2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆、圆与圆的位置关系必刷题(附答案解析)

系综合考点必刷题

一、单选题

1．（2022·全国高二课时练习）若点(4,2)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（）

A ．2100x y +-=

B ．280

x y --=C ．280

x y +-=D ．260x y --=2．（2022·全国高二课时练习）已知圆221:84110C x y x y +--+=和圆222:230C x y y ++-=，则两圆

的公切线有（

）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条

3．（2022·全国高二课时练习）已知圆22:()4(0)M x a y a -+=>与圆221:()1x y N +-=外切，则直线

0x y --=被圆M 截得的线段的长度为（）

A ．1

B

C ．2

D ．

4．（2022·全国高二课时练习）若直线:20l kx y --=与曲线1C x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（

）A ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦

D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国高二专题练习）不经过坐标原点的直线:0l x y m ++=被曲线22:2220C x y x y +---=

截得的弦的长度等于l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（

）

A ．22440

x y x y +--=B ．22440x y x y +++=C ．22330x y x y +++=D ．22220x y x y +--=6．（2021·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=

所得线段的长度为M 与圆22:61240N x y x y +---=的位置关系是（

）

A ．内切

B ．外切

C ．相交

D ．相离7．（2021·浙江高二期末）已知直线:0l kx y k -+=被圆224x y +=截得的弦长为(),m n 是

直线l 上的任意一点，则22m n +的最小值为（）

B ．2

C ．3

D ．48．（2021·云南弥勒市一中高二月考（理））已知圆()22:116C x y ++=，过点()0,1P 的直线l 交C 于A ，

B 两点，当圆上的点到直线l 的距离最大为6时，直线l 的方程为（）A ．1

x =B ．1y =或0x =C ．1y =D ．1x =或0

y =9．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）

A ．2921,44⎡⎤-⎢⎣⎦

B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭

D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭10．（2021·山东聊城·）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，

则实数a 的取值范围为（

）A ．()

0,2B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞U D ．()()()

0,10,24,⋃⋃+∞二、多选题

11．（2021·全国高二单元测试）已知圆22:40C x y x +-=上存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交，则实数m 的值可以是（

）A ．1

4B ．2

C ．4

D ．812．（2022·全国高二专题练习）已知圆22:68210C x y x y +--+=，O 为坐标原点，以OC 为直径的圆C '与圆C 交于AB 两点，则（）

A ．圆C '的方程为22340

x y x y +--=B ．直线AB 的方程为34210

x y --=C ．,OA OB 均与圆C 相切

D ．四边形CAOB 的面积为

13．（2021·湖南长沙·高二期末）已知直线l ：20ax y +-=与C ：()()2214x y a -+-=相交于A ､B 两点，若ABC 为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是（）

B ．1

C ．2

D ．3

14．（2021·全国高二单元测试）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则

（）

A ．||PQ 的最小值为0

B ．||PQ 的最大值为7

C ．两个圆心所在的直线斜率为4

3

-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250

x y --=15．（2022·全国高二专题练习）过直线()40x y x +=<<4上一点P 作圆O ：224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x ，y 轴分别交于点M ，N ，则（）A ．点O 恒在以线段AB 为直径的圆上

B ．四边形PAOB 面积的最小值为4

C ．AB

的最小值为D ．OM ON +的最小值为4

16．（2022·全国高二专题练习）已知圆221:1C x y +=，圆()()()2222:340C x y r r -++=>，则（）

A ．若圆1C 与圆2C 无公共点，则04

r <x y --=C ．当2r =时，P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，则PQ 的取值范围为[]28,D ．当04r <<时，过直线268260x y r -+-=上任意一点分别作圆1C 、圆2C 切线，则切线长相等

三、填空题

17．（2022·全国高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆

222 (6)(69:)C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的标准方程是___________.

18．（2022·全国高二专题练习）已知直线230x y +-=与圆C ：()()22239x y -+-=相交于A ，B 两点，则ABC 面积为___________.

19．（2022·全国高二课时练习）当直线l ：()()121740m x m y m +++--=（R m ∈）被圆C ：()()222125x y -+-=截得的弦最短时，实数m 的值为______．

20．（2021·安徽滁州·高二期中（文））已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点(0,4)P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为______.21．（2021·上海青浦·高二期末）已知点P （0，2），圆O ∶x 2+y 2=16上两点11(,)M x y ，22(,)N x y 满足(R)MP PN λλ→→

=∈，则1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为___________.四、解答题

22．（2022·全国高二专题练习）已知圆C 1：x 2＋y 2＋6x －4＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6y －28＝0.（1）求两圆公共弦所在直线的方程；

（2）求经过两圆交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程.

23．（2022·全国高二课时练习）已知圆C 的方程为224x y +=．（1）求过点()2,1P 且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线m 过点()2,1P ，且与圆C 交于

A ，

B 两点，若AB =m 的方程．24．（2022·全国高二课时练习）已知圆

C 过点(0,2)M -，(3,1)N ，且圆心C 在直线210x y ++=上．（1）求圆C 的标准方程．

（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于不同的两点A ，B ，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

25．（2021·全国高二单元测试）已知圆22:2430C x y x y ++-+=.

（1）若圆

C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆

C 外一点()11,P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，若||||PM PO =，求||PM 的最小值及使得||PM 取得最小值的点P 的坐标.26．（2021·全国高二单元测试）已知点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 之间的距离的比为5:1，

记点M 的轨迹为曲线

C .（1）求点M 的轨迹

C 的方程，并说明轨迹 C 是什么图形；（2）过点(2,3)Q -的直线l 被轨迹

C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程.

27．（2021·湖南岳阳·高二期末）已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为1

2，动点M 的轨迹为曲线C .

（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；

（2）过直线3x =上的动点()3,P p 分别作C 的两条切线PQ ，PR （Q 、R 为切点），()1,0B -，PB 交QR 于点N ，

（ⅰ）证明：直线QR 过定点，并求该定点坐标；

（ⅱ）是否存在点P ，使ABN 的面积最大？若存在，求出点P 坐标：若不存在，请说明理由.

B，且圆心M在直线y x=上.

(10,4)

（1）求圆M的标准方程；

-的直线m截圆M所得弦长为m的方程；

（2）过点(0,4)

（3）过直线l:x+y+4=0上任意一点P向圆M作两条切线，切点分别为C，D.记线段CD的中点为Q，求点Q到直线l的距离的取值范围.

29．（2022·全国高二专题练习）已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为1

2，动点M 的轨迹为曲线C .

（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；

（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S 的取值范围.

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆、圆与圆的

位置关系综合考点必刷题参

1．C

【详解】

2260x y x +-= 的圆心坐标为(3,0) ，

∴所求直线的斜率1120243

k =-=---，

∴直线方程为1 2(4)2

y x -=--，即280x y +-=，故选:C

2．C

【详解】

圆1C 的标准方程为22(4)(2)9x y -+-=，则圆心为1(4,2)C ，半径13r =；

圆2 C 的标准方程为22(1)4x y ++=，则圆心为2(0,1)C -，半径22r =.

因为两圆的圆心距125C C =，

所以1212C C r r =+，即圆1C 和圆2C 外切，可知两圆有3条公切线.

故选：C.

3．D

【详解】

圆22:()4(0)M x a y a -+=>的圆心为(),0M a ，半径为2,，圆221:()1x y N +-=的圆心为()0,1，半径为1，

21=+，0a >

，解得a =

圆心()M

到直线0x y -=

的距离1d ==，∴

直线0x y -被圆M

截得的线段的长度为 =.

故选：D.

4．A

【详解】

直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-

，曲线1C x =-表示以点 (1,1)为圆心，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)．

当直线 l 经过点(1,0)时， l 与曲线C 有两个不同的交点，此时2k =，直线记为1l ；当 l

1=，得43k =，切线记为2l ．

分析可知当

423

k <≤时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选：A ．

5．A

【详解】曲线C 的方程可整理为：()()22

114x y -+-=，则曲线C 为圆心为()1,1，半径为2的圆；

∴圆心到直线l 的距离

d =∴==解得：0m =或4m =-，又l 不经过坐标原点，4m ∴=-，即:40l x y +-=，l ∴与坐标轴的交点坐标为()4,0A ，()0,4B ，

∴直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为AB 中点()2,2M ，半径r =∴所求外接圆方程为()()22

228x y -+-=，即22440x y x y +--=.故选：A.

6．A

【详解】

圆M 的圆心为()0,M a ，半径为1,0r a a =>，

圆心()0,M a 到直线0x y +=

，

所以2222

2a a ⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭，所以()10,2,2M r =.

圆N 的圆心为()3,6N ，半径27r =，

215MN r r ==-，

所以两个圆的位置关系是内切.

故选：A

7．A

【详解】

圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，

圆心到直线的距离1d =，所以22m n +的最小值为21d =.

故选：A

8．C

【详解】

由点()0,1P 可得()2

201116++<，所以点()0,1P 在圆的内部，设圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的距离的最大值为4d +，

所以46d +=，可得2d =．

当直线l 的斜率存在时，直线方程1y kx =+，即10kx y -+=，

所以2d ==，解得0k =，所以直线方程为1y =；

当直线的斜率不存在时，直线l 为0x =，不满足题意，

故选：C ．

9．A

【详解】

解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,

所以圆心坐标为(),2a -,半径为4

r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=

≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A

10．C

【详解】

圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =

圆心距12|1|

d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含

则12d r r >+或12d r

r <-1|a ->1|a -<解得02a <<或4

a >故选：C

11．BC

【详解】

方程2240x y x +-=可化为22(2)4x y -+=，

所以04m ≤≤，224m n m +=，

因为直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交，

所以圆心 O 到直线l 的距离小于圆 O 的半径，即

1r =

所以1

1>，解得14

m >.综上，

1

44

m <≤，故选：BC 12．AC 【详解】

解：由圆22:68210C x y x y +--+=，得()()2

2

344x y -+-=，

则圆心()3,4C ，线段OC 的中点坐标为3,22⎛⎫

⎪⎝⎭

，

则以OC 为直径的圆的方程为2

2325(2)24x y ⎛

⎫-+-= ⎪⎝

⎭，

整理得：22340x y x y +--=，

即圆C '的方程为22340x y x y +--=，故A 正确；

联立2222

340

68210x y x y x y x y ⎧+--=⎨+--+=⎩

，两式作差可得：34210x y +-=，即直线AB 的方程为34210x y +-=，故B 错误；∵,A B 在以OC 为直径的圆上，∴,CA OA CB OB ⊥⊥，

由圆心与切点的连线与切线垂直，可得,OA OB 均与圆C 相切，故C 正确；

∵CA OA ⊥，且5,2OC CA ==，∴OA =

∴四边形CAOB 的面积为1

222

S =⨯⨯=D 错误．故选：AC ．13．ACD 【详解】

圆C 的圆心为()1,a ，半径为2r =，

由于ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则045CAB ︒<∠<︒，

设圆心C 到直线l 的距离为d ，则d =

则0sin d CAB r <∠=

整理可得2410

1

a a a ⎧-+<⎨≠⎩，

解得22a <<，且1a ≠.

所以()(21,2a ∈-⋃+.故选A CD .14．BC 【详解】

解：根据题意，圆22

1:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，

圆22

2:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，

圆心距12||5C C =，

则||PO 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心1(0,0)C ，圆心2(3,4)C -，则两个圆心所在的直线斜率404

303

k --=

=--，C 正确，对于D ，两圆圆心距125C C =，有122C C R r >+=，两圆外离，不存在公共弦，D 错误．故选：BC ．15．BCD 【详解】

对于A ，在四边形PAOB 中，AOB ∠不一定是直角，故A 错误；

对于B ，连接PO ，由题易知Rt Rt PAO PBO ≌，所以四边形PAOB 的面积

1222

S PA OA PA =⨯

⋅==PO 的最小值为点O 到直线4x y +=的距离，即

PAOB 面积的最小值为4=，B 正确；

设(),P a b ，则以线段OP 为直径的圆的方程是()()0x x a y y b -+-=，与圆O 的方程

224x y +=相减，得4ax by +=，即直线AB 的方程为4ax by +=，又点P 在直线4x y +=上，

所以4a b +=，则4b a =-，代入直线AB 的方程，得()440a x y y -+-=，即

()440a x y y -+-=，令x y =，则440y -=，得1x =，1y =，所以直线AB 过定点()1,1C ，

所以OC =，数形结合可知AB 的最小值为=C 正确；

在4a by +=中，分别令0y =，0x =得到点4,0M a ⎛⎫

⎪⎝⎭

，40,N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以44OM ON a b +=+，

因为点(),P a b 在直线()40x y x +=<<4上，所以4a b +=且04a <<，04b <<，则

()4411224b a a b a b a b a b ⎛⎫

+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，所以OM ON +的最小值为4，D 正确．

故选：BCD.16．BCD

【详解】

由题意，圆22

1:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =；圆()()()

2

2

22:340C x y r r -++=>的圆心为()23,4C -，半径为r ；

则圆心距为125C C =

=；

A 选项，若圆1C 与圆2C 无公共点，则只需121C C r <-或121C C r >+，解得6r >或04r <<，故A 错；

B 选项，若=5r ，则圆()()2

2

2:3425C x y -++=，由221x y +=与()()2

2

3425x y -++=两式

作差，可得两圆公共弦所在直线方程为6810x y --=，故B 正确；

C 选项，若2r =，则()()2

2

2:344C x y -++=，此时125213C C =>+=，所以圆1C 与圆2C 相

离；又P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，所以()12121212C C PQ C C -+≤≤++，即28PQ ≤≤，故C 选项正确；

D 选项，当04r <<时，由A 选项可知，两圆外离；

记直线268260x y r -+-=上任意一点为()00,M x y ，则2

0068260x y r -+-=，

所以1MC =，

2MC ==

=，

因此切线长分别为1d ==，2d =

=，

即12d d =，故D 正确；故选：BCD.17．2281x y +=【详解】

设圆C 的方程为222()x a y r -+=，

则圆C 与圆1C 的公共弦方程为22(28)16790()a x y r a --++-=*，

因为圆C 平分圆1C 的圆周，所以直线()*经过圆1C 的圆心，即228810a a r --+=①，同理由圆C 平分圆2C 的圆周，得2212810a a r --+=②，由①②得0a =，281r =，故圆C 的标准方程为2281x y +=.故答案为：2281x y +=18．

【详解】

圆C 的圆心为()2,3，半径3r =，

圆心到直线230x y +-=的距离为d ==

所以4AB ===，

所以11

422

ABC S AB d =

⨯⨯=⨯=

故答案为：19．34

-

【详解】

直线l ：()()121740m x m y m +++--=，即()()2740m x y x y +-++-=，圆C ：()()2

2

2125x y -+-=的圆心()2,1C ，半径为5．

由270,

40,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=⎩

故直线l 经过定点()1,3A ．

要使直线l 被圆C 截得的弦长最短，需CA 和直线l 垂直，故1CA l k k ⋅=-，即31111221m m -+⎛⎫⋅-=- ⎪-+⎝⎭，解得3

4

m =-．故答案为：34

-．

20．40【详解】

圆M 的标准方程为22(3)(4)25x y -+-=，

即圆是以(3,4)M 为圆心，5为半径的圆，且由22(03)(44)925-+-=<，知点(0,4)P 在圆内，则最短的弦是以(0,4)P 为中点的弦，所以2

||2592AC ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

，

所以8AC =，过(0,4)P 最长的弦BD 为直径，所以10BD =，且AC BD ⊥，

故1

402

ABCD S AC BD =⋅⋅=.

故答案为：40.

21．48【详解】

由题意，,,M P N 三点共线，设T 为MN 的中点，,,M T N 在直线:34250l x y ++=的射影分别为111,,M T N ，点O 到直线:34250l x y ++=的距离|304025|

545

d ⨯+⨯+=

=>，

∴:34250l x y ++=与圆22:16O x y +=相离，如图：

而11221122|3425||3425||3425||3425|555x y x y x y x y ++++⎛⎫

+++++=+ ⎪

⎝⎭

()1115||||10||MM MM TT =+=，

易得OT MN ⊥，即OT PT ⊥，∴T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C .∵11|304125|24

||||1155

TT CT ⨯+⨯+≥-=

-=，当1,,C T T 共线，且T 在1,C T 之间时取“=”.

∴1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为24

10485

⨯=.故答案为：48.

22．（1）x －y ＋4＝0；（2）x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.【详解】

解：（1）设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则A ，B 两点坐标是方程组2222

0 6280

x y x x y y ⎧++-=⎨++-=⎩的解，两式相减得x －y ＋4＝0， A ，B 两点坐标都满足此方程，

∴x －y ＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；

(2)解方程组2222

0

6280x y x x y y ⎧++-=⎨++-=⎩

得两圆的交点A (－1，3)，B (－6，－2)，设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，所以b ＝a －4，

a ＝1

2，

所以圆心为17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所以圆的方程为2

12x ⎛

⎫- ⎪⎝⎭＋2

72y ⎛⎫+

⎪⎝

⎭

＝2，即x 2＋y 2

－x ＋7y －32＝0.23．（1）2x =或34100x y +-=；（2）4350x y --=或1y =．【详解】

解：（1）根据题意，点P 在圆外，分两种情况讨论：

当直线l 的斜率不存在时，过点()2,1P 的直线方程是2x =，与圆C ：224x y +=相切，满足题意；

当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，直线与圆相切时，圆心()0,0

2=，解得3

4k =-．

此时，直线l 的方程为34100x y +-=．

所以满足条件的直线l 的方程是2x =或34100x y +-=；

（2

）根据题意，若AB =m

的距离1d ==，

结合（1）知直线m 的斜率一定存在．

设直线m 的方程为()12y n x -=-，即210nx y n --+=

，则1d =

，解得0n =或

4

3

n =

．所以满足条件的直线方程是4350x y --=或1y =．

24．（1）22(3)(2)9x y -++=；（2）不存在；理由见解析．【详解】

（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，

则有1024201030

D

E E

F D E F ⎧--+=⎪⎪-+=⎨⎪+++=⎪

⎩

，解得4D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，

所以圆C 的方程为2240x y x y +-++=，化为标准方程，22(3)(2)9x y -++=．（2）设存在符合条件的实数a ，

由于直线 l 垂直平分弦AB ，故圆心(3,2)C -必在直线 l 上，所以直线 l 的斜率2PC k =-，又1AB PC k a k ==-

，所以12

a =．把直线10ax y -+=，代入圆C 的方程，消去y ，

整理得()

()22

16190a x a x ++-+=．

由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，

故()()

2

2

Δ3613610a a =--+>，

解得0a <，与1

2

a =

矛盾，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线 l 垂直平分弦AB ．

25．（1

）(2y x =+

或(2y x =或10x y ++=或 30x y +-=；（2

）min PM =点P 的坐标为33 ,105⎛⎫

- ⎪⎝⎭

.

【详解】

（1）将圆C 的方程化为标准方程，为22(1)(2)2x y ++-=，其圆心(1,2)C -

，半径r =①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为y kx =，

=，

即2420k k --=

，解得2k =±.

∴

切线方程为(2y x =

或(2y x =-.

②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线的方程为 0x y a +-=，

=即|1|2a -=，解得3a =或 1-.

∴切线方程为10x y ++=或 30x y +-=.

综上所述，所求切线方程为(2y x =

或(2y x =-或10x y ++=或 30x y +-=.（2）∵|PO |＝|PM |，

∴22

11x y +＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．

当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，

解得方程组202430x y x y +=⎧⎨-+=⎩得310

35x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=

⎪⎩

，

∴P 点坐标为33,105⎛⎫

- ⎪⎝⎭

．

26．（1）点M 的轨迹C 的方程是22(1)(1)25x y -+-=，轨迹C 是以(1,1)为圆心，5为半径的圆；（2）2x =-或512460x y -+=.【详解】

（1）由题意，得12

5MM MM =5=，化简得2222230x y x y +---=，即22(1)(1)25x y -+-=.

∴点M 的轨迹C 的方程是22(1)(1)25x y -+-=，

轨迹C 是以(1,1)为圆心，5为半径的圆.

（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，

此时所截得的线段的长为8=，符合题意.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，圆心(1,1)到直线l 的距离

d 由题意，得2

22

45⎛⎫+=，解得5

12k =，∴直线l 的方程为

523

0126

x y -+=，即

512460x y -+=.综上，直线l 的方程为2x =-或512460x y -+=.

27．（1）以()1,0-为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点()0,0O ；（ⅱ）存在，()3,4P ±.【详解】

（1）设(),M x y ，由

1

2

MO MA =12

=

.化简得22230x y x ++-=，即()2

214x y ++=.

故曲线C 是以()10-，

为圆心，半径为2的圆.（2）（ⅰ）证明：

由题意知，PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则BQ PQ ⊥，BR PR ⊥，

则B 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以BP 为直径的圆上（如图）.

设()1,0B -，又()()3,0P p p ≠，则BP 的中点为1,2p ⎛⎫

⎪⎝⎭

，216BP p =+以线段BP 为直径的圆的方程为()2

2

2216122p p x y +⎛

⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭

，整理得22230x y x py +---=，①

（也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得.）又Q 、R 在22:230C x y x ++-=上，

②

由两圆方程作差即②-①得：40x py +=.所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=.则QR 恒过坐标原点()0,0O .（ⅱ）1

22

ABN N N S AB y y =

⋅=△，因为PB QR ⊥，所以点N 在以BO 为直径的圆周上，故max

12N

y =

，即()max 1ABN S =△，此时11,22N ⎛⎫-± ⎪⎝⎭

，又由点P ，N ，B 三点共线，所以BP PN k k =，14

p

=±，所以4p =±，即()3,4P ±.

28．（1）22(4)(4)36x y -+-=；（2）34160x y --=，或0x =；（3）32,62⎡⎣.【详解】

（1） 圆心M 在直线y x =上，∴设圆M 的标准方程为：222()()x a y a r -+-=，

圆M 过点A ，(10,4)B ，

222

222

)()(10)(4)a a r a a r ⎧-+=⎪∴⎨-+-=⎪⎩

，解得46a r =⎧⎨=⎩∴圆M 的标准方程为22(4)(4)36x y -+-=.

（2）①当斜率不存在时，直线m 的方程为：0x =，直线m 截圆M 所得弦长为

l ==

，符合题意；

②当斜率存在时，设直线m ：4y kx =-，

圆心M 到直线m 的距离为d =

=

∴根据垂径定理可得，222(2r d =+，∴216=，解得34k =．

∴直线m 的方程为34160x y --=，或0x =.

（3）设(,4)P m m --，则切点弦CD 所在的直线方程为(4)(4)(8)(4)36m x m y --+---=，

直线MP 的方程为(8)(4)(4)(4)0m x m y ------=，联立可得2222

36(4)36(8)

(4,4(4)(8)(4)(8)m m Q m m m m -++

--++-++，

根据点到直线距离公式可得，2

18

440d m m ⎡=-

∈⎣

++．29．（1）()2

214x y ++=，曲线C 是以()1,0-为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，.

【详解】

解：（1）设(),M x y ，由

12MO MA =1

2

=.化简得22230x y x ++-=，即()2

214x y ++=.

故曲线C 是以()1,0-为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：

由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).

设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫

⎪⎝⎭，216DP p +以线段DP 为直径的圆的方程为()2

2

2216122p p x y +⎛

⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭

，整理得22230x y x py +---=①

(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得.)又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=②上，由两圆方程作差即②-①得：40x py +=.所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=.法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)：设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .

由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=

(如图)，

即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=

.

整理得()22

1111110x x y y x y x ++---=.

又22

111230x y x ++-=，

整理得()111130x x y y x +++-=.

同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=.又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，

所以()()1112

223130

3130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨

+=⎩.

显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程.而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=.则QR 恒过坐标原点()0,0O .

由()22

40,14

x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()

22168480p y py +--=.设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122

816p

y y p +=+.

点N 纵坐标122

4216N y y p

y p +=

=+.因为0p ≠，显然0N y ≠，

所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.

(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，

因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.)因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -

为圆心，

由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).

所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，半径12r =.

因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，

所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，52EF =.

又圆心1,02G ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

到直线3460x y +-=

的距离32d ==.设NEF 的边EF 上的高为h ，则

点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31

122

d r -=-=；点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31

222

d r +=

+=(如图).

第25页共25页则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤

⎢⎣⎦，.