数学文科导数练习题

一、选择题

1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）

A 7米/秒

B 6米/秒

C 5米/秒

D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2

＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）

A.1

B.2

C.－1

D. 0

3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则

()f x 与()g x 满足（ ）

A ()f x =2()g x

B ()f x -()g x 为常数函数

C ()f x =()0g x =

D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3y x x =+的递增区间是（ ）

A )1,(-∞

B )1,1(-

C ),(+∞-∞

D ),1(+∞

5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）

A. f(x) 〉0

B.f(x)〈 0

C.f(x) = 0

D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件

7．曲线3

()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

A (1,0)

B (2,8)

C (1,0)和(1,4)--

D (2,8)和(1,4)-- 8．函数3

13y x x =+- 有 （ ）

A.极小值-1，极大值1

B. 极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值3

D. 极小值-2，极大值2

9 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'

(1)()0x f x -≥，则必有（ ）

A (0)(2)2(1)f f f +<

B (0)(2)2(1)f f f +≤ C

(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>

10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数

)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A. 1个

B.2个

C.3个

D.4个 二、填空题 11．函数

32y x x x =--的单调区间为

___________________________________.

12．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.

14. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。 15. 已知曲线314

33

y x =

+，在点(2,4)P 的切线方程是______________ 16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储

费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．

三、解答题：

15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程

16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去

四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？

17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：

（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。

a

b

x

y

)

(x f y '=O

18．已知函数3

23

()(2)632

f x ax a x x =-

++- （1）当2a >时，求函数()f x 极小值； （2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。

19.已知函数32

()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-

与1x =时都取得极值 （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间

（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围

20.已知1x =是函数3

2

()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；

（3）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.

参

一、选择题 AACACBBCCCA 二、填空题

11．递增区间为：（-∞，

13），（1，+∞）递减区间为（1

3

-，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1

3

）∪（1，+∞））

12．(,0)-∞

13．

34π 14．3

8

15.044=+-x y 16.20

三、解答题：

17．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'236y x x =+

切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到32

35y x x =+- 得3b =-，即(1,3)P --，33(1),360y x x y +=-+++=

18．解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32

(82)(52)420V x x x x x x =--=-+ '

2

'

10

125240,0,1,3

V x x V x x =-+===

令得或，103x =（舍去）

(1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值

19．解：（1）c bx ax x f ++=2

4

)(的图象经过点(0,1)，则1c =，

'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=

切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=2

4

)(的图象经过点(1,1)- 得59

1,,22

a b c a b ++=-=

=-得

42

59()122

f x x x =

-+ （2）'

3

310310

()1090,0,1010

f x x x x x =->-

<<>

或 单调递增区间为310310(,0),(,)1010

-

+∞ 20．解：（1）

'22

()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a

=-++=--()f x 极小值为(1)2a f =-

（2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02a f =-

>，()f x 的极小值为2

()0f a

<， ()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；

③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；

④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133

()4()044

f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；

综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。

21．解：（1）3

2

'

2

(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++

由'

2124

()0393

f a b -=

-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-

'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表： x 2(,)3-∞- 23

- 2

(,1)3- 1 (1,)+∞ '()f x

+

0 - 0 + ()f x ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑

所以函数()f x 的递增区间是2(,)3

-∞-与(1,)+∞,递减区间是2

(,1)3

-

； （2）3

21()2,[1,2]2

f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=

+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2

(),[1,2]f x c x <∈-

恒成立，则只需要2

(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或

22．解(1)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,

所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+

（2）由（1）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+

⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

当0m <时，有2

11m

>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：

x

2,1m ⎛

⎫-∞+ ⎪⎝⎭

2

1m

+

21,1m ⎛⎫+

⎪⎝⎭ 1

()1,+∞

()f x '

0<

0 0>

0 0<

()f x

调调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫

-∞+ ⎪⎝⎭

单调递减， 在2

(1,1)m

+

单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （3）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>

又0m <所以2

22(1)0x m x m m -

++<即[]222

(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设2

12()2(1)g x x x m m

=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

所以22(1)0120(1)010g m m

g ⎧

-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得 4

3

m -<又0m < 所以4

03

m -<<

即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭