数学百日百题(新)

在数学百日百题中的应用

例题：在平面直角坐标系xoy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称， P是动点，且直线AP与BP的斜率之积为-.

（Ⅰ）求动P点的轨迹方程；

(Ⅱ) 设直线AP与BP分别与直线x=3交于M与N，问：是否存在P点使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 

(1)以一题多元优化思维

多 元

路 径

求点的坐标？             

从不同的思维出发给出本题（II）的详细解答过程：

(Ⅱ)方法一:常规解法 (推荐人:程娟秀)

  设点p的坐标为（）,点坐标分别为（3，），（3,），

则直线AP的方程为y-1=(x+1),

直线BP的方程为y+1=(x-1)

令x=3得=,=

于是△PMN的面积为

=|(3-)=

又直线AB的方程为x+y=0,|AB|2,

点P到AB直线的距离d=

于是△PAB的面积为

=|AB|d=,

由==

又≠0

所以，解得=

因为+3=4，所以=

故存在点P使得△PMN与△PAB的面积相等，此时点P的坐标为(,)

解法二:数形结合（推荐人:411B班白永燚  指导教师:张敏)

若存在点P使得△PMN与△PAB的面积相等设点p的坐标为（），则|PA||PB|=|PM||PN|.

因为=

所以，所以

即=, 解得=

因为+3=4，所以=

故存在点P使得△PMN与△PAB的面积相等，此时点P的坐标为(,)

  以上两种法方中第二种法通过对几何的推理,减少了很多的计算,属于最优解.

（2）以多题一源可优化思维

对称

斜率

三角形面积

(3)以纵横联系可优化思维

每个命题都由对应的关键字或词或义而构成，优化思维就是要训练从每个命题中学会吸收具有内涵价值的关键字、词、句、义。

该题中具有思维价值的关键词是“对称”，“斜率”，“面积”同时展开纵横联系，又能达到优化思维的目的。

“对称”从数学科展开联系，如：函数的对称与圆锥曲线的对称两大部分。对于“函数图像的对称”，要知“函数图像的对称”的内涵要义是什么？函数的解析式的变化对对称造成什么影响了？怎样从函数的解析式观察出函数的图像的对称性的？函数的对称包含哪两类对称呢？一个是函数图像自身对称，一个是两个函数图像之间的对称，他们的规律有什么异同？圆锥曲线的对称，又怎样从方程中得出图像的对称关系的？从方程中怎样得出对称轴、对称中心？。。。通过以上比较发现，函数图象的对称具有代表性、典型性、重要性。我们可以从“关于x轴，y轴，原点，y=x+b”等常见的四个维度进行优化思维。

由数学科从“斜率”展开纵横联系。如：通过倾斜角表达斜率，通过直线的方向向量求斜率，通过点的坐标求斜率，通过斜率解决三角函数值域等，由以上均可构建对题一源的相关体系，以达到优化思维的目的。

由“面积”展开纵横联系，可以与三角函数发生关系，还可以与初中的平面几何进行联系，以上均可构建多题一源的相关体系，以达到优化思维的目的。

(4)以类比类推可优化思维

理解几何对象的本质特征是实现几何代数化的基础。

例1：过定点M（a,b）任作互相垂直的两条直线和，分别与

x轴、y轴交于A,B两点， 求线段AB中点P的轨迹方程.

分析1：利用，. 设，则.

分析2：连结PM，由，为直角三角形， 

分析3：点O,A,M,B四点共圆， 

由分析1、分析2、分析3就可以看出当把几何对象的本质特征挖掘出来时（如分析3）计算量就明显减少，提高了准确率。

例2：若直线与连接点A和点的线段有公共点，求a的取值范围.

几何特征： A,B两点必在直线两侧或其中一点在此直线上.     

代数化：， 解得：或

     例1                       例2

因此解析几何代数化的核心在于几何与代数在坐标系下的互译——由几何对象的代数表征来解读几何对象的特征属性，由几何对象的几何特征属性合理选择其代数表征。