高中数学函数知识点(详细)

一．函数

1、函数的概念：

（1）定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：=，∈A．其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{| ∈A }叫做函数的值域．

（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则

（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

2、定义域：

（1）定义域定义：函数的自变量的取值范围。

（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。

（3）确定函数定义域的常见方法：

①若是整式，则定义域为全体实数

②若是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数

  例:求函数的定义域。

③若是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数

例1．求函数 的定义域。

例2．求函数的定义域。

④对数函数的真数必须大于零

⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1

⑥若为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如

⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

（4）求抽象函数（复合函数）的定义域

已知函数的定义域为[0,1]求的定义域

已知函数的定义域为[0,1）求的定义域

3、值域 : 

（1）值域的定义：与相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）确定值域的原则：先求定义域

（3）常见基本初等函数值域：

    一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）

（4）确定函数值域的常见方法：

①直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。

例：求函数的值域。

解：∵，∴，

∴函数的值域为。

②配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。

例：求函数（）的值域。

解：， 

∵，∴，∴

∴，∴

∴函数（）的值域为。

③分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例：求函数的值域。

解：∵，

∵，∴，

∴函数的值域为。

④换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。

例：求函数的值域。

解：令（），则，

∴

∵当，即时，，无最小值。

∴函数的值域为。

⑤判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例：求函数的值域。

解：由变形得，

当时，此方程无解；

当时，∵，∴，

解得，又，∴

∴函数的值域为

值域为

             练习：求函数的值域

4、函数的表示方法

（1）解析法、列表法、图象法

（2）求函数解析式的常见方法：

①换元法

例：已知, 求的解析式.

例：若,求.

例：已知  求.

②解方程组法

例：设函数满足+2 f（）=  （≠0），求函数解析式.

一变：若是定义在R上的函数，，并且对于任意实数，总有求。（令x=0，y=2x）

③待定系数法

例：已知是一次函数，并且求

解：设，则

则，解得或

故所求一次函数解析式或

④配变量法

例：已知, 求的解析式.

例：若,求.

⑤特殊值代入法（取特殊值法）

例：若,且，

求值.

例：设是上的函数，且满足并且对任意实数有

    求的表达式

解：设则

    即

    或设则

⑥利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.

例：对∈R, 满足,且当∈[－1,0]时, 求当∈[9,10]时的表达式.

 解析：，则则，T=2

5、分段函数   

(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。

(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；

         分段函数是一个函数，而不是几个函数；

         写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。

6、复合函数

如果则 称为、的复合函数。

7、函数图象问题

（1）熟悉各种基本初等函数的图象

如：，，，，，

（2）图象变换

平移：

对称：

翻折：

注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法

***********************************课堂习题*********************************

1.求下列函数的定义域：

⑴        ⑵    

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_  _   

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是         

4.函数 ，若，则=            

5.求下列函数的值域：

⑴           ⑵ 

(3)               (4)

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增减函数和单调区间

设函数的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上是增函数.区间D称为的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数.区间D称为的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）函数单调区间与单调性的判定方法（重点）

(A) 定义法：

 任取∈D，且；

 作差；

 变形（通常是因式分解和配方）；

 定号（即判断差的正负）；

 下结论（指出函数在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

    复合函数的单调性与构成它的函数，的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 

例：是否存在实数使函数在闭区间上是增函数？如果存在，说明可取哪些值；如果不存在，说明理由。

  解：当>1时，为使函数在闭区间上是增函数

 在闭区间上是增函数，故

 得，又由>1，得>1

 <1时，为使函数在闭区间上是增函数

只需在闭区间上是减函数，故

无解

综上，当时，在闭区间上是增函数

（D）常用结论

●函数与函数的单调性相反；

●函数与具有相同的单调性；

●当时，函数与具有相同的单调性，时，它们具有相反的单调性；

●若则函数与具有相反的单调性；

●公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、

增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数

●若且与都是增（或减）函数，则也是增（或减）函数；

若且与都是增（或减）函数，则也是增（或减）函数；

●若，且在定义域上是增函数，则也是增函数，也是增函数。

●常见函数的单调性（一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数）

（E）利用函数的单调性求函数的最值

确定函数的定义域；将复合函数分解为基本的初等函数；分别判断其单调性；根据同增异减判断

例：求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值

2．函数的奇偶性（整体性质）

（1）函数奇偶性定义

一般地，对于函数的定义域D内的任意一个，都有,且（或），那么就叫做奇（或偶）函数．

（2）图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

确定与是否成立；

作出相应结论：若 或，则是偶函数；

若或，则是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;或由变式或来判定;利用定理，或借助函数的图象判定 .

（4）函数奇偶性的重要结论

●具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；

●、是定义域分别为的奇函数，那么在上，+是奇函数，•是偶函数。

●类似结论：奇奇=奇、奇×奇=偶、

偶偶=偶、偶×偶=偶

奇×偶=奇

●若是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。

●若的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数。（）

●若既是奇函数又是偶函数，则

●复合函数的奇偶性：内层是偶函数，则是偶函数

（不用死记硬背）  内层是奇函数，外层是奇函数，则是奇函数

 是偶函数

（5）函数奇偶性与单调性的关系

●奇函数在上是增函数，在上也是增函数；

●偶函数在上是增函数，在上是减函数。

例：函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。

解：已知不等式可化为，

 在上递增，所以

 ，或

  又由是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，

且，得，即有，无解。

综上，原不等式的解集是{，或}

例：设奇函数上为增函数，且，则不等式的解集为？

解：由是奇函数得，所以

即或，

由奇函数上为增函数，故上为增函数

由知

可化为得，同理

可化为得

解集为

3.函数的周期性

（1）周期函数的定义

    若函数对于定义域中任意，存在不为零的常数，使得恒成立，则为周期函数，为的周期

（2）有关周期性的一些结论

●若的周期为，则也是的周期

●若周期函数的周期是所有正周期中最小的，则为的最小正周期

●若函数满足

，则比以为周期，反之不成立。

证明提示：①令=；②令；③令。

（3）函数的对称性

●满足条件的函数的图象关于直线对称；

●若满足的函数的图象关于点对称

●点关于轴的对称点为，函数关于轴的对称曲线方程为

●点关于轴的对称点为，函数关于轴的对称曲线方程为

●关于原点的对称点为，函数关于轴的对称曲线方程为

●函数与函数关于直线对称。

注意：，对称轴求法：；

 与的对称轴求法：，

*************************课堂习题**********************************

1.已知函数，求函数，的解析式

2.已知函数满足，则=             。

3.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=    

  在R上的解析式为                        

4.求下列函数的单调区间：

 ⑴   ⑵  ⑶ 

5.判断函数的单调性并证明你的结论．

6.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

三、一次函数（略）与二次函数（函数应用中有提及）

1、二次函数的定义及表达式

（1）定义：函数叫做二次函数，它的定义域是R

（2）表达式：一般式、顶点式、两根式

2、二次函数的图象与性质

（1）图象：抛物线：开口方向、对称轴、顶点坐标；

（2）性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值最小值。

3、二次函数在闭区间上的最值（分情况讨论对称轴与闭区间的位置关系）

4、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

（1）函数零点的定义

    如果在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点。

 的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标。所以，方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

（2）函数零点的判断（零点存在性定理）

 在区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在区间上至少有一个零点，即存在一点使得，这样的零点叫做变号零点，有时曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做不变号零点。

（3）二分法的概念

    对于区间上连续且满足的函数通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法叫做二分法。

（4）用二分法求函数零点近似值的一般步骤（略）