高考数学函数与导数试题汇编

已知函数的定义域为，的定义域为，则（     ）

    A.        B.    C.        D. 

C.

客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（    ）

                 A.          B.            C.           D.

B.

设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（     ）

A．          B．2           C．        D．4

A

（07全国Ⅰ）

设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（      ）

A．充要条件                      B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件            D．既不充分也不必要的条件 

B

（07江西）

设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为

   A．－        B．0            C．             D．5

B.

 (07浙江)

设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（    ）

A.                  B. 

C.                             D. 

C.

（07天津）

在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（      ）

A.在区间上是增函数，区间上是增函数

B.在区间上是增函数，区间上是减函数

C.在区间上是减函数，区间上是增函数

D.在区间上是减函数，区间上是减函数

B.

设均为正数，且，，.则（    ）

A.    B.      C.    D. 

A.

(07湖南)

函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）

A.4       B.3        C.2       D.1 

B.

设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、（）都有， （表示两个数中的较小者），则的最大值是（    ）

A.10      B.11      C.12      D.13

B.

(07福建)

已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ）

A.           B.     C.     D. 

C.

 (07重庆)

已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（    ）

A.   B.   C.   D. 

D

（07山东）

已知集合，，则（ ）

A.   B.    C.     D. 

B.

(07山东)

设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（   ）

A.1,3      B.-1,1     C.-1,3      D.-1,1,3

A.

（07江西）

四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）

A．h2＞h1＞h4    B．h1＞h2＞h3     C．h3＞h2＞h4       D．h2＞h4＞h1

A.

（07安徽）

若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是

A. a＜-1         B.≤1             C.＜1            D.a≥1

B.

（07安徽）

定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为

  A.0        B.1                    C.3                D.5   

D.

（07安徽）

图中的图象所表示的函数的解析式为

(A)    (0≤x≤2) 

(B) (0≤x≤2)

(C)    (0≤x≤2)

(D)    (0≤x≤2)

B.

设a＞1,且,则的大小关系为

(A) n＞m＞p    (B) m＞p＞n    (C) m＞n＞p    (D) p＞m＞n

B.

（07北京）

对于函数①，②，③.判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：上是减函数，在区间上是增函数；命题丙：在上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）

A.①③        B.①②     C. ③      D. ② 

D

（07湖北）

为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知

药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为              .

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过      小时后，学生才能回到教室.

(07山东)

函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为        .

8

(07重庆)

若函数的定义域为R，则实数的取值范围    。   （07宁夏）设函数为奇函数，则实数          。

－1

（07全国Ⅰ）

函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________。

（07北京）

已知函数分别由下表给出：

1，2

 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.

解：若, ,显然在上没有零点, 所以.

      令,  解得

       ①当时,  恰有一个零点在上;

       ②当，即时，在

上也恰有一个零点.

       ③当在上有两个零点时, 则

              或

解得或

综上所求实数的取值范围是  或  .

（07北京）

已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为.

若对于任意的，则称集合具有性质.

（Ⅰ）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合；

（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：；

（Ⅲ）判断的大小关系，并证明你的结论.

（Ⅰ）解：集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是

；

（Ⅱ）证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为

,

又因为当，

所以当，于是集合中的元素的个数最多为

，即.

（Ⅲ）解：，证明如下：

①对于，根据定义

如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是

与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见

中的元素个数不多于中的元素个数，即；

②对于，根据定义

如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是

与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见

中的元素个数不多于中的元素个数，即.

由①②可知.

(07上海)

已知函数

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。

解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.

（2）设， 

，

由得， 

要使在区间是增函数只需，

即恒成立，则。

另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，

故当时，在区间是增函数。

（重庆理）

已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。

解：（I）由题意知，因此，从而．

又对求导得．

由题意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数．

因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．

（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．

即，从而，

解得或．

所以的取值范围为．

设，对任意实数，记．

（）求函数的单调区间；

（）求证：（ⅰ）当时， 对任意正实数成立；

（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．

（I）解：．由，得．

因为当时，，当时，，当时，，

故所求函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．

（II）证明：（i）方法一：令，

则，当时，由，得，当时，，

所以在内的最小值是．

故当时，对任意正实数成立．

方法二：

对任意固定的，令，则，

由，得．当时，．当时，，

所以当时，取得最大值．

因此当时，对任意正实数成立．

（ii）方法一：．由（i）得，对任意正实数成立．

即存在正实数，使得对任意正实数成立．

下面证明的唯一性：当，，时，

，，由（i）得，，

再取，得，所以，

即时，不满足对任意都成立．

故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，

即，    ①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，

所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

（天津理）

已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．

本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．

（Ⅰ）解：当时，，，

又，．

所以，曲线在点处的切线方程为，

即．

（Ⅱ）解：．

由于，以下分两种情况讨论．

（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：

函数在处取得极小值，且，

函数在处取得极大值，且．

（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且．

（四川理）

设函数.

(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;

(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞

(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.

本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是

（Ⅱ）证法一：因

证法二：

因

而

故只需对和进行比较。

令，有

由，得

因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值

故当时，，

从而有，亦即

故有恒成立。

所以，原不等式成立。

（Ⅲ）对，且

有

又因，故

∵，从而有成立，

即存在，使得恒成立。

（陕西理）

设函数f(x)=其中a为实数.

(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;

(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.

解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，

，即当时的定义域为．

（Ⅱ），令，得．

由，得或，又，

时，由得；

当时，；当时，由得，

即当时，的单调减区间为；

当时，的单调减区间为．

（山东理）

设函数，其中．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．

解(I) 函数的定义域为.

，

令，则在上递增，在上递减，

.当时，，

在上恒成立. 

即当时,函数在定义域上单调递增。

（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.

（2）当时，，时， 

时， 时，函数在上无极值点。

（3）当时，解得两个不同解，.

当时，，，

此时在上有唯一的极小值点.

当时， 

在都大于0 ，在上小于0 ，

此时有一个极大值点和一个极小值点.

综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，函数在上无极值点。

（III） 当时， 

令则在上恒正，

在上单调递增，当时，恒有.

即当时，有，

对任意正整数，取得

【试题分析】函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性是是和定义域共同作用的结果；（II）需要分类讨论，由（I）可知分类的标准为（III）构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据导函数的特点迅速判断或。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点”.

（全国卷二理）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明： 

解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．

（2）如果有一条切线过点，则存在，使．

若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．

当变化时，变化情况如下表：

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．

综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即    ．

（全国卷一理）

设函数．

（Ⅰ）证明：的导数；

（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．

解：（Ⅰ）的导数．由于，故．

（当且仅当时，等号成立）．

（Ⅱ）令，则，

（ⅰ）若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即．

（ⅱ）若，方程的正根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数．

所以，时，，即，与题设相矛盾．

综上，满足条件的的取值范围是．

设函数

（）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

（）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

（江西理）

如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．

（1）求和的值；

（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．

解：（1）将，代入函数得，因为，所以．

又因为，，，所以，因此．

（2）因为点，是的中点，，点的坐标为．

又因为点在的图象上，所以．

因为，所以，

从而得或．即或．

（湖南理）

如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．

（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；

（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．

（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．

解：（I）如图，，，，

由三垂线定理逆定理知，，所以是

山坡与所成二面角的平面角，则，

．设，．

则．

记总造价为万元，

据题设有

当，即时，总造价最小．

（II）设，，总造价为万元，根据题设有

．

则，由，得．

当时，，在内是减函数；

当时，，在内是增函数．

故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元．

（III）解法一：不存在这样的点，．

事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于与之间．故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于（I）、（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．

解法二：同解法一得

．

当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一．

（湖北理）

已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求证：（）．

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

（Ⅱ）设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，．

（广东理）

如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。

 （1）求V(x)的表达式；

 （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

 （3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，， 

V(x)=（）

（2），所以时， ，V(x)单调递增；时，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；

（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，

，

在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；

（广东理）

已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）

 （1）求的值；

 （2）证明：对任意的正整数n，都有>a；

（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。

解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，

∴；

 （2）， 

=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），

 （3），而，即，

，同理，，又

（福建理）

已知函数

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：．

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．

解：（Ⅰ）由得，所以．

    由得，故的单调递增区间是，

    由得，故的单调递减区间是．

    （Ⅱ）由可知是偶函数．

    于是对任意成立等价于对任意成立．

    由得．

    ①当时，．

    此时在上单调递增．

    故，符合题意．

    ②当时，．

    当变化时的变化情况如下表：

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．

（Ⅲ），

，

，

由此得， 

故．

（北京理）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

（）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（）求面积的最大值．

解：（）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．

点的纵坐标满足方程，

解得

　，

其定义域为．

（）记，

则．

令，得．

因为当时，；当时，，所以是的最大值．

因此，当时，也取得最大值，最大值为．

即梯形面积的最大值为．

（安徽理）

设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．

（Ⅰ）解：根据求导法则有，

故，

于是，

列表如下：

（Ⅱ）证明：由知，的极小值．

于是由上表知，对一切，恒有．

从而当时，恒有，故在内单调增加．

所以当时，，即．

故当时，恒有