数列综合测试题解答

一、选择题（每小题5分，共计40分）

9． 25    10． 10   11．___74    12． ．      14．

三、解答题

15．（辽宁理17） 已知等差数列满足， 

（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前n项和．

解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得

故数列的通项公式为    ………………5分

 （II）设数列的前n项和为，即，故，，所以，当时，

＝ 

 ，所以 

综上，数列的前n项和为    ………………12分

16．（福建理16） 已知等比数列的公比q=3，前3项和。

（I）求数列的通项公式；

（II）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数f（x）的解析式。

本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。

  解：（I）由，得解得，所以

（II）由（I）可知，所以因为函数的最大值为3，所以A=3。

因为当时取得最大值，所以

又，故所以函数的解析式为

17．（全国新课标理17） 已知等比数列的各项均为正数，且，．

（I）求数列的通项公式．

（II）设，求数列的前n项和．

解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．

由条件可知c>0，故．

由得，所以．

故数列{an}的通项式为．

（Ⅱ ）

故

所以数列的前n项和为

18．（本小题满分14分）

某外商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年需各种经费为12万元，从第二年开始每年所需经费均比上一年增加4万元，该加工厂每年销售蔬菜总收入为50万元．

（I）若扣除投资及各种经费，该加工厂从第几年开始纯利润为正？

（II）若干年后，外商为开发新项目，对加工厂有两种处理方案：

  （1）若年平均纯利润达到最大值时，便以48万元的价格出售该厂；

  （2）若纯利润总和达到最大值时，便以16万元的价格出售该厂．

 问：哪一种方案比较合算？请说明理由．

解：由题设知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列 设纯利润与年数的关系为， 则

  （I）获纯利润就是要求， 

 即，，

从第3年开始获利． …………………………………………6分

（II）（1）年平均纯利润，

 ，

 第（1）种方案共获利（万元），此时． …………9分

（2），

 当时，．

 故第（2）种方案共获利（万元）．  …………12分

比较两种方案，获利都为144万元，但第（1）种方案需6年，而第（2）种方案

需10年，故选择第（1）种方案． ……………………14分

19．（本题14分）已知函数，数列满足，，

（Ⅰ）求：数列的通项公式； 

（Ⅱ）令，，，若对一切成立，求最小正整数m。

解：（Ⅰ）（略解）； ……………………4分

（Ⅱ）当时， ……………………6分

 当时，上式同样成立 ……………………7分

……10分         ，即对一切成立， …………11分

 又随n递增，且 ……………………12分

   ，， ……………………14分

20．（广东理20） 设，数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n， 

解：

 （1）由，知， 

 令，，    

当时， 

 ①当时，

  ；

 ②当时， 

 （2）当时，（欲证，只需证）

 ， 

 而当时， 

 综上所述，对于一切正整数n