ABP ∆的面积23

222)1(913)1(62

1

21+=+⨯+⨯⨯==m m m d AB S .……10分

∵112≥+m ，∴9≥S .

当0=m 时，9=S ．

∴ABP ∆面积的最小值为9．………………………………………………12分

22．（10分）选修44-：坐标系与参数方程

解：（1）曲线C 的普通方程为22y m x -=()0m ≠；…………………………………2分

直线2l 的参数方程为⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧+=+

=t y t x 551,5

5

21（t 为参数）．………………………5分

（2）将⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧+=+

=t y t x 551,5

5

21代入曲线C 的普通方程22y m x -=，化简得：

055)1(522222=++++m t m t m .

∴0)1(20)1(20)1(2022222>+=+-+=∆m m m m .

理科数学参及评分标准·第4页（共4页）

设A ，B 两点对应的参数分别为A t ，B t ，

则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+-=+.)1(5,)

1(5222

2

2m m t t m m t t B A B A ………………………………………………7分

∵AB 是PA 与PB 的等比中项，

∴2||||||AB PA PB =，即B A B A B A t t t t t t =-+4)(2.………………………9分∴2

222222)

1(5)1(201(20m

m m m m m +=+-+.解2

222222)

1(5)1(201(20m m m m m m +=

+-+得2±=m .∴2±=m .…………………………………………………………………10分

23．（10分）选修54-：不等式选讲

（1）解：∵12)(+=x x f ,

∴(1)(1)2321f x f x x x ++-=++-．

∴⇔≤-++5)1()1(x f x f 23215x x ++-≤………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧≤+----<⇔,51232,23x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤+-+≤≤-,51232,2123x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧

≤-++>.51232,

2

1x x x 7342x ⇔-≤<-，或3122x -≤≤，或13

24x <≤，即4

3,47[-∈x ．

∴实数x 的取值范围为]4

3

,47[-

．…………………………………………5分（2）证明：1

()(a

x f a x f -++=22

2212122121x a x x a x a a

+++-+≥++-+-……………………7分2122a a a a

=+

=+=1

2(+

)a a

……………………………………………………………8分41

22=⨯

⨯≥a

a ．∴41

()(≥-++a

x f a x f ．……………………………………………10分

请注意：以上参与评分标准仅供阅卷时参考，其他答案请参考评分标准酌情给分．