2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)

一、选择题（共8小题）.

1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（　　）

A．（2，﹣3）    B．（2，3）    C．（﹣3，2）    D．（3，2）

2．椭圆+＝1的离心率是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（　　）

A．a＝6，    B．a＝﹣6＝﹣6，    

C．a＝﹣6，    D．a＝6，

4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（　　）

A．    B．    

C．    D．

5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

二.多选题（共4小题）.

9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（　　）

A．x+y﹣5＝0    B．2x+y﹣4＝0    C．3x﹣2y＝0    D．4x﹣2y+5＝0

10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（　　）

A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上    

B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上    

C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为    

D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线

11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（　　）

A．7    B．6    C．5    D．8

12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（　　）

A．1    B．2    C．0    D．﹣1

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝　   　．

14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为　   　．

15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝　   　．

16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q（0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．

（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为　   　；

（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝　   　．

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．

（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；

（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；

（Ⅲ）求△ABC的面积．

18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．

（1）求AC边所在直线的方程；

（2）求△ABC外接圆的方程；

（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；

（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．

（Ⅰ）求C1的标准方程；

（Ⅱ）求弦AB的长．

21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．

（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．

22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．

（Ⅰ）求点E的轨迹方程；

（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

参

一、单选题（共8小题）.

1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（　　）

A．（2，﹣3）    B．（2，3）    C．（﹣3，2）    D．（3，2）

解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，

∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），

故选：A．

2．椭圆+＝1的离心率是（　　）

A．    B．    C．    D．

解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，

所以椭圆的离心率为：＝．

故选：B．

3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（　　）

A．a＝6，    B．a＝﹣6＝﹣6，    

C．a＝﹣6，    D．a＝6，

解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，

可得a＝6，可得两条平行直线即 6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，

故它们间的距离为d＝＝，

故选：D．

4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，

∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，

故选：B．

5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，

∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），

∵经过（0，0，0）直线l的方程为，

∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），

设直线1与平面α所成角为θ，

则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，

∴直线1与平面α所成角的正弦值为．

故选：B．

6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；

设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，

当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，

所以最小的弦长|AB|＝2＝2，

故选：B．

7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，

故可得＝0，＝0，

∴＝（）•

＝+||2+＝0+12+0＝1，

∴cos＜，＞＝＝，

∵与夹角的取值范围为[0，π]，

故向量的夹角为60°，

∴异面直线l，m所成的角等于60°．

故选：C．

8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），

直线AP的方程为：y＝（x+a），

由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），

代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，

∴题意的离心率e＝＝．

故选：D．

二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）

9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（　　）

A．x+y﹣5＝0    B．2x+y﹣4＝0    C．3x﹣2y＝0    D．4x﹣2y+5＝0

解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，

所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；

当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，

代入点P（2，3）可得a＝5，

所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．

综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．

故选：AC．

10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（　　）

A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上    

B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上    

C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为    

D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线

解：曲线C：mx2+ny2＝1．

若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A正确；B错误；

若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；

若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．

故选：AD．

11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（　　）

A．7    B．6    C．5    D．8

解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，

∵圆心C到O（0，0）的距离为5，

∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，

再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，

得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，

结合选项可得，m的值可能取6和5．

故选：BC．

12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（　　）

A．1    B．2    C．0    D．﹣1

解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），

由y1＞，可得＜x1＜，

则直线PF1的方程为，即，

直线PF2的方程为，即．

∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，

∴，①

∵＝，

＝，

﹣＜m＜，

∴①式转化为，即m＝，

又＜x1＜，∴＜m＜．

结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，

故选：ACD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝　1　．

解：∵平面α的一个法向量，

平面β的一个法向量，α⊥β，

∴＝﹣x+y﹣1＝0，

解得y﹣x＝1．

故答案为：1．

14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为　　．

解：如图，

取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，

则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．

连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，

则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，

∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，

∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，

∴，AE＝，，

则cos∠EAB1＝，

∴sin，则＝．

设F到平面AB1E的距离为h，

由，得，即h＝．

∴直线FC1到平面AB1E的距离为．

故答案为：．

15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝　　．

解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，

∴a＝5，b＝4，c＝＝3，

∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），

设△ABF2的内切圆半径为r，

∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，

根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．

∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，

又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|

＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），

∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．

故答案为：．

16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q（0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．

（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为　3　；

（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝　　．

解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），

设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，

故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，

故l截圆Q的弦长＝2＝3；

（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：

d1＝，d2＝，d3＝，

则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），

即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②

解①得m＝0，代入②得k2＝，

则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，

故答案为：3；．

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．

（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；

（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；

（Ⅲ）求△ABC的面积．

解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），

∴直线BM斜率k＝＝，

∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），

化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，

∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0

（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，

∴有，解得，∴D（3，8），

∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；

（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，

∴点A到直线BC的距离d＝＝2，

∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．

18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．

（1）求AC边所在直线的方程；

（2）求△ABC外接圆的方程；

（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

解：（1）∵

∴AT⊥AB，又T在AC上

∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，

又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．

又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，

所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．

（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），

∵

∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心

又r＝．

从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．

（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，

所以，即．

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．

从而动圆P的圆心的轨迹方程为．

19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；

（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

解：如图建立空间直角坐标系，

A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），

∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．

（Ⅰ）＝；

（Ⅱ）＝，

当a＝时，|MN|最小，最小值为；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，

则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，

则G（，，），

∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，

∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．

∵，，

∴cos＜＞＝＝．

∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．

20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．

（Ⅰ）求C1的标准方程；

（Ⅱ）求弦AB的长．

解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，

∵，∴c＝1，

∴b＝，

∴椭圆C1的标准方程为：．

（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

∴|AB|＝＝＝．

21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．

（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，

∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，

又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，

又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1 的中点N，连接OA，ON，

∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，

又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，

故OA1，ON，OA两两互相垂直．

以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），

由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，

设平面BB1C1C的一个法向量为，

则，取z＝1，得．

设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，

则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，

又∵θ∈（0，]，∴，

故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．

22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．

（Ⅰ）求点E的轨迹方程；

（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，

∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，

∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，

∴其轨迹方程为．

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，

由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，

联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，

则，，

∴＝，

∴＝＝＝，

当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，

此时直线l的方程为x＝1．