(完整)2018高考一轮复习导数专题

一．导数的概念

1.导数的概念：

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），

比值

x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x

y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00。如果当

0→∆x 时，

x

y

∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =，即f （x 0）=0

lim

→∆x x y

∆∆=0

lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；② 求平均变化率x

y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；

③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x

y

x ∆∆→∆0lim

。

例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000

()()

lim

h f x h f x h h

→+-- 的值为（ ）

A ．'0()f x

B ．'02()f x

C ．'

02()f x - D ．0

例2：若'

0()3f x =-，则000()(3)

lim

h f x h f x h h

→+--=（ ）

A.3- B ．6- C ．9- D ．12-

2．导数的意义：①物理意义：瞬时速率，变化率

②几何意义：切线斜率000

()()

lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-

③代数意义：函数增减速率 例3：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭

⎫

⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .

例4：已知()()232

f x x x f '+=，则()='2f

3.导数的物理意义：

如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '（t ）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。 例5：一个物体的运动方程为2

1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是

例6：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）

二：导数的运算

1．基本函数的导数公式:

①0;C '=（C 为常数） ②()1

;n

n x

nx

-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤

();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=.

例7：下列求导运算正确的是 ( )

A ．2111x x x +='

⎪⎭⎫ ⎝

⎛+ B ．()='

x 2log =2ln 1x

C ．()e x

x

3log 3

3

=' D ． ()

x x x x sin 2cos 2-='

例8：若()()()()()()()N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'

=⋯⋯'='==+,,,,sin 112010，则()=x f 2005 真题：

1.已知()x f =()()()()2006321++++x x x x x ，则()0f '为

()()()()()()()().

________cos sin 201411211=∈'='

=-=*

++x f N n x f x f x f x f x f x f x x x f n n n n ，则，

，的导函数，即是，练：已知

2：导数的运算法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'

'

'

v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('

'

'

uv v u uv +=

若C 为常数,则'

'

'

'

'

0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)('

'

Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分

母的平方：='

⎪⎭

⎫

⎝⎛v u 2

''v uv v u -（v ≠0）。

A ．

B ．

C ．

D ．

3.复合函数的导数

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：

分解——>求导——>回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 或者[()]()*()f x f x ϕμϕ'''=. 例10：（1）函数32log y x x =+的导数是

（2）函数1

2+x n e

x 的导数是

例11：3

(1cos 2)y x =+；（2）2

1

sin y x

= 真题：

（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.

三：利用已知条件求原函数解析式中的参数

例12：已知多项式函数()f x 的导数

/2()34f x x x =-，且(1)4f =，则()f x = .

例13：已知函数c bx ax x x f +++=2

3

)(，它的图象过点(0,1)A -，且在1x =处的切线方程为

210x y +-=，则()f x = .

四：切线相关问题

1.已知曲线上的点求切线方程

例14：曲线y ＝x 3

－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 例15：设函数b

x ax x f ++=1

)( (a,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3. （1）求)(x f 的解析式

（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

().

_________1,y 21,=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+=-=n n n n S n n a a x x x y n 项和为的前数列则轴的交点的纵坐标为处的切线与在设曲线例：对正整数

2.已知曲线外的点求切线方程

例16：已知曲线2

y x =，则过点(1,3)P -，且与曲线相切的直线方程为 . 例17：求过点（-1，-2）且与曲线3

2y x x =-相切的直线方程.

3.已知切线方程的斜率或倾斜角求切线方程

例18：曲线3

()2f x x

x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）

A ．(1,0)

B ．(2,8)

C ．(1,0)和(1,4)--

D ．(2,8)和(1,4)-- 例19：若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 真题：

1.（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1

()x f x e

x --=-，则曲线()

y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.

2.（2017天津文）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点))1(,1(f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .

3.（2017新课标Ⅰ文数）曲线2

1

y x x

=+

在点)2,1(处的切线方程为_______. 4.【2017年北京卷第20题】已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2

上的最大值和最小值．

五：求函数的单调区间

1.无参数的函数求单调性问题

例20：证明：函数ln ()x

f x x

=在区间（0，2）上是单调递增函数.

例21：确定函数3

2

()267f x x x =-+的单调区间.

真题：

1.（2017山东理）若函数()x e f x （

2.71828

e =是自然对数的底数）在()

f x 的定义域上单调递增，

则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 . ①()2x f x -=

②()3x f x -=

③()3f x x =

④()22f x x =+

2.（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，

(3)c g =，则c b a ,,的大小关系为（ ）

.A a b c << .B c b a << .C b a c <<

.D b c a <<

3.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（ ）

.A )(x f y =在)2,0(单调递增

.B )(x f y =在)2,0(单调递减

.C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称

2.含有参数的函数的单调性

例22：已知函数ax x a x x f --+=2

3)1(2

131)(，求函数()f x 的单调区间。

例23：已知函数2

()ln (2)f x x ax a x =-+-，讨论f （x ）的单调性.

例25：【2015高考广东，理19】设1a >，函数a e x x f x

-+=)1()(2． (1) 求)(x f 的单调区间 ；

(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；

例26：【2015高考江苏，19】已知函数),()(2

3

R b a b ax x x f ∈++=.试讨论)(x f 的单调性；

例27：已知()ax x x f -=ln ，讨论()x f y =的单调性 真题：

（2016年全国I 卷高考）若函数1

()sin 2sin 3

f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是

（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3

⎡

⎤--⎢⎥

⎣

⎦

六：结合单调性和极值求参数的取值范围

例28：已知函数3

2

()321f x x x =+-在区间()0,m 上是减函数，则m 的取值范围是 .

例29：已知函数()()3

23

m f x x x x m R =

+-∈，

函数()f x 在区间()2,+∞内存在单调递增区间，则m 的取值范围 .

例30：已知函数()()321f x x ax x a R =+++∈，若函数()f x 在区间21,33⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

内单调递减，则a 的取值范围 . 例31：已知函数3211

()(2)(1)(0).32

f x x a x a x a =+-+-≥若()f x 在[0，1]上单调递增，则a 的取值范围 .

例32：已知函数3

()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .

例33：已知函数()x a x x f ln 2

+=，若()()x

x f x g 2

+

=在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围 例34：如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，单调递减，则mn 的最大值为（ ）

（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81

2

真题：

【2015高考重庆】设函数()()23x

x ax

f x a R e

+=∈ （1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程； （2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。

七：恒成立问题及存在性成立问题

1.转化为分离参数问题求最值问题

例35：已知函数

()()0,ln 212

>-=

a x x a

x f ，（1）若1=a ，求函数()x f 的单调区间和极值（2）当[]2,1∈x 时，不等式()2>x f 恒成立，求实数a 的取值范围

例36：已知函数()x x x x f ++=2

3

2．（1）求函数()x f 的单调区间和极值；（2）若()+∞∈∀,0x ，

()2ax x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围

例37：已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-

与1x =时都取得极值，(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2

()f x c <恒成立，求c 的取值范围。

例38：已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，

32

6()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+

-++>当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的

取值范围。

例39：已知3

2

2

()69f x x ax a x =-+，当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的

取值范围．

例40：已知函数),(3)(2

3

R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为.02=+y 若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值

例41：设函数()x f x m

π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2

2200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）

A. ()(),66,-∞-⋃∞

B. ()(),44,-∞-⋃∞

C. ()(),22,-∞-⋃∞

D.()(),14,-∞-⋃∞

【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分） 设函数2()mx

f x e

x mx =+-．

(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．

2.分离不开的转化为根的分布问题

例42：已知1x =是函数3

2

()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，当

[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.

例43：已知函数()x m mx x x x f 2223

3

1-++=

在[]1,1-上为减函数，则m 的取值范围为 .

八：函数的极值最值问题

1.不含参数的极值最值问题

例44：下列函数的极值：

（1）276y x x =-+； （2）2

ln y x x =.

45：函数f(x)=x 3

+ax 2

+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=3

2时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.

2.含有参数的最值问题

例47：已知函数f(x)=ax

e x -2(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.

例48：已知()ax x x f -=ln ，求函数在［1，2］上的最大值.

例49：设1,0≠>a a 且，函数()()x a x a x x f ln 12

12

++-=

.求()x f 的极值点 设函数f(x)=-x(x-a)2

(x ∈R),其中a ∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；（2）当a ≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.

例50：已知,ln )(x x x f =a x x x g +-=

2

2

1)(． （1）当2=a 时，求]3,0[)(在函数x g y =上的值域； （2）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； 真题：

（2017新课标Ⅱ理）若2x =-是函数2

1

()(1)e

x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） 1.-A

.B 32e --

.C 35e -

1.D

3.导函数的图像与函数极值的关系

例52：f （x ）的导函数 )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ） 例53：函数143

13

+-=x x y 的图像为( )

例54：函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内

x

y

o 4 -4 2 4 -4

2 -2 -2

x y

o 4 -4 2 4 -4

2 -2 -2

x

y

y 4 -4 2 4 -4

2

-2 -2

6 6 6 6 y

x

-4

-2 o

4 2 2

4 x

a

b

y

)

(x f y =O

的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 个数为 .

例55：已知函数)(x f x y '=的图象如图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图象中

)(x f y =的图象大致是 ( )

例56：已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如右，则( )

A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点

B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点

C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点

D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点

例57：函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( ) A.0＜)2('f ＜)3('f ＜f(3)-f(2) B.0＜)3('f ＜f(3)-f(2) ＜)2('f

C.0＜f(3)＜)2('f ＜f(3)-f(2)

D.0＜f(3)-f(2)＜)2('f ＜)

3('f 真题：

1.（2017浙江）函数)(x f y =的导函数()y f x '=的图象如图所示， 则函数)(x f y =的图象可能是（ ）

2.【2017年新课标III 卷第7题】函数y =1+x +

2

sin x

x 的部分图像大致为 A ． B ．

D ．

九：零点问题（转化为最值问题）

例58：已知函数()bx ax x x f 332

3

+-=的图象与直线0112=-+y x 相切于点()11,1-．

（1）求b a ,的值；

（2）若函数()()c x f x g +=有三个不同的零点，求c 的取值范围．

例:59：已知函数()cx bx ax x f ++=2

3

，在1±=x 处取得极值，且在x=0处切线斜率为-3．

(1)求函数()x f 的解析式．

(2)若过点()m A ,2可作曲线()x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．

例61：已知函数323

()(2)632

f x ax a x x =-++-，曲线()y f x =与x 有3个交点，求a 的范围。

例62：已知函数2

32

)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函。

（1）求实数k 的取值范围。（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

真题：

1.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数2

1

1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a

（ ） 2

1.-

A

.

B 13

.

C 12

1.D

2.（2016年北京高考）设函数()3

2

.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程；

（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.

九:优化问题：

1.设计产品规格问题

例63：如图在二次函数2

()4f x x x =-的图像与x 轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个内接矩形的最大面积.

例：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

2.利润最大问题

x y

例66：某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x)2

万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.

例67：某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x （单位：元, 021x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.

（1）将一星期的商品销售利润表示成x 的函数 （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大

十一：构造计算类题型：

例68：对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'

(1)()0x f x -≥，则必有（ ）

A (0)(2)2(1)f f f +<

B (0)(2)2(1)f f f +≤ C

(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>

例69：函数()x f 在定义域R 内可导，若()()x f x f -=2，且当()1,∞-∈x 时，()()01<'•-x f x ，设()()3,21,0f c f b f a =⎪⎭

⎫

⎝⎛==，的c b a ,,的大小关系为 .

例70：设f(x)、g(x)分别是定义在R （0≠x ）上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '+'＞0.且()03=g .则不等式()()0例71：函数()x f 的定义域为R ，()21=-f ，对任意()2,>'∈x f R x ，则()42+>x x f 的解集为 .

例72：)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足0)()(≤+'x f x f x ,对任意正数a 、b,若b a <，则必有（ ）

A.)()(a bf b af ≤

B.()()b af a bf ≤

C.)()(b bf a af ≤

D.()()a af b bf ≤

例73：已知0)()(>'-x f x f 对R x ∈∀恒成立，则下列式子一定正确的是（ ） A.)0()2014(,)0()2014(20142014

f e f e f f <-> B.)0()2014(,)0()2014(20142014

f e f e f f >-< C.)0()2014(,)0()2014(20142014

f e f e f f =-=

D.不确定

【2015高考新课标2，理12】设函数'

()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)

(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞

【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x

e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()

f x 0，则a 的取值范围是（ ）

(A)[-32e ，1） (B)[-错误!未找到引用源。，3

4

） (C)[错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。） (D)[错误!未找到引用源。，1）

【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足

()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）

A ．11

f k k ⎛⎫<

⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫

>

⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫

> ⎪

--⎝⎭

()()()x

x f D x

x f C x f B x f A R x f x x f x f R x f <><><'+')(.)(.0

)(.0

)(.).(,02,)(恒成立的是上则下面的不等式在且上的导函数为在例：设函数()()()()()()()()

.

____________111,0)(2的解集是等式则不

的导函数，且满足为，定义域为练：已知-->+'-<'∞+x f x x f x f x x f x f x f x f ()()()()(

)()⎪

⎭

⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪

⎭

⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛<⎪

⎭⎫

⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛•'<'⎪⎭

⎫

⎝⎛363.462.1

sin 621.3243.tan 20ππππππππf f D f f C f f B f f A x x f x f x f x f 。则成立，

是它的导函数，且恒有，上的函数，例：定义在

十二：导数综合问题（不等式及函数综合）

例74：已知二次函数2

()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则

(1)

'(0)

f f 的最小值为 .

例76：证明下列不等式：

（1）已知：)0(∞+∈x ，求证x

x x x 11ln 11<+<+； （2）已知：2≥∈n N n 且，求证：1

1

211ln 13121-+++<<+++n n n 。

例77：求证下列不等式

（1）)

1(2)1ln(22

2x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （相减） （2）π

x

x 2sin >

)2

,

0(π

∈x （相除）

（3）x x x x -<-tan sin )2

,0(π

∈x

例78：已知函数x x f ln )(=，

（1）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值； （2）当b a <<0时，求证:2

2)

(2)()(b

a a

b a a f b f +->

-

十三：定积分问题：

1.求简单函数的定积分

例79：求下列函数的定积分：

（1）

2

2

1

1

()x dx x +⎰

； （2）22

sin xdx π

π-⎰； （3）4dx ⎰；

2.求分段函数的定积分

例80：求函数32

, [0,1](), [1,2]2, [2,3]x x x f x x x x ⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⎩

在区间[0，3]上的定积分.

例81：求定积分：（1）2

2

1x dx -⎰

； （2

）

3.用定积分求平面图形的面积

例82：求曲线2

y x =与y x =所围成的图形的面积.

例83：求由抛物线2

2

,15

x y y x ==-所围成的图形的面积

例84：求正弦曲线3sin ,[0,]2

y x x π

=∈和直线32x π=及x 轴所围成的平面图形的面积.

例85：求由曲线2

2

2,24y x x y x x =-=-所围成的图形的面积 例86：曲线2y 2

-==x x y 与所围成的图型的面积为

例87：xdx ⎰

2

02sin π

的值为

例88：dx x ⎰

-1

24的值为

()()。则练：若_________,2)(1

10

2

=+=⎰⎰dx x f dx x f x x f