浙江省绍兴市新昌县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题及参

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（ ）

A．直线x=1 ．直线x=-1 ．直线x=2 ．直线x=-2

2．已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ）.

A．点在内 ．点在上 ．点在外 ．不能确定

3．下列说法正确的是（ ）

A．“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%；

B．连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次；

C．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数；

D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖.

4．已知扇形的圆心角为，半径为，则弧长为（ ）

A． ． ． ．

5．己知二次函数的图象如图所示，那么a、c满足（ ）

A．a＞0，c＞0 ．a＞0，c＜0 ．a＜0，c＞0 ．a＜0，c＜0

6．如图，在中，点分别是和上的点，且，则和的面积之比为（ ）

A． ． ． ．

7．如图，中，于点，下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ）

A． ．

C． ．

8．已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（ ）

A． ． ．0.618 ．

9．如图，在等边中，，分别以为直径作圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． ． ． ．

10．如图，已知正方形的边长为1，延长到，使得，延长到，使得，以同样的方式得到，连接，得到第2个正方形，再以同样方式得到第3个正方形，……，则第2020个正方形的边长为（ ）

A．2020 ． ． ．

二、填空题

11．某班有25名男生和20名女生，随机抽签确定一名学生代表，则抽到女生的概率是_____．

12．如图，是的圆周角，，则的度数为____．

13．将抛物线y=x2﹣2向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为________．

14．在中，，则的面积为____．

15．如图，是半圆的直径，以弦（非直径）为对称轴将弧折叠，点是折叠后的弧与的交点，若，则____．

16．如图，在菱形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿着运动到点停止，过点作交菱形的边于点，若线段的中点为．当点与点重合时，的长为____，点从点运动到点的过程中，点的运动路线长为____．

三、解答题

17．计算：

（1）．

（2）已知，求的值．

18．如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转得到．

（1）在正方形网格中画出．

（2）计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积．

19．某地响应国家号召，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查该地居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该地四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（1）估算该地“有害垃圾”被正确投放在“有害垃圾箱”的概率．

（2）已知该地一个月有5600吨生活垃圾，问投放错误的有害垃圾大约有几吨？

20．已知，图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图，车杆可以伸缩，且，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为．

（1）求把手离地面的最大高度．

（2）把手离地面的最大高度和最低高度相差多少？

（结果保留小数点后一位，参考数据：，）．

21．图1中窗户的上部分是由4个全等小正方形组成的大正方形，下部分是矩形，如图2．如果制作一个窗户（如图2）边框的材料总长度为，设小正方形的边长为，窗户的透光面积为．

（1）求关于的函数表达式．

（2）取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？

22．如图，内接于，直径的长为4，过点的切线交的延长线于点．

（1）求证：．

（2）请你添加一个条件，编制一道计算题（不可以添线和字母）．

23．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．

（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（ ）

A．2． ．2或

（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．

求证：与互为母子三角形．

（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．

24．如图，在中，，点是上一动点，以点为圆心，长为半径作交线段于点，连结并延长交于点．

（1）求的长．

（2）当为何值时，是等腰三角形？

（3）求取到最大值时的长．

参

1．A

【解析】

试题解析：y=x2-2x+1=（x-1）2

故抛物线y=x2-2x+1的对称轴是直线x=1.

故选A.

2．A

【分析】

欲求点与圆的位置关系，关键是求出点到圆心的距离d，再与半径8cm进行比较.若dr，则点在圆外.

【详解】

解：∵圆的半径是，点和圆心的距离为，

∵＞，

∴点在圆内，

故选A.

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键.

3．A

【解析】

试题分析：A．“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%，该选项正确；

B．连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数不一定是25次，该选项不正确；

C．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数不一定是偶数，也可能出现奇数，该选项不正确；

D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张有可能会中奖，也可能不中奖，该选项不正确；

故选A.

考点：概率统计

4．D

【分析】

根据扇形的弧长公式计算即可．

【详解】

∵扇形的圆心角为 30° ，半径为 2cm ，

∴弧长cm

故答案为：D．

【点睛】

本题主要考查扇形的弧长，熟记扇形的弧长公式是解题的关键．

5．C

【分析】

根据二次函数图象开口向下确定出为负数，再根据二次函数图象与轴的交点即可确定出的正负情况，答案可解．

【详解】

解：∵二次函数图象开口向下，

∴，

∵二次函数图象与轴的正半轴相交，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点与系数的关系是解题的关键．

6．D

【分析】

先由平行线判定 △ADE∼△ABC ，再根据相似三角形对应边成比例性质，解得相似比为 2:5 ，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方解题即可．

【详解】

由题意可知：

∵，

AB=AD+BD，AC=AE+EC，

∴

又∠A=∠A ，

∴ △ADE∼△ABC，

∵AD:AB=2:5，

∴，

故答案为：D． 

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

7．B

【分析】

根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．

【详解】

解：A.能，

∵AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠B=∠DAC，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；

∴△ABC是直角三角形；

B.不能，

∵AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠B+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠DAC，

∴△ABD≌△ACD（ASA），

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，

∴无法证明△ABC是直角三角形；

C.能，

∵

∴

∵∠B=∠B

∴△CBA∽△ABD，

∴∠ADB=∠BAC ，

∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴∠BAC=90°

∴△ABC是直角三角形；

D.能，

∵，

∴

∵∠C=∠C

∴△CBA∽△CAD，

∴∠ADC=∠BAC=90°

∴△ABC是直角三角形．

故选：B

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用．

8．B

【分析】

根据黄金分割比求出AP，PB计算即可；

【详解】

∵点是线段的黄金分割点，，

∴，

令，

∴，

，

∴；

故答案选B．

【点睛】

本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键．

9．C

【分析】

如图，设A、E、F分别是各边中点，因为，所以，，，又据此回答即可．

【详解】

解：设A、E、F分别是各边中点，

，

，

，

，

 ，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质及扇形的面积公式，能将阴影部分的面积转化为求扇形面积和等边三角形面积是解本题的关键．

10．B

【分析】

结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解

【详解】

解：由题意可得：第1个正方形的边长为

∵

∴

∴第2个正方形的边长为

由题意，以此类推，，

∴第3个正方形的边长为

…

∴第n个正方形的边长为

∴第2020个正方形的边长为

故选：B．

【点睛】

本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．

11．

【分析】

用女生的人数除以所有学生的人数即为所求的概率．

【详解】

解：抽到女生的概率为：，

故答案为：

【点睛】

本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

12．

【分析】

根据圆周角定理计算即可；

【详解】

∵，

∴；

故答案是．

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，准确分析计算是解题的关键．

13．y=（x+1）2﹣2

【分析】

根据二次函数左加右减，上加下减的平移规律进行解答．

【详解】

由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=x2-2向左平移1个单位，

则平移后的抛物线的表达式为y=（x+1）2-2，

故答案为y=（x+1）2-2．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键.

14．30

【分析】

根据正弦求出BC，进而由勾股定理可得AC，进而根据三角形面积公式即可求解．

【详解】

解：在Rt△ABC中，

∵，

∴，

∴BC＝12，

由勾股定理可得：

∴S△ABC＝

故答案为30．

【点睛】

本题考查锐角三角函数，勾股定理，三角形面积公式，解题的关键是根据锐角正弦和勾股定理求得BC＝12．

15．

【分析】

连接AC，把△ACB沿BC折叠，得到△BCF，根据△FEC∽A△FAB，列比例式可求FC，再用勾股定理求BC．

【详解】

解：连接AC，把△ACB沿BC折叠，得到△BCF，BF交圆于点E，连接CE，可知，AC=CF，AB=BF=8，BD=BE，AD=EF，

∵是半圆的直径，

∴∠ACB=90°，即A、C、F在同一条直线上，

∵，

∴BD=BE=2，EF=AD=6，

∵∠A+∠BEC=180°，

∠FEC+∠BEC=180°，

∴∠A=∠FEC，

∠F=∠F，

∴△FEC∽A△FAB，

∴，

∴，

FC=，

AC=，

BC=,

故答案为：．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，解题关键是通过翻折作辅助线，构造相似三角形．

16．3

【分析】

过点D作，得到四边形EDHF是平行四边形，再根据已知条件求出FH、CH即可得解；以B为分界点进行做图，根据条件求出和即可得解；

【详解】

D、P重合，

过点D作，

∵FH∥ED，EF∥DH，

∴四边形EDHF是平行四边形，

∴ED=FH，

∵且AD=10，

∴，

∵，

∴，

∴；

以B为分界点，

在之间，，

在之间，，

∴即为所求；

延长CB、交于H，过C作，

∵CB∥AQ，

∴，

∵，

∴，

在Rt△CDQ中，，，，

∴，，

由可得：，

∴，

∵，

∴，

∵BH∥AE，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

；

综上所述，M点数为运动路线长为．

故答案是：3；．

【点睛】

本题主要考查了四边形的动点问题，结合菱形的性质和相似三角形的判定与性质计算是解题的关键．

17．（1）；（2）．

【分析】

（1）根据特殊角的三角函数值计算即可；

（2）对所求式子进行化简计算即可；

【详解】

（1）原式，

．

（2）原式，

，

．

【点睛】

本题主要考查了三角函数值的计算和代数式求解，准确计算是解题的关键．

18．（1）见解析；

（2）线段AC在变换到AC′的过程中扫过区域的面积为．

【分析】

(1)根据旋转的全等性，确定对应点即可；

(2)根据勾股定理，确定AC=5，根据题意，知线段AC旋转形成一个90°圆心角的扇形，根据扇形的面积公式计算即可.

【详解】

（1）∵在直角三角形ABC，AB=3，BC=4，

∴AC==5，

，

∵根据旋转的意义，画图如下：

（2）在中，，

由勾股定理得． 

．

【点睛】

本题考查了作图和扇形面积计算，勾股定理的应用，熟练掌握旋转的意义，会判断线段AC运动形成的图形是解题的关键.

19．（1）该地“有害垃圾”投放正确的概率是0.6；（2）该地一个月5600吨生活垃圾中有害垃圾投放错误的大约有2240吨．

【分析】

（1）有害垃圾100吨，投放到 “有害垃圾”箱60吨，故可求“有害垃圾”被正确投放在“有害垃圾箱”的概率；

（2）利用5600乘以投放错误的有害垃圾的概率即可

【详解】

（1），

答：该地“有害垃圾”投放正确的概率是0.6 

（2）（吨）．

答：该地一个月5600吨生活垃圾中有害垃圾投放错误的大约有2240吨．

【点睛】

本题考查了概率公式的求解和对立事件，属基础题，正确的理解题意是解题的关键．

20．（1）把手离地面的最大高度是；（2）把手离地面的最大高度和最低高度相差．

【分析】

（1）过点作于点，构造出直角三角形，然后求出AD的长度，再加上半径即可；

（2）用AB的最大长度与最小长度作差，然后利用直角三角形求解即可．

【详解】

（1）过点作于点，

在中，，

．

答：把手离地面的最大高度是． 

（2）．

答：把手离地面的最大高度和最低高度相差．

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用，构造出直角三角形是解题的关键．

21．（1）；（2）时，透光面积最大，最大透光面积是．

【分析】

（1）先表示出下部分矩形的长，然后根据矩形面积列式求解；

（2）根据二次函数的性质求最值

【详解】

解：（1）下部分矩形的长．

由，得．

（2）

． 

在范围内．

∴当时取到最大值， 

最大值为．

答：时，透光面积最大，最大透光面积是

【点睛】

本题考查的是二次函数的实际应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．

22．（1）见解析；（2）添加：，求的度数？（答案不唯一）．

【分析】

（1）连结，利用圆周角性质及切线的性质定理可得∠ACO＝∠DBC，继而由等边对等角和等角代换即可求证结论；

（2）添加：，求的度数，根据三角形内角和定理即可求解．

【详解】

（1）证明：连结，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO＋∠OCB＝90°，

与相切．

∴∠OCD＝90°，

∴∠DCB＋∠OCB＝90°，

． 

，

， 

．

（2）添加：，求的度数？

由（1）知：∠ACB＝90°，

在△ABC中，

∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－30°－90°＝60°．

【点睛】

本题考查切线性质、圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的切线垂直经过切点的半径及直径所对的圆周角是直角．

23．（1）C；（2）见解析；（3）或3．

【分析】

（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；

（2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论；

（3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论；

【详解】

（1）∵与互为母子三角形，

∴或2

故选：C 

（2）是的角平分线，

，

，

． 

又，

与互为母子三角形．       

（3）如图，当分别在线段上时，

与互为母子三角形，

，

，

是中线，

，

又，

．

，

，

． 

如图，当分别在射线上时，

与互为母子三角形，

，

，

是中线，

，

又，

．

，

，

．

综上所述，或3 

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．

24．（1）；（2）当或或时，△ABD是等腰三角形；（3）当时，取到最大值时的长为．

【分析】

(1)利用正弦函数的定义求解即可；

(2)分AB=AD，AB=BD，AD=BD三种情形，求AC的长即可；

(3)用圆的半径表示乘积，构造二次函数求解即可.

【详解】

（1），

 .

（2），

，

①当时，如图1，

，

，

． 

②当时，如图2．

过作，

∵AD=BD，∠BAO=90°，

∴BF=AF，DF∥OA，

为的中点，

，

，

． 

③当时，如图3．

过作，

设，则，

由勾股定理得 ，

解得或．

（舍去）或，

．

综上所述，或或． 

（3）分别过点作的垂线段，垂足为，如图4．

，

，

，

，

，

，

即，

，．

设半径为，

，

．

又，在范围内，

∴当时，取得最大值，此时，．

取到最大值时的长为． 

【点睛】

本题考查了等腰三角形，勾股定理，三角形中位线定理，二次函数，灵活进行等腰三角形的分类，构造辅助线构造二次函数是解题的关键.