2020-2021深圳市红岭中学初三数学下期末试卷(带答案)

一、选择题

1．已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =a x 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A．B．C．D．

2．地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为（）A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106

3．二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）

A．27B．9C．﹣7D．﹣16

4．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )

A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜0

5．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）

A．12 B．24 C．3D．3

6．直线y=﹣kx+k﹣3与直线y=kx在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．

B ．

C ．

D ．

7．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

8．如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm ）是：180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186cm 的队员换下场上身高为192cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）

A ．平均数变小，方差变小

B ．平均数变小，方差变大

C ．平均数变大，方差变小

D ．平均数变大，方差变大

10．矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）

A ．1

B ．23

C ．22

D 5 11．13O 中，弦AB 与CD 交于点

E ，75DEB ∠=︒，

6,1AB AE ==，则CD 的长是（ ）

A ．26

B ．210

C ．211

D ．43

12．下列由阴影构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

二、填空题

13．如图，已知AB ∥CD ，F 为CD 上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF ，若6°＜∠BAE ＜15°，∠C 的度数为整数，则∠C 的度数为_____．

14．一列数123,,,a a a ……n a ，其中1231211111,,,,111n n a a a a a a a -=-=

==---，则1232014a a a a ++++=__________.

15．如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝8，则EF 的长为______．

16．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.

17．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在水平地面L 的影长BC 为5米，落在斜坡上的部分影长CD 为4米．测得斜CD 的坡度i ＝1：．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC ＝80°，则旗杆AB 的高度

_____．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2，

＝1.732）

19．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为_____．

20．如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x，△MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________．

三、解答题

21．某大学生利用业余时间参与了一家网店经营,销售一种成本为30元/件的文化衫,根据以往的销售经验,他整理出这种文化衫的售价y1(元/件),销量y2(件)与第x(1≤x<90)天的函数图象如图所示(销售利润=(售价-成本)×销量).

(1)求y1与y2的函数解析式.

(2)求每天的销售利润W与x的函数解析式.

(3)销售这种文化衫的第多少天,销售利润最大,最大利润是多少?

22．两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC 不动，将△DE F 进行如下操作：

（1）如图，△DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动），连接 DC、CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．（2）如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．

（3）如图，△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF，使DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连接 AE，请你求出sinα的值．

23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与Y轴交于点C，连接AC、BC、AB，

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D 是抛物线上一点，连接BD 、CD ，满足ABC 35DBC S S ∆=，求点D 的坐标； （3）点E 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点F 在线段BC 上（与B 、C 不重合），是否存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．

25．已知：如图，点E ，A ，C 在同一条直线上，AB ∥CD ，AB=CE ，AC=CD ．

求证：BC=ED ．

26．如图，一艘巡逻艇航行至海面B 处时，得知正北方向上距B 处20海里的C 处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A 处的救援艇前往C 处营救．已知C 处位于A 处的北偏东45°的方向上，港口A 位于B 的北偏西30°的方向上．求A 、C 之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据2≈1.41，3≈1.73)

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【解析】

【分析】

先根据抛物线y=ax 2-2x 过原点排除A ，再由反比例函数图象确定ab 的符号，再由a 、b 的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a 的位置关系，进而得解．

【详解】

∵当x=0时，y=ax 2-2x=0，即抛物线y=ax 2-2x 经过原点，故A 错误；

∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，

∴ab ＞0，即a 、b 同号，

当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；

当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；

C正确．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．

2．C

解析：C

【解析】

试题分析：384 000=3.84×105．故选C．

考点：科学记数法—表示较大的数．

3．D

解析：D

【解析】

【分析】

先确定抛物线的对称轴为直线x＝3，根据抛物线的对称性得到x＝−2和x＝8时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为（−2，0），（8，0），最后把

（−2，0）代入y＝x2−6x＋m可求得m的值．

【详解】

解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，

∴x＝−2和x＝8时，函数值相等，

∵当−2＜x＜−1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（−2，0），（8，0），把（−2，0）代入y＝x2−6x＋m得4＋12＋m＝0，解得m＝−16．

故选：D．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

4．D

解析：D

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：根据图象可知抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，对称轴是x=1＞0，所以a＜0，c＞0，b＞0，所以abc＜0，所以A错误；因为抛物线与x轴有两个交点，所以

24b ac -＞0，所以B 错误；又抛物线与x 轴的一个交点为（-1,0），对称轴是x=1，所以另一个交点为（3,0），所以930a b c ++=，所以C 错误；因为当x=-2时，

42y a b c =-+＜0，又12b x a

=-

=，所以b=-2a ，所以42y a b c =-+8a c =+＜0，所以D 正确，故选D. 考点：二次函数的图象及性质.

5．D

解析：D

【解析】

如图，连接BE ，

∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠EFB=60°，

∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°．

∵把矩形ABCD 沿EF 翻折点B 恰好落在AD 边的B′处， ∴∠BEF=∠DEF=60°．

∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．

在Rt △ABE 中，AB=AE•tan ∠AEB=2tan60°3．

∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．

∴矩形ABCD 的面积33D ．

考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．

6．B

解析：B

【解析】

【分析】

若y=kx 过第一、三象限，则k ＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，可对A 、D 进行判断；若y=kx 过第二、四象限，则k ＜0，-k ＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y 轴的交点在x 轴下方，则可对B 、C 进行判断．

【详解】

A 、y=kx 过第一、三象限，则k ＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以A 选项错误；

B 、y=kx 过第二、四象限，则k ＜0，-k ＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y 轴的交点在x 轴下方，所以B 选项正确；

C 、y=kx 过第二、四象限，则k ＜0，-k ＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与

y 轴的交点在x 轴下方，所以C 选项错误；

D 、y=kx 过第一、三象限，则k ＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以D 选项错误． 故选B ．

【点睛】

本题考查了一次函数的图象：一次函数y=kx+b （k≠0）的图象为一条直线，当k ＞0，图象过第一、三象限；当k ＜0，图象过第二、四象限；直线与y 轴的交点坐标为（0，b ）．

7．B

解析：B

【解析】

试题分析：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选B ． 考点：简单组合体的三视图．

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

【详解】

从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形．

故选A ．

9．A

解析：A

【解析】

分析：根据平均数的计算公式进行计算即可,根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差，再根据方差的意义即可得出答案.

详解：换人前6名队员身高的平均数为x =

1801841881901921946

+++++=188， 方差为

S 2=()()()()()()22222211801881841881881881901881921881941886⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣

⎦=683

； 换人后6名队员身高的平均数为x =

1801841881901861946

+++++=187， 方差为

S 2=()()()()()()22222211801871841871881871901871861871941876⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣

⎦=593

3

＞

59

3

，

∴平均数变小，方差变小，

故选：A.

点睛：本题考查了平均数与方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，

则方差S2=1

n

[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差

越大，波动性越大，反之也成立. 10．C

解析：C

【解析】

分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=1

2

PG，再利用

勾股定理求得PG=2，从而得出答案．

详解：如图，延长GH交AD于点P，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，

∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，

∴∠GFH=∠PAH，

又∵H是AF的中点，

∴AH=FH，

在△APH和△FGH中，

∵

PAH GFH AH FH

AHP FHG

∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

，

∴△APH≌△FGH（ASA），

∴AP=GF=1，GH=PH=1

2 PG，

∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，

则GH=

12PG=122

， 故选：C ． 点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．

11．C

解析：C

【解析】

【分析】

过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，由垂径定理得出1,32

DF CF AG BG AB ====，得出2EG AG AE =-=，由勾股定理得出

2OG ==，证出EOG ∆是等腰直角三角形，得出

45,OEG OE ∠=︒==30OEF ∠=︒，由直角三角形的性质得出

1

2

OF OE ==DF = 【详解】

解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，如图所示： 则1,32DF CF AG BG AB ===

=， ∴2EG AG AE =-=，

在Rt BOG ∆中，2OG ==，

∴EG OG =，

∴EOG ∆是等腰直角三角形，

∴45OEG ∠=︒，OE =

= ∵75DEB ∠=︒，

∴30OEF ∠=︒，

∴12

OF OE ==

在Rt ODF ∆中，DF ===

∴2CD DF ==

故选：C ．

考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键.

12．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，

B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项符合题意，

C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意，

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意．

故选B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．二、填空题

13．36°或37°【解析】分析：先过E作EG∥AB根据平行线的性质可得

∠AEF=∠BAE+∠DFE再设∠CEF=x则∠AEC=2x根据6°＜∠BAE＜15°即可得到6°＜3x-60°＜15°解得22°＜

解析：36°或37°．

【解析】

分析：先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设

∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x ＜25°，进而得到∠C的度数．

详解：如图，过E作EG∥AB，

∵AB∥CD，

∴GE ∥CD ，

∴∠BAE=∠AEG ，∠DFE=∠GEF ，

∴∠AEF=∠BAE+∠DFE ，

设∠CEF=x ，则∠AEC=2x ，

∴x+2x=∠BAE+60°，

∴∠BAE=3x-60°，

又∵6°＜∠BAE ＜15°，

∴6°＜3x-60°＜15°，

解得22°＜x ＜25°，

又∵∠DFE 是△CEF 的外角，∠C 的度数为整数，

∴∠C=60°-23°=37°或∠C=60°-24°=36°，

故答案为：36°或37°．

点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

14．【解析】【分析】分别求得a1a2a3…找出数字循环的规律进一步利用规律解决问题【详解】解：…由此可以看出三个数字一循环2014÷3=671…1则a1+a2+a3+…+a2014=671×（-1++2 解析：20112

【解析】

【分析】

分别求得a 1、a 2、a 3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．

【详解】 解：1234123

11111,,2,1,1211a a a a a a a =-======----… 由此可以看出三个数字一循环，

2014÷3=671…1，则a 1+a 2+a 3+…+a 2014=671×（-1+

12+2）+（-1）=20112． 故答案为20112

． 考点：规律性：数字的变化类.

15．5【解析】【分析】【详解】试题解析：∵∠AFB=90°D 为AB 的中点∴DF=AB =25∵DE 为△ABC 的中位线∴DE=BC=4∴EF=DE-

DF=15故答案为15【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：

解析：5

【解析】

【分析】

【详解】

∴DF=1

2

AB=2.5，

∵DE为△ABC的中位线，

∴DE=1

2

BC=4，

∴EF=DE-DF=1.5，

故答案为1.5．

【点睛】

直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

16．2000【解析】【分析】设这种商品的进价是x元根据提价之后打八折售价为2240元列方程解答即可【详解】设这种商品的进价是x元由题意得

(1+40)x×08＝2240解得：x＝2000故答案为：2000

解析：2000，

【解析】

【分析】

设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.

【详解】

设这种商品的进价是x元，

由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，

解得：x＝2000，

故答案为：2000.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.

17．2m【解析】【分析】延长AD交BC的延长线于点E作DF⊥CE于点F解直角三角形求出EFCF即可解决问题【详解】延长AD交BC的延长线于点E作DF⊥CE于点F 在△DCF中∵CD＝4mDF：CF＝1：3

解析：2m．

【解析】

【分析】

延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥CE于点F．解直角三角形求出EF，CF，即可解决问题．

【详解】

延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥CE于点F．

在△DCF中，∵CD＝4m，DF：CF＝1：，

∴tan∠DCF＝，∴∠DCF＝30°，∠CDF＝60°．

∴DF＝2（m），CF＝2（m），

在Rt△DEF中，因为∠DEF＝50°，

所以EF＝≈1.67（m）

∴BE＝EF+FC+CB＝1.67+2+5≈10.13（m），

∴AB＝BE•tan50°≈12.2（m），

故答案为12.2m．

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

18．1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式可设圆锥的底面圆的半径为rcm根据题意得2πr=解得r=1故答案为：1点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面

解析：1

【解析】

试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长

公式，可设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr=904

180

π⨯

，解得r=1．

故答案为：1.

点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

19．【解析】【分析】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x-40）千米/时根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可【详解】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x﹣40

解析：1320132030

4060

x x

-=

-

．

【解析】

【分析】

设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．【详解】

设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x﹣40）千米/时，

根据题意得：1320132030

4060

x x

-=

-

．

故答案为：1320132030

4060

x x

-=

-

．

【点睛】

本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．

20．20【解析】【分析】根据图象横坐标的变化问题可解【详解】由图象可知x=4时点R到达Px=9时点R到Q点则PN=4QP=5∴矩形MNPQ的面积是20【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题考查了动点到达

解析：20

【解析】

【分析】

根据图象横坐标的变化，问题可解．

【详解】

由图象可知，x=4时，点R到达P，x=9时，点R到Q点，则PN=4，QP=5

∴矩形MNPQ的面积是20．

【点睛】

本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变化．解答时，要注意数形结合．

三、解答题

21．（1）y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90)；（2）

W=

2

2x180x2?000(1x50),

120?x12?000(50x90).

⎧-++≤<

⎨

-+≤<

⎩

（3）销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最

大利润是6050元．

【解析】

【分析】

（1）待定系数法分别求解可得；

（2）根据：销售利润=（售价-成本）×销量，分1≤x＜50、50≤x＜90两种情况分别列函数关系式可得；

（3）当1≤x＜50时，将二次函数关系式配方后依据二次函数性质可得此时最值情况，当50≤x＜90时，依据一次函数性质可得最值情况，比较后可得答案．

【详解】

(1)当1≤x<50时，设y1=kx+b，

将(1，41)，(50，90)代入，得

k b41,

50k b90,

+=

⎧

⎨

+=

⎩

解得

k1,

b40,

=

⎧

⎨

=

⎩

∴y1=x+40，

当50≤x<90时，y1=90，

故y1与x的函数解析式为y1=

x40(1x50), 90(50x90);

+≤<

⎧

⎨

≤<

⎩　

设y2与x的函数解析式为y2=mx+n(1≤x<90)，将(50，100)，(90，20)代入，

得

50m n100,

90m n20,

+=

⎧

⎨

+=

⎩

解得:

m2,

n200,

=-

⎧

⎨

=

⎩

故y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90)．(2)由(1)知，当1≤x<50时，

W=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000；

当50≤x<90时，

W=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000；

综上，W=

2

2x180x2?000(1x50), 120?x12?000(50x90).⎧-++≤<

⎨

-+≤<

⎩

(3)当1≤x<50时，∵W=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050，

∴当x=45时，W取得最大值，最大值为6050元；

当50≤x<90时，W=-120x+12000，

∵-120<0，W随x的增大而减小，

∴当x=50时，W取得最大值，最大值为6000元；

综上，当x=45时，W取得最大值6050元．

答:销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最大利润是6050元．22．（1）过点C作CG⊥AB于G

在Rt△ACG中∵∠A＝60°

∴sin60°＝∴……………1分

在Rt△ABC中∠ACB＝90°∠ABC＝30°

∴AB=2 …………………………………………2分

∴………3分

（2）菱形………………………………………4分

∵D是AB的中点∴AD=DB=CF=1

在Rt△ABC中，CD是斜边中线∴CD=1……5分

同理 BF=1 ∴CD=DB=BF=CF

∴四边形CDBF是菱形…………………………6分

（3）在Rt△ABE 中

∴……………………………7分

过点D 作DH ⊥AE 垂足为H

则△ADH ∽△AEB ∴ 即∴ DH=

……8分 在Rt △DHE 中 sinα==…=…………………9分

【解析】

（1）根据平移的性质得到AD=BE ，再结合两条平行线间的距离相等，则三角形ACD 的面积等于三角形BEF 的面积，所以要求的梯形的面积等于三角形ABC 的面积．根据60度的直角三角形ABC 中AC=1，即可求得BC 的长，从而求得其面积；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；

（3）过D 点作DH ⊥AE 于H ，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE 的面积的不同计算方法，可以求得DH 的长，进而求解．

23．（1）证明见解析；（22

【解析】

【分析】

（1）在△CAD 中，由中位线定理得到MN ∥AD ，且MN=

12AD ，在Rt △ABC 中，因为M 是AC 的中点，故BM=12

AC ，即可得到结论； （2）由∠BAD=60°且AC 平分∠BAD ，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12

AC=AM=MC ，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到222BN BM MN =+，再由MN=BM=1，得到BN 的长．

【详解】

（1）在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点，∴MN ∥AD ，且MN=12AD ，在

Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM=12

AC ，又∵AC=AD ，∴MN=BM ； （2）∵∠BAD=60°且AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12

AC=AM=MC ，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．∵MN ∥AD ，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴222BN BM MN =+，而由

（1）知，MN=BM=

12AC=12×2=1，∴． 考点：三角形的中位线定理，勾股定理．

24．（1）213y x x 222=--；（2）D 的坐标为2⎛ ⎝

⎭，2⎛ ⎝⎭，（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F 的坐标为48,55⎛⎫-

⎪⎝⎭，（2，﹣1）或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】

【分析】

（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，结合点A ，B 的坐标可得出AB ，AC ，BC 的长度，由AC 2+BC 2＝25＝AB 2可得出∠ACB＝90°，过点D 作DM∥BC，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，由D 1M 1∥BC 可得出△AD 1M 1∽△ACB，利用相似

三角形的性质结合S △DBC ＝35

S ABC ∆ ，可得出AM 1的长度，进而可得出点M 1的坐标，由BM 1＝BM 2可得出点M 2的坐标，由点B ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可得出直线D 1M 1，D 2M 2的解析式，联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点D 的坐标；

（3）分点E 与点O 重合及点E 与点O 不重合两种情况考虑：①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC，由点A ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，进而可得出直线OF 1的解析式，联立直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F 1的坐标；②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则

△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ．由EC ＝EB 利用等腰三角形的性质可得出点F 2为线段BC 的中点，进而可得出点F 2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF 3的长度，设点F 3的坐标为（x ，12

x ﹣2），结合点C 的坐标可得出关于x 的方程，解之即可得出x 的值，将其正值代入点F 3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解．

【详解】

（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣2，得：

20120a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，解得：1232

a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝

12 x 2﹣32x ﹣2． （2）当x ＝0时，y ＝12

x 2﹣32x ﹣2＝﹣2， ∴点C 的坐标为（0，﹣2）．

∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），

，BC

＝

AB ＝5．

∵AC 2+BC 2＝25＝AB 2

，

∴∠ACB＝90°．

过点D 作DM∥BC，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，如图1所示． ∵D 1M 1∥BC，

∴△AD 1M 1∽△ACB．

∵S △DBC ＝35S ABC ∆， ∴125

AM AB =, ∴AM 1＝2，

∴点M 1的坐标为（1，0），

∴BM 1＝BM 2＝3，

∴点M 2的坐标为（7，0）．

设直线BC 的解析式为y ＝kx+c （k≠0），

将B （4，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx+c ，得：

402k c c +=⎧⎨=-⎩ ，解得：122

k c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴直线BC 的解析式为y ＝12

x ﹣2． ∵D 1M 1∥BC∥D 2M 2，点M 1的坐标为（1，0），点M 2的坐标为（7，0）， ∴直线D 1M 1的解析式为y ＝12 x ﹣12 ，直线D 2M 2的解析式为y ＝12

x ﹣72． 联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，得：2112213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩

或2172213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，

解得：112x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩3313x y =⎧⎨=-⎩ ，4432x y =⎧⎨=-⎩，

∴点D 的坐标为（2

，

2

），（

，2），（1，﹣3）或（3，﹣2）． （3）分两种情况考虑，如图2所示．

①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC，

设直线AC 的解析设为y ＝mx+n （m≠0），

将A （﹣1，0），C （0，﹣2）代入y ＝mx+n ，得：

-02m n n +=⎧⎨=-⎩ ，解得：22

m n =-⎧⎨=-⎩ ， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2．

∵AC⊥BC，OF 1⊥BC，

∴直线OF 1的解析式为y ＝﹣2x ．

连接直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，得：2122

y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ， 解得：4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

， ∴点F 1的坐标为（45

，﹣85 ）； ②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ．

∵EC＝EB ，EF 2⊥BC 于点F 2，

∴点F 2为线段BC 的中点，

∴点F 2的坐标为（2，﹣1）；

∵BC＝

，

∴CF 2＝12 BC

，EF 2＝12 CF 2

＝2 ，F 2F 3＝12 EF 2

， ∴CF 3

＝

4 ． 设点F 3的坐标为（x ，

12 x ﹣2）， ∵CF 3

＝

4，点C 的坐标为（0，﹣2）， ∴x 2+[12

x ﹣2﹣（﹣2）]2＝12516， 解得：x 1＝﹣

52 （舍去），x 2＝52，

2

，﹣

3

4

）．

综上所述：存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，点F的坐标为（4

5

，﹣

8 5），（2，﹣1）或（

5

2

，﹣

3

4

）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出过点D且与直线BC平行的直线的解析式；（3）分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况，利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F的坐标．

25．见解析

【解析】

【分析】

首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.

【详解】

证明：∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ECD，

∵在△BAC和△ECD中，

AB=EC，∠BAC=∠ECD ，AC=CD，

∴△BAC≌△ECD（SAS）.∴CB=ED.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.

26．A、C之间的距离为10.3海里．

【解析】

【分析】

【详解】

解：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°．

设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，

在Rt△ABD中，可得BD3x.

又∵BC＝20，∴x3x＝20，解得：x =31)．

x=≈⨯⨯-=≈ (海里)．∴AC2231) 1.4110(1.731)10.29310.3

答：A、C之间的距离为10.3海里．