2018年浙江省高考(理科)数学试卷及答案

数学（理科）

一．选择题

1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i i

A ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-1 2．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A ．(2,1]- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 3．已知y x ,为正实数，则 A.y x y

x lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222∙=+

C.y x y

x lg lg lg lg 222

+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙=

4．已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2

π

ϕ=的

A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是

5

9

，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a

6．已知2

10

cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.

34 B. 4

3

C.43-

D.34-

（第5题图）

7．设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P

4

1

0=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P 00∙≥∙。则

A. 090=∠ABC

B. 090=∠BAC

C. AC AB =

D.BC AC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ，则

A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值

B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值

C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值

D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值

9．如图，21,F F 是椭圆14

:22

1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公

共点。若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是

A. 2

B. 3

C.

23 D.2

6

10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=。设βα,是两个不同的平面，对空间任

意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则

A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为0

45

C. 平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为0

60

二、填空题 11．设二项式5

3)1(x

x -

的展开式中常数项为A ，则=A ________。 12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2

cm 。

13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________。

14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字

作答）

15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q 为线段AB 的

中点，若2||=FQ ，则直线的斜率等于________。

16．ABC ∆中，0

90=∠C ,M 是BC 的中点，若3

1

sin =

∠BAM ，则=∠BAC sin ________。 17．设21,e e 为单位向量，非零向量R y x e y e x ∈+=,,21，若21,e e 的夹角为6π

，则的最大值等于________。 三、解答题

18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列。

（1）求n a d ,； （2）若019．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取

出蓝球得3分。

（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；

（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若

9

5

,35==ηηD E ，求.::c b a

20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.

（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为060，求BDC ∠的大小.

21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22

221>>=+b a b

y a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直

径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D

（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.

22．已知R a ∈，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f

（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值。

A

B

C

D

P

Q

M

（第20题图）

（第21题图）

参

一、选择题

1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A 二、填空题

11．-10 12．24 13．2 14．480 15．1± 16

．2 三、解答题 18．解：（Ⅰ）由已知得到：

22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)

a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+

2

2

41

12122125253404611n n d d d d d d d a n a n

==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨

=+=-⎩⎩或； （Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-，

①当111n ≤≤时，

123123(1011)(21)

0||||||||22

n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==

②当12n ≤时，

1231231112132123111230||||||||()

11(2111)(21)212202()()2222

n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=

所以，综上所述：1232

(21)

,(111)2||||||||21220,(12)2

n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪

++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ ； 19．解：（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331

(2)6

P ξ⨯===⨯；当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135

(4)66666618

P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时3ξ=，此时32231

(3)66663

P ξ⨯⨯==

+=⨯⨯；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时5ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；当两次摸到的球分别是蓝蓝时6ξ=，此时111

(6)6636

P ξ⨯===⨯；所以ξ的分布列是：

9

所以：

222

5233555253(1)(2)(3

)9333

a

b

c E a b c a

b c a b

c

a b c

D a b c a b

c a b

c

ηη⎧==

+

+

⎪⎪+

+++++⎨

⎪==-⨯

+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，

所以

2,3::b c a c

a

b c

==∴=。

20．解：证明（Ⅰ）方法一：如图6，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =。因为P 是BM 中点，所以//PF BD ；又因为（Ⅰ）3AQ QC =且3AF FD =，所以//QF BD ，所以面//PQF 面BDC ，且PQ ⊂面BDC ，所以//PQ 面BDC ；

方法二：如图7所示，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以1

//

2

PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH CH =，且3A Q Q C =，所以11

//

//42

QH AD MD ，所以////PO QH PQ OH ∴，且OH BCD ⊂，所以//PQ 面BDC ；

（Ⅱ）如图8所示，由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥，过G 作

GH BM ⊥于H ，连接CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；

由已知得到3BM ==，设

BD C α∠=，所以

cos ,sin ,sin ,,CD CG CB

CD CG BC BD CD BD

αααααα===⇒===， 在RT BCG ∆中

，2s i n 2s i n BG

BCG BG BC

ααα∠=∴=∴=，所以在RT BHG ∆中，

13HG =∴=，所以在RT CHG ∆中

tan tan60

3

CG

CHG

HG

∠====

tan(0,90)6060

BDC

ααα

∴=∈∴=∴∠=

；

21．解：（Ⅰ）由已知得到1

b=，且242

a a

=∴=，所以椭圆的方程是

2

21

4

x

y

+=；

（Ⅱ）因为直线

12

l l

⊥，且都过点(0,1)

P-，所以设直线

1

:110

l y k x k x y

=-⇒--=，直线2

1

:10

l y x x k y k

k

=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线

1

:110

l y k x k x y

=-⇒--=的距离

为

d=所以直线

1

l被圆224

x y

+=

所截的弦AB==

由222

2

2

480

1

4

x ky k

k x x kx

x

y

++=

⎧

⎪

⇒++=

⎨

+=

⎪

⎩

，所以

2

8

||

44

D P

k

x x DP

k k

+=-∴==

++

222

114

||||

22444313

ABD

S AB DP

k k k

∆

⨯

==⨯==

++++

2

3232

==≤=

+

2

5

2

k k

=⇒=⇒=

时等号成立，此时直线

1

:1

l y x

=-

22．解：（Ⅰ）由已知得：2

()363(1)33

f x x x a f a

''

=-+∴=-，且(1)133331

f a a

=-++-=，所以

所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=； （Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]

x ∈时，(2)0x x -≤，

（1）当0a ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，因为

max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；

（2）当440a ∆=-≤，即

1a ≥时，()0f x '≥恒成立，所以()

f x 在[0,2]x ∈上递增，所以

max |()|max{(0),(2)}f x f f =，因为

max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；

（3）当440a ∆=->，即01a <<时，

212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即

所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且

31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<所以12()|()|f x f x >，

所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =； 由2

(0)(2)3331003

f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当2

03

a <<

时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，因为

2

1()(0)12(1332(1(23)f x f a a a a -=+--+=--=

，又因为

203

a <<

，

所

以

230,340

a a ->->，所以

1

(

)(0)0

f x f ->，所以

max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（ⅱ）当

2

13

a ≤<时，(2)0,(0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为

2

1()(2)1)132(1

2)

f x f

a a a a -=+-+=--=，此时

320a ->，当

2

13

a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ①

当

23

34

a <<时，340a ->，所以1()|(2)|f x f >

，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-；

②

当

3

14

a ≤<时，34

0a -<，所以1()|(2)|f x f <，所以此时max |()|(2)31f x f a ==-

综上所述：max 33,(0)3

|()|12(1)43

31,()4

a a f x a a a a ⎧

-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩。