高中数学-基本初等函数练习题

第I卷（选择题）

一、选择题

1.如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是

A．a＞2    B．0＜a＜1    C．2＜a＜3    D．a＞3

2.已知函数f（x）=，若f（2a+1）＞f（3），则实数a的取值范围是

A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）    B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）    C．（1，+∞）    D．（﹣∞，1）

3.设f（x）=，则f[f（﹣3）]

A．1    B．2    C．4    D．8

4.如果指数函数y=（a﹣1）x是增函数，则a的取值范围是

A．a＞2    B．a＜2    C． a＞1    D．1＜a＜2

5.若，则f[f（﹣2）]

A．2    B．3    C．4    D．5

6.二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，则当x=1时，y的值为

A．﹣7    B．1    C．17    D．25

7.用分数指数幂的形式表示a3•（a＞0）的结果是

A．    B．    C．a4    D．

8.函数f（x）=x2﹣2mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则m的取值范围是

A．（﹣∞，﹣2]    B．[﹣2，+∞）    C．（﹣∞，﹣1]    D．[﹣1，+∞）

9.已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为

A．16    B．2    C．    D．

10.若函数f（x）=x2+bx+c的对称轴方程为x=2，则

A．f（2）＜f（1）＜f（4）    B．f（1）＜f（2）＜f（4）    C．f（2）＜f（4）＜f（1）    D．f（4）＜f（2）＜f（1）

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共8道小题，每小题0分，共0分）

11.若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[﹣2，1]上的最大值为4，最小值为m，则m的值是     ．

12.已知函数，则f（1）的值是           ．

13.设函数，则使f（a）＜0的实数a的取值范围是          ．

14.如果函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，则=         ．

15.已知函数f（x）满足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（814）=         ．

16.已知幂函数的图象经过点（2，32）则它的解析式f（x）=        ．

17.设函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+4，若x1＜x2，x1+x2=0时，有f（x1）＞f（x2），则实数a的取值范围是      ．

18.设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=           ．

三、解答题（本题共3道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,共0分）

19.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x．

（1）求f（x）；      

（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．

20.（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．

（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．

21.（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．

（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；

（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

试卷答案

1.C

【考点】指数函数的单调性与特殊点． 

【专题】计算题．

【分析】利用底数大于0小于1时指数函数为减函数，直接求a的取值范围．

【解答】解：∵指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数

∴0＜a﹣2＜1⇒2＜a＜3

故答案为：（2，3）．

故选C．

【点评】本题考查指数函数的单调性．指数函数的单调性与底数的取值有关，当底数大于1时指数函数为增函数，当底数大于0小于1时指数函数为减函数．

2.A

【考点】分段函数的应用． 

【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．

【分析】作函数f（x）=的图象，从而结合图象可化不等式为|2a+1|＞3，从而解得．

【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，

，

分段函数f（x）的图象开口向上，且关于y轴对称；

f（2a+1）＞f（3）可化为|2a+1|＞3，

解得，a＞1或a＜﹣2；

故选A．

【点评】本题考查了分段函数的图象与性质的应用及数形结合的思想应用．

3.B

【考点】函数的值． 

【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．

【分析】利用函数的解析式，求解函数值即可．

【解答】解：f（x）=，

f[f（﹣3）]=f[4]=log24=2．

故选：B．

【点评】本题考查函数值的求法，考查计算能力．

4.A

【考点】指数函数的图像与性质． 

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由指数函数的单调性可得a﹣1＞1，解不等式可得．

【解答】解：∵指数函数y=（a﹣1）x是增函数，

∴a﹣1＞1，解得a＞2

故选：A

【点评】本题考查指数函数的单调性，属基础题．

5.C

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法． 

【专题】计算题．

【分析】在解答时，可以分层逐一求解．先求f（﹣2），再根据f（﹣2）的范围求解f[f（﹣2）]的值．从而获得答案．

【解答】解：∵﹣2＜0，

∴f（﹣2）=﹣（﹣2）=2；

又∵2＞0，

∴f[f（﹣2）]=f（2）=22=4

故选C．

【点评】本题考查的是分段函数求值问题．在解答中充分体现了分类讨论思想、函数求值知识以及问题转化思想的应用．属于常规题型，值得同学们总结反思．

6.D

【考点】二次函数的性质． 

【专题】计算题．

【分析】根据已知中二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，我们可以构造关于m的方程，解方程后，即可求出函数的解析式，代入x=1后，即可得到答案．

【解答】解：∵二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，

∴=﹣2

∴m=﹣16

则二次函数y=4x2+16x+5

当x=1时，y=25

故选D

【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知及二次函数的性质求出m的值，进而得到函数的解析式是解答本题的关键．

7.B

【考点】有理数指数幂的化简求值． 

【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．

【分析】利用指数的运算法则即可得出．

【解答】解：∵a＞0，∴示a3•===．

故选：B．

【点评】本题考查了指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8.A

【考点】二次函数的性质． 

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】先求出对称轴，再根据二次函数的图象性质和单调性得m≤﹣2即可．

【解答】解：由y=f（x）的对称轴是x=m，可知f（x）在[m，+∞）上递增，

由题设只需m≤﹣2，所以m的取值范围（﹣∞，﹣2]．

故选：A．

【点评】本题主要考查了二次函数的对称轴，根据单调性判对称轴满足的条件，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

9.C

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 

【专题】函数的性质及应用．

【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可．

【解答】解：设幂函数为y=xα，

∵幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），

∴=2α，

解得α=．y=x．

f（4）==．

故选：C．

【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查．

10.A

【考点】二次函数的性质． 

【专题】计算题．

【分析】先判定二次函数的开口方向，然后根据开口向上，离对称轴越远，函数值就越大即可得到f（1）、f（2）、f（4）三者大小．

【解答】解：函数f（x）=x2+bx+c开口向上，在对称轴处取最小值

且离对称轴越远，函数值就越大

∵函数f（x）=x2+bx+c的对称轴方程为x=2，4利用对称轴远

∴f（2）＜f（1）＜f（4）

故选A．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一般的开口向上，离对称轴越远，函数值就越大，开口向下，离对称轴越远，函数值就越小，属于基础题．

11.或

【考点】指数函数的单调性与特殊点． 

【专题】函数的性质及应用．

【分析】按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f（x）的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可．

【解答】解：①当a＞1时，f（x）在[﹣2，1]上单调递增，

则f（x）的最大值为f（1）=a=4，

最小值m=f（﹣2）=a﹣2=4﹣2=；

②当0＜a＜1时，f（x）在[﹣2，1]上单调递减，

则f（x）的最大值为f（﹣2）=a﹣2=4，解得a=，

此时最小值m=f（1）=a=，

故答案为：或．

【点评】本题考查指数函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，对指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1），当a＞1时f（x）递增；当0＜a＜1时f（x）递减．

12.

【考点】函数的值；分段函数的应用． 

【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．

【分析】直接利用分段函数化简求解即可．

【解答】解：函数，

则f（1）=f（2）=f（3）==．

故答案为：．

【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

13.（0，1）

【考点】分段函数的应用． 

【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．

【分析】按分段函数的分类讨论f（a）的表达式，从而分别解不等式即可．

【解答】解：若a≤0，则f（a）=≥1，

故f（a）＜0无解；

若a＞0，则f（a）=log2a＜0，

解得，0＜a＜1；

综上所述，实数a的取值范围是（0，1）．

故答案为：（0，1）．

【点评】本题考查了分段函数的简单解法及分类讨论的思想应用．

14.2014

【考点】函数的值；抽象函数及其应用． 

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由已知得，由此能求出结果．

【解答】解：∵函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，

∴

=

=

=1×2014

=2014．

故答案为：2014．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题的关键是得到．

15.

【考点】抽象函数及其应用． 

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用赋值法，分别求出f（1）…f（9）得出f（x）的周期是6，故求出答案．

【解答】解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），

令x=1，y=0，

则4f（1）f（0）=f（1）+f（1），

∴f（0）=，

再令x=y=1，得f（2）=﹣，

再令x=2，y=1，得f（3）=﹣，

再令x=2，y=2，得f（4）=﹣，

再令x=3，y=2，得f（5）=，

再令x=3，y=3，得f（6）=，

再令x=4，y=3，得f（7）=，

再令x=4，y=4，得f（8）=，

再令x=5，y=4，得f（9）=﹣，

由此可以发现f（x）的周期是6，

∵2014÷6=135余4，．

∴f（814）=f（135×6+4）=f（4）=．

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题

16.x5

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 

【专题】函数的性质及应用．

【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式．

【解答】解：设幂函数为y=xa，因为幂函数图象过点（2，32），

所以32=2a，解得a=5，

所以幂函数的解析式为y=x5．

故答案为：x5

【点评】本题考查幂函数的函数解析式的求法，幂函数的基本知识的应用．

17.（﹣∞，）

【考点】二次函数的性质． 

【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．

【分析】若x1＜x2，x1+x2=0时，有f（x1）＞f（x2），函数图象的对称轴在y轴右侧，即＞0，解得答案．

【解答】解：∵函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+4的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，

若x1＜x2，x1+x2=0时，有f（x1）＞f（x2），

则＞0，

解得：a∈（﹣∞，）；

故答案为：（﹣∞，）

【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．

18.3

【考点】函数的值． 

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可．

【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，

∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，

函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，

∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，

故答案为：3．

【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查．

19.

【考点】二次函数的性质． 

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b，根据对应项的系数相等可分别求a，b，c．

（2）对函数进行配方，结合二次函数在[﹣1，1]上的单调性可分别求解函数的最值．

【解答】解：（1）由f（x）=ax2+bx+c，

则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b

∴由题意得 恒成立，

∴，得  ，

∴f（x）=x2﹣x+1；

（2）f（x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+在[﹣1，]单调递减，在[，1]单调递增

∴f（x）min=f（）=，f（x）max=f（﹣1）=3．

【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．

20.

【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理． 

【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用．

【分析】（Ⅰ）利用f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．

（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．

（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．

【解答】（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，

又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1

得2ax+a+b=2x﹣1，故解得：a=1，b=﹣2，

所以f（x）=x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各，解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]，

故fmin（x）=f（1）=1，又f（﹣1）=5，f（2）=2，

所以fmax（x）=f（﹣1）=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，

则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．

21.

【考点】函数的零点；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题． 

【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】（Ⅰ）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），由a3=8解得a=2．故g（x）=2x．再根据函数是奇函数，求出m、n的值，得到f（x）的解析式；

（Ⅱ）根据零点存在定理得到h（﹣1）h（1）＜0，解得即可；

（Ⅲ）根据函数为奇函数和减函数，转化为即对一切t∈（1，4），有3t﹣3＜k恒成立，再利用函数的单调性求出函数的最值即可．

【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．∴g（x）=2x．

∴f（x）=，

∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，∴n=1，∴f（x）=

又f（﹣1）=f（1），∴=﹣，解得m=2

∴f（x）=，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）==﹣+，又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，

从而h（﹣1）h（1）＜0，即（﹣++a）（++a）＜0，

∴（a+）（a﹣）＜0，

∴﹣＜a＜，

∴a的取值范围为（﹣，）；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）==﹣+，

易知f（x）在R上为减函数，

又f（x）是奇函数，

∴f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0，

∴f（2t﹣3）＞﹣f（t﹣k）=f（k﹣t），

∵f（x）在R上为减函数，由上式得2t﹣3＜k﹣t，

即对一切t∈（1，4），有3t﹣3＜k恒成立，

令m（t）=3t﹣3，t∈（1，4），

易知m（t）在（1，4）上递增，

m（t）＜3×4﹣3=9，

∴k≥9，

即实数k的取值范围是[9，+∞）．

【点评】本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、属于中档题．