初中数学常见辅助线的添加方法

——几何论证题中辅助线的添加方法

例1：

                     如图：等腰梯形ADBC 中AB∥CD，底角∠ABC=450

                           对角线AC、BD交于点O，且∠BOC=1200

                       求：的值

分析：在已知条件中，底角∠ABC=450，有的同学想到延长两腰，出现一个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为 

∠BOC=1200 的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D（或A）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为1200的等腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求的比值。

证明：过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E

AD∥BC                        AD=CF

AC∥DF    AC=DF

             等腰梯形ABCD   DB=AC   BD=DF

                        AC∥DF∠BDF=∠BOC=1200 

                                            DE⊥BF

     ∠BDE=600    

   BE=EF      BE=EF=

     ∠BED=900    

     设

DE⊥BC                     

∠BCD=450         EF=            

.

例2：                        如图：已知直线PQ是线段AB的中垂线，

                                   C是OQ上的任意一点，若OD⊥BC

是                                 于D，M是OD的中点

                             求证：CM⊥AD

分析：在已知条件中，PQ是线段AB的中垂线，同学们肯定想到连结AC运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形”，使我们想到能否运用三角形相似及线段成比例来解本题。而要证CM⊥AD，从图中观察到如能证得∠1=∠A ，那么CM⊥AD即可成立；而∠A 除了在Rt△AON中，它还在△AOD中，若把∠1也放到与△AOD相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑一个与△AOD相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件M是OD的中点，想到增添中点（或添平行线）的方法，故取OC的中点为G，想法证明△AOD∽      △CGM。通过基本图形分析，发现∠2=∠3，故∠AOD=∠CGM。因此证：是本题又一关键。

证明：取OC的中点为G，连GM,

     ∵PQ是AB的中垂线,

     ∴∠BOC=900设OA=OB=a，OD=b .

     ∵OD⊥BC,

     ∴∠CDO=∠ODB=900

        ∵∠4+∠3=900，∠3+∠B=900 .

     ∴∠4=∠B，△COD∽△OBD .

     ∴，G、M为OC、OD的中点.

     ∴OC=2CG，CD=2GM..

     ∴，△AOD∽△CGM .

     ∴∠1=∠A.

     ∵∠A+∠ANO=900

     ∴∠1+∠CNH=900

     即∠NHC=900，CM⊥AD.

例3：如图：正方形ABCD中，E、F分别AB、BC的中点，

           AF和DE交于点P

     求证：CP=CD

            图（1）                      图（2）

分析：要证明CP=CD，因为CP、CD在同一三角形中，一般三种思路可证：

思路（1）：只要证对角相等，即证∠1=∠2。如图（1）分别寻找∠1、∠2的等量，∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠2=∠AEP，∠1=？，延长CP交AB于G，∴∠1=∠EPG。要证∠1、∠2只要证∠AEP=EPG，由已知可知，E、F为AB、BC的中点可证：△AED≌△BFA，可得AF⊥DE，P为垂足。假设∠AEP=∠EPG，G可能为AE的中点，因此证PG为AE的中线是本思路证题的关键。本题出现“母子”三角形基本图形故不难，推得，设PE为a，PA为2a，PD为4a，因为AE∥CD，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可证得G为AE的中点，PG是AE的中线，∠AEP=∠EPG成立。从分析的过程中得到思路（2），

思路（3）：要证CP=CD，只要证：C在线段PD的中垂线上，取AD的中点，连CH、PH，证：四边形AFCH为平行四边形，由思路（1）可知，AF⊥DE，故CH⊥DE，再证：CH平分PD，通过Rt△APO易证CH平分PD。

证明方法（1）：

∵E、F为AB、BC的中点，ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠DAE，BF=AE

∴△ADE≌△BAF，∴∠ADE=∠EAP

∵∠EAP+∠DAP=900，∴∠ADE+∠DAP=900，∴∠APD=∠APE=900，

∵∠ADE=∠EAP，∴△APE∽△DPA，

∴

∴，AB∥CD

∴1:2，

∴G为AE的中点，PG=EG

∵∠GEP=∠GPE，

∵∠GPE=∠1，∠GEP=∠2

∴∠1=∠2，CP=CD

证明方法（2）（如图2）：

    取AD的中点为H，连CH、PH..

∵ABCD是正方形，∴BC∥AD，BC=AD，F、H为BC 、AD的中点，

∴CF∥AH，CF=AH，

∴AFCH为平行四边形.

∴CH∥AF，由证明方法（1）可知AP⊥DE，故CH⊥P.

在Rt△APO中，PH为斜边中线，

∴，∴CH垂直平分PD，∴CP=CD.

例4：⊙O1与⊙O2相交于点A，P是O1O2的中点

（1）如图（1）如果AC切⊙O2于点A，交⊙O1于点C，D是AC的中点

求证：PA=PD

（2）如图（2）如果过点A作两圆的一条割线交⊙O1于点C，交⊙O2于点B，点D是BC的中点，那么PA与PD是否相等？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由。

               图（1）                           图（2）

分析（1）：由已知可知，P为O1O2的中点，D为AC的中点，AC切于⊙O2于点A。想到常用辅助线，连O1D、O2A，由O1D⊥AC，O2A⊥AC，得O1D∥O2A ，作PG∥O2A 可证得G为AD中点，PG垂直平分AD，可证得PA=PD

分析（2）：通过观察发现PA=PD，理由是什么？由已知条件，分别作O1E⊥AC，PH⊥BC，O2F⊥AB，P为O1O2的中点，所以H为EF中点，要证：PD=PA，只要证：DH=AH，现在只要证DE=AF，因为DE=CD—CE，AF=EF—AE，因为CE=AE，所以证CD=EF是本题的关键，而，所以只要证即可。

证明（1）：在图（1）中连O1D、O2A，作PG∥O2A..

          ∵D为AC中点，   ∴O1D⊥AC.

          ∵AC切于⊙O2于点A，

          ∴O2A⊥AC.

          ∴O2A∥O1D∥PG..

          ∵P为O1O2的中点,

          ∴G为AD的中点，且PG⊥AD.

          ∴PA=PD.

证明（2）：作O1E⊥BC于E，PH⊥BC于H，O2F⊥BC于F,

          ∴O1E∥PH∥O2.

          ∵P为O1O2的中点,

          ∴H为EF的中点，E为AC的中点，F为AB的中点.

          ,

          ∵,

          ∴CD=EF，AF=EF—AE，DE=CD—CE.

          ∴AF=DE.

          ∵EH=PH,

          ∴DH=AH，PH⊥AD.

          ∴PA=PD.

从以上四例中，你是否有所收益，拿到几何题以后，应认真分析已知条件找出证题中有用的隐含条件，当直接用已知条件论证发生困难时，想到各题中隐含的常用辅助线，化繁就简，化难为易，在添辅助线时，切记要随题意，要充分运用每个已知条件。有的在关键点上添辅助平行线，有的需增添线段中点，有的需倍长中线，有的只要延长某条线段等等，不要硬性添作，把简单的问题复杂化，反而误导论证思路。希望我的分析给同学带来启发。