高考数学压轴专题最新备战高考《数列》难题汇编附答案

一、选择题

1．在数列中，若，，则的值

A． ． ． ．

【答案】A

【解析】

分析：由叠加法求得数列的通项公式，进而即可求解的和.

详解：由题意，数列中，，

则，

所以

所以，故选A.

点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.

2．已知等比数列满足，，则（ ）

A． ． ． ．

【答案】B

【解析】

由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.

3．设数列是等差数列，，.则这个数列的前7项和等于（ ）

A．12 ．21 ．24 ．36

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质可得，由等差数列求和公式可得结果.

【详解】

因为数列是等差数列，，

所以，即，

又，

所以，，

故

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.

4．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（  ）

A． ．

C． ．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果.

【详解】

因为

，

所以，选D.

【点睛】

本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.

5．已知数列，则该数列第项是（ ）

A． ． ． ．

【答案】C

【解析】

【分析】

由观察可得项数为，注意到，第项是第个括号里的第项.

【详解】

由数列，可发现其项数为

，则前个括号里共有项，前个括号里共有项，

故原数列第项是第个括号里的第项，第个括号里的数列通项为，

所以第个括号里的第项是.

故选：C.

【点睛】

本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.

6．已知数列中，，，记，，则（ ）

A． ． ． ．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据数列的单调性即可判断；通过猜想归纳证明，即可求得.

【详解】

注意到，，，不难发现是递增数列．

（1），所以．

（2）因为，故，所以，即是增函数．

于是，递增，递减，

所以，，

所以.

事实上，，

不难猜想：．

证明如下：

（1）．

（2）等价于，

所以，

故，

于是，

即有．

故选：C.

【点睛】

本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.

7．执行下面程序框图输出的值为（ ）

A． ． ． ．

【答案】A

【解析】

【分析】

模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的的值并判断是否成立，发现当，满足，退出循环，输出运行的结果，利用裂项相消法即可求出．

【详解】

由题意可知，

第1次循环时，，否；

第2次循环，，否；

第3次循环时，，否；

第4次循环时，，否；

第5次循环时，，是；

故输出

故选：A.

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．

8．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）

A．10 ．7 ．8 ．4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等比数列的性质可将已知等式变为，解方程求得结果.

【详解】

由题意得： 

本题正确选项：

【点睛】

本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于的方程，属于基础题.

9．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100

A．132 ．299 ．68 ．99

【答案】B

【解析】

【分析】

由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求.

【详解】

对任意的，均有为定值，

，

故，

是以3为周期的数列，

故，

.

故选：.

【点睛】

本题考查周期数列求和，属于中档题.

10．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（ ）

A．20 ．30 ．44 ．88

【答案】C

【解析】

【分析】

设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16列式求得q2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11.

【详解】

设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16，

得，得q2＝2.

∴，即a6＝b6＝4，

又Sn为等差数列{bn}的前n项和，

∴.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.

11．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（ ）．

A． ． ． ．

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以，

又，解得，所以，故选C．

考点：等比数列的通项公式及性质．

12．在数列中，，则的值为

A．-2 ． ． ．

【答案】B

【解析】

由，得.

所以.

即数列以3为周期的周期数列.

所以.

故选B.

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，本题是通过迭代得到了数列的周期性．

13．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　

A． ．

C． ．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前项和公式求解即可.

【详解】

解：根据题意，

当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，

同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，

孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为，

孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，

可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，

此时将存款（含利息）全部取回，

则取回的钱的总数：

；

故选：．

【点睛】

本题考查了不完全归纳法及等比数列前项和，属中档题.

14．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）

A．1.5尺 ．2.5尺 ．3.5尺 ．4.5尺

【答案】C

【解析】

【分析】

结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.

【详解】

解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,

∴,

解得,,

∴小满日影长为（尺）.

故选C.

【点睛】

本题考查等差数列的前n项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.

15．在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（ ）

A． ． ． ．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意知 ．由此可知，所以在中最大的是．

【详解】

由于 ，

所以可得．

这样，

而>0， ，

所以在中最大的是．

故选C．

【点睛】

本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.

16．已知数列的首项，则（ ）

A．7268 ．5068 ．6398 ．4028

【答案】C

【解析】

【分析】

由得，所以构造数列为等差数列，算出，求出.

【详解】

易知，因为，所以，

即，是以3为公差，以2为首项的等差数列.

所以，即.

故选 ：C

【点睛】

本题主要考查由递推公式求解通项公式，等差数列的通项公式，考查了学生的运算求解能力.

17．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（ ）

A． ． ． ．

【答案】B

【解析】

【分析】

计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.

【详解】

由题意可知，则对任意的，，则，，

由，得，，，

，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

18．已知等差数列中，首项为（），公差为，前项和为，且满足，则实数的取值范围是（ ）

A．； ． ． ．

【答案】D

【解析】

【分析】

由等差数列的前n项和公式转化条件得，再根据、两种情况分类，利用基本不等式即可得解.

【详解】

数列为等差数列，

，，

由可得，

当时，，当且仅当时等号成立；

当时，，当且仅当时等号成立；

实数的取值范围为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了等差数列前n项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.

19．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）

A．钱 ．钱 ．钱 ．钱

【答案】C

【解析】

【分析】

依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．

【详解】

解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，

则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，

又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，

则a﹣2d＝a．

故选：C．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．

20．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）

A． ． ． ．

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围.

【详解】

由已知得，则.

因为，数列是单调递增数列，

所以，则，

化简得，所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题.