《高等数学复习》教程
第一讲 函数、连续与极限
一、理论要求
| 1.函数概念与性质 | 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） |
| 2.极限 | 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 |
| 3.连续 | 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） |
| A.极限的求法 | （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） |
| 1.（等价小量与洛必达） 2.已知 解： （洛必达） 3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数， 解：令 （变量替换） 5. 解：令 （变量替换） 6.设连续，，求 （洛必达与微积分性质） 7.已知在x=0连续，求a 解：令 （连续性的概念） |
1. （洛必达）
2. （洛必达或Taylor）
3. （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求
| 1.导数与微分 | 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 |
| 2.微分中值定理 | 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 |
| 3.应用 | 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） |
| A.导数微分的计算 | 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 |
| 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 | |
| B.曲线切法线问题 | 4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。 解： 5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0 |
| C.导数应用问题 | 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 8.求函数的单调性与极值、渐进线。 解：， |
| D.幂级数展开问题 | 9. 或： 10.求 解： = |
| E.不等式的证明 | 11.设， 证：1）令
2）令 |
| F.中值定理问题 | 12.设函数具有三阶连续导数，且， ，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中 将x=1，x=-1代入有 两式相减： 13.，求证： 证： 令 令 （关键：构造函数） |
1.
2.曲线
3.
4.证明x>0时
证：令
第三讲 不定积分与定积分
一、理论要求
| 1.不定积分 | 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） |
| 2.定积分 | 理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题（长、面、体） 会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值 |
| A.积分计算 | 1. 2. 3.设，求 解： 4. |
| B.积分性质 | 5.连续，,且，求并讨论在的连续性。 解：
6.
|
| C.积分的应用 | 7.设在[0，1]连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。 解：
8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。 解：切线绕x轴旋转的表面积为 曲线绕x轴旋转的表面积为 总表面积为 |
1.
2.
3.
第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求
| 1.向量代数 | 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 |
| 2.多元函数微分 | 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 |
| 3.多元微分应用 | 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 |
| 4.空间解析几何 | 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 |
| A.求偏导、全微分 | 1.有二阶连续偏导，满足，求 解： 2. 3.，求 |
| B.空间几何问题 | 4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。 解： 5.曲面在点处的法线方程。 |
| C.极值问题 | 6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。 |
1.
2.
3.
第五讲 多元函数的积分
一、理论要求
| 1.重积分 | 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球） 会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量） |
| 2.曲线积分 | 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法 熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件 |
| 3.曲面积分 | 理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分 |
| A.重积分计算 | 1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。 解： 2.为与围域。（ 3.， 求 (49/20) |
| B.曲线、曲面积分 | 4.
解：令
5.,。 解：取包含(0,0)的正向，
6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S， ，且在x>0有连续一阶导数，,求。 解：
|
一、理论要求
| 1.一阶方程 | 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 |
| 2.高阶方程 | 会求 |
| 3.二阶线性常系数 | (齐次) (非齐次) (非齐次) |
| A.微分方程求解 | 1.求通解。（ 2.利用代换化简并求通解。（） 3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。 解： |
1.已知函数在任意点处的增量。(）
2.求的通解。（）
3.求的通解。（）
4.求的特解。（
第七讲 无穷级数
一、理论要求
| 1.收敛性判别 | 级数敛散性质与必要条件 常数项级数、几何级数、p级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法 |
| 2.幂级数 | 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法 幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分） Taylor与Maclaulin展开 |
| 3.Fourier级数 | 了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理 会求的Fourier级数与正余弦级数 |
一、理论要求
| 1.行列式 | 会用按行（列）展开计算行列式 |
| 2.矩阵 | 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆 理解并会计算矩阵的特征值与特征向量 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 |
| 3.向量 | 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示 掌握线性相关、线性无关的判别 理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质 |
| 4.线性方程组 | 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法 |
| 5.二次型 | 二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理 掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法 |
一、理论要求
| 1.随机事件与概率 | 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率 掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式 |
| 2.随机变量与分布 | 理解随机变量与分布的概念 理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度 掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数 |
| 3.二维随机变量 | 理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的性及不相关概念 掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布 |
| 4.数字特征 | 理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望 |
| 5.大数定理 | 了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理 |
| 6.数理统计概念 | 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布 |
| 7.参数估计 | 掌握矩估计与极大似然估计法 了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 |
| 8.假设检验 | 掌握假设检验的基本步骤 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 |
| 1.极限求解 | 变量替换（作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换） 1. (几何级数) 2. (对数替换) 3. 4. 5. 6.，求 |
| 2.导数与微分 | 复合函数、隐函数、参数方程求导 1. 2.，求dy/dx 3.决定函数，求dy 4.已知，验证 5.,求 |
| 3.一元函数积分 | 1.求函数在区间上的最小值。（0） 2. 3. 4. 5. 6. |
| 4.多元函数微分 | 1.，求 2.由给出，求证： 3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。 4.，求 6.证明满足 7.求内的最值。 |
| 5.多元函数积分 | 1.求证： 2. 3. 4.改变积分次序 5.围域。 |
| 6.常微分方程 | 1.求通解。 2.求通解。 3.求通解。 4.求通解。 5.求特解。 6.求特解。 |
填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、
变上限定积分
选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限
计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用
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