三角形五心及性质

重心、外心、内心、垂心、旁心统称为三角形的"五心由于三角形的五心处在特殊的位置上,因而它们具有丰富而独特的性质,这些性质是解与五心相关问题的基础.

一、重心

三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。如图,设O为三角形的重心,则有：

(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

(2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

(3)在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

(4)重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 5.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

(5)重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

(6)重心在向量中的重要结论:外心

二、外心

三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心(外接圆的圆心)。外心性质：

(1)三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

(2)锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

(3)OA=OB=OC=R

(4)∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

(5)S△ABC=abc/4R

三、内心

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的内心的性质：

(1)三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

(2)三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

(3)r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

(4)∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2

(5)S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

四、旁心

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

1　旁心到三角形三边的距离相等。

2　三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。

3　直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

4　∠BI1C=90°-∠A/2.

5　AP1=r1·cot(A/2)=(a+b+c)/2.

6　∠AI1B=∠C/2.

7　S⊿ABC=r1(b+c-a)/2.

8　r1=rp/(p-a).

9　r1=(p-b)(p-c)/r.

10　1/r1+1/r2+1/r3=1/r.

11　r1=r/(tanB/2)(tanC/2).

五、垂心

三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的垂心的性质：

1　锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外

2　三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心

3　垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上

4　△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

5　H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6　△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

7　在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

8　三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9　设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10　锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11　锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。