2021-2022学年重庆市巴蜀中学高三(上)适应性数学试卷(一)(解析版)_百...

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 

1．已知命题p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1，则命题p的否定是（　　）

A．∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1    B．∃x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1    

C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x﹣1    D．∃x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1

2．已知函数，则f[f（0）]＝（　　）

A．3    B．﹣3    C．﹣2    D．2

3．已知i是虚数单位，z为复数，2+＝z（3+i），则在复平面内z对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

4．设集合，集合B＝{y|y＝2|x|+1}，则A∩B＝（　　）

A．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）    B．（﹣∞，﹣2]    

C．[2，3）    D．（3，+∞）

5．已知复数z，“z+＝0”是“z为纯虚数”的（　　）

A．充分非必要条件    B．必要非充分条件    

C．充要条件    D．既非充分也不必要条件

6．已知集合M＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，非空集合P满足：（1）P⊆M；（2）若x∈P，则﹣x∈P，则集合P的个数是（　　）

A．7    B．8    C．15    D．16

7．设a＝20.4，b＝0.40.3，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c    B．a＞c＞b    C．c＞b＞a    D．c＞a＞b

8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足2x2f（x）+x3f'（x）＝lnx，（其中e为自然常数，e≈2.718），则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）在（0，+∞）上单调递增    

B．f（x）在（0，+∞）上单调递减    

C．f（x）在（0，+∞）上有极大值    

D．f（x）在（0，+∞）上有极小值

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中一定正确的有（　　）

A．ac＞bc    B．    C．ac2＞bc2    D．

10．已知数据1：x1，x2，⋯，xn，数据2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2xn﹣1，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（　　）

A．均值    B．极差    C．方差    D．标准差

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，f（x+1）是偶函数．则下列选项中说法正确的有（　　）

A．f（2）＝0    

B．f（x）周期为2    

C．f（x）的图象关于直线x＝1对称    

D．f（x﹣2）是奇函数

12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（　　）

A．当r＝1时，    

B．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小    

C．V不存在最大值    

D．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）

13．已知二项式展开式的二项式系数之和为，则n＝　 　；展开式中的常数项为 　 　．

14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）：　         　．

①f（x）是偶函数；

②f（x）在（0，+∞）上单调递减；

③f（x）的值域是（0，+∞）．

15．一猎人带着一把猎到山里去打猎，猎每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一命中野免的概率为0.8，若第一没有命中，猎人开第二，命中野免的概率为0.4，若第二也没有命中，猎人开第三，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二命中的概率为 　                　．

16．已知双曲线.，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O是坐标原点，若△AOB是锐角三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是 　               　．

四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）．

（1）求实数a的值；

（2）若函数g（x）＝f（ex）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．

18．高二下学期期末考试之后，年级随机选取8个同学，调查得到每位同学的每日数学学习时间xi（分钟）与期末数学考试成绩yi（分）的数据，并求得．

（1）求学生的数学考试成绩y与学生每日数学学习时间x的线性回归方程；

（2）小明每日数学学习时间如果是65分钟，试着预测他这次考试的数学成绩．

附：＝，＝﹣．

19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD是正方形．若PD＝PA＝，PC＝．

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）在线段PB上是否存在一点Q满足：二面角B﹣AC﹣Q的余弦值为？若存在，请求出的比值λ．若不存在，请说明理由．

20．已知椭圆经过点A1（﹣2，0），A2（2，0），点B为椭圆E的上顶点，且直线A1B与直线相互垂直．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若不垂直x轴的直线l过椭圆E的右焦点F2，交椭圆于C，D两点（C在x轴上方），直线A1C，A2D分别与y轴交于S，T两点，O为坐标原点，求证：．

21．已知某机床的控制芯片由n（n∈N*）个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为p，且每个单元正常工作与否相互．

（1）若，求至少有3个单元正常工作的概率；

（2）若，并且n个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其概率记为P（n）．

①求P（7）的值；

②若，求n的值．

22．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣mx2（m∈R）．

（1）选择下列两个条件之一：①；②m＝1；判断f（x）在区间（0，+∞）是否存在极小值点，并说明理由；

（2）已知m＞0，设函数g（x）＝f（x）+mxln（mx）．若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．

参

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 

1．已知命题p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1，则命题p的否定是（　　）

A．∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1    B．∃x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1    

C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x﹣1    D．∃x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1

解：根据题意，命题p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1，是全称命题，

其否定为：∃x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1，

故选：D．

2．已知函数，则f[f（0）]＝（　　）

A．3    B．﹣3    C．﹣2    D．2

解：根据题意，函数，

则f（0）＝1+2＝3，

则f[f（0）]＝f（3）＝log28＝3，

故选：A．

3．已知i是虚数单位，z为复数，2+＝z（3+i），则在复平面内z对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

解：∵2+＝z（3+i），

∴，

∴复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．

故选：D．

4．设集合，集合B＝{y|y＝2|x|+1}，则A∩B＝（　　）

A．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）    B．（﹣∞，﹣2]    

C．[2，3）    D．（3，+∞）

解：∵集合＝{x|}＝{x|﹣3＜x＜3}，

集合B＝{y|y＝2|x|+1}＝{y|y≥2}，

∴A∩B＝{x|2≤x＜3}＝[2，3）．

故选：C．

5．已知复数z，“z+＝0”是“z为纯虚数”的（　　）

A．充分非必要条件    B．必要非充分条件    

C．充要条件    D．既非充分也不必要条件

解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．

∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．

故选：B．

6．已知集合M＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，非空集合P满足：（1）P⊆M；（2）若x∈P，则﹣x∈P，则集合P的个数是（　　）

A．7    B．8    C．15    D．16

解：∵P⊆M，且x∈P，﹣x∈P，

∴满足条件的集合P应含有元素为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，

∵P为非空集合，

∴集合P的个数为24﹣1＝15，

故选：C．

7．设a＝20.4，b＝0.40.3，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c    B．a＞c＞b    C．c＞b＞a    D．c＞a＞b

解：1＝20＜20.4＜20.5＝＜1.5，

0.40.3＜0.40＝1，

log23＞log22＝1.5，

故b＜a＜c，

故选：D．

8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足2x2f（x）+x3f'（x）＝lnx，（其中e为自然常数，e≈2.718），则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）在（0，+∞）上单调递增    

B．f（x）在（0，+∞）上单调递减    

C．f（x）在（0，+∞）上有极大值    

D．f（x）在（0，+∞）上有极小值

解：∵2x2f（x）+x3f'（x）＝lnx，x∈（0，+∞），

∴2xf（x）+x2f'（x）＝，①

令g（x）＝x2f（x），

则g′（x）＝2xf（x）+x2f'（x）；②

又（ln2x+C）′＝，③

由①②③得x2f（x）＝ln2x+C（x＞0），

∴f（x）＝（x＞0），

又，即＝，解得C＝，

∴f（x）＝（x＞0）．

∴f′（x）＝＝＝≤0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，

故选：B．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中一定正确的有（　　）

A．ac＞bc    B．    C．ac2＞bc2    D．

解：对于A，f（x）＝xc 在（0，+∞）为减函数，当a＞b＞0时，ac＜bc，故A错误，

对于B，∵a＞b＞0，

∴，

又∵c＜0，

∴，故B正确，

对于C，∵a＞b＞0，

∴c2＞0，

∴ac2＞bc2，故C正确，

对于D，∵a＞0＞c，

∴，当且仅当a＝﹣c时等号成立，故D正确．

故选：BCD．

10．已知数据1：x1，x2，⋯，xn，数据2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2xn﹣1，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（　　）

A．均值    B．极差    C．方差    D．标准差

解：设数据1：x1，x2，⋯，xn的均值为，标准差为s，极差为R＝xmax﹣xmin，

则数据2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2xn﹣1的均值为，方差为4s2，故A，C错误，

标准差为，极差为2xmax﹣1﹣（2xmin﹣1）＝2（xmax﹣xmin）＝2R，故B，D正确．

故选：BD．

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，f（x+1）是偶函数．则下列选项中说法正确的有（　　）

A．f（2）＝0    

B．f（x）周期为2    

C．f（x）的图象关于直线x＝1对称    

D．f（x﹣2）是奇函数

解：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，

所以f（0）＝0，

又f（x+1）是偶函数，

所以f（1﹣x）＝f（1+x），

所以f（2﹣x）＝f（x），

所以f（2）＝f（0）＝0，故A正确；

则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），

则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），

故函数f（x）是周期为4的周期函数，故B错误；

由f（1﹣x）＝f（1+x），可知f（x）的图象关于直线x＝1对称，故C正确；

由已知f（x）关于（0，0）和直线x＝1对称，

从而f（x）关于（2，0）对称，

又因为f（x）的周期T＝4，可得f（x）关于（﹣2，0）对称，

所以f（x﹣2）是奇函数，故D正确．

故选：ACD．

12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（　　）

A．当r＝1时，    

B．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小    

C．V不存在最大值    

D．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小

解：由题意，圆台的体积

＝

＝，

对于A，当r＝1时，，故选项A正确；

，

设f（r）＝﹣3r3﹣4r2+4r+8，

则f'（r）＝﹣9r2﹣8r+4在（0，2）上单调递减，

设f'（r）＝0的两个根为r1，r2（r1＜r2），

由韦达定理，则r2∈（0，2），

且当r∈（0，r2）时，f'（r）＞0，则f（r）单调递增，

当r∈（r2，2）时，f'（r）＜0，则f（r）单调递减，

由f（0）＝8，f（1）＝5，f（2）＝﹣24，

所以存在r0∈（1，2），使得f（r0）＝0，

当r∈（0，r0）时，f（r）＞0，即V'＞0，故函数V单调递增，

当r∈（r0，2）时，f（r）＜0，即V'＜0，故函数V单调递减，

故选项B正确，选项C错误，选项D错误．

故选：AB．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）

13．已知二项式展开式的二项式系数之和为，则n＝　6　；展开式中的常数项为 　160　．

解：∵（x+）n展开式的二项式系数之和是2n＝，则n＝6，

∴（x+）6的展开式中的通项公式为：Tr+1＝C6r•2r•x6﹣2r，

令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项的值是C63•23＝160，

故答案为：6，160．

14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）：　f（x）＝x﹣2　．

①f（x）是偶函数；

②f（x）在（0，+∞）上单调递减；

③f（x）的值域是（0，+∞）．

解：从具有奇偶性，单调性的角度进行分析，从基本初等函数进行考虑，

则时满足三个条件的函数f（x）可以为：f（x）＝x﹣2．

故答案为：f（x）＝x﹣2．

15．一猎人带着一把猎到山里去打猎，猎每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一命中野免的概率为0.8，若第一没有命中，猎人开第二，命中野免的概率为0.4，若第二也没有命中，猎人开第三，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二命中的概率为 　　．

解：记事件A＝“猎人第一击中野兔“，事件B＝“猎人第二击中野兔“，事件C＝“猎人第三击中野兔“，D＝“野兔被击中“，

则P（D）＝P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C）＝0.8+0.2×0.4+0.2×0.6×0.2＝0.904，

P（B）＝0.2×0.4＝0.08，

P（B|D）＝．

故答案为：．

16．已知双曲线.，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O是坐标原点，若△AOB是锐角三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是 　（，2）　．

解：运用临界法：当∠AOB＝90°时，渐近线方程为y＝±x，即＝1，离心率e＝＝＝，

当直线y＝（x+c）与渐近线y＝﹣x垂直时，＝，离心率e＝＝＝＝2，

所以当△AOB是锐角三角形时，双曲线的离心率e∈（，2）．

故答案为：（，2）．

四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）．

（1）求实数a的值；

（2）若函数g（x）＝f（ex）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．

解：（1）根据题意，二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1），

则二次函数f（x）开口向下，其对称轴为x＝1，

则有﹣＝1，解可得a＝﹣1；

（2）函数g（x）＝f（ex），

设t＝ex，若x∈[0，1]，则1≤t≤e，

函数g（x）＝f（ex）在x∈[0，1]的最大值是1，且∀x∈R，f（x）≤f（1）．

则x＝0时，g（x）取得最大值1，

即g（0）＝f（1）＝﹣1+2+c＝1，解可得c＝0；

故c＝0，

18．高二下学期期末考试之后，年级随机选取8个同学，调查得到每位同学的每日数学学习时间xi（分钟）与期末数学考试成绩yi（分）的数据，并求得．

（1）求学生的数学考试成绩y与学生每日数学学习时间x的线性回归方程；

（2）小明每日数学学习时间如果是65分钟，试着预测他这次考试的数学成绩．

附：＝，＝﹣．

解：（1）由已知的数据可得，，

所以，

则，

故线性回归方程为；

（2）当x＝65时，则，

故预测他这次考试的数学成绩为132.5分．

19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD是正方形．若PD＝PA＝，PC＝．

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）在线段PB上是否存在一点Q满足：二面角B﹣AC﹣Q的余弦值为？若存在，请求出的比值λ．若不存在，请说明理由．

解：（1）设正方形ABCD的边长为2a，取AD的中点M，连接PM，MC，

由平面PAD⊥平面ABCD，，

则PM⊥AD，所以PM⊥平面ABCD，则PM2＝17﹣a2，

又PM⊥MC，所以PM2＝21﹣5a2，则解出a＝1，PM＝4，

所以体积．

因此，四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）存在，理由如下：

以M为坐标原点，平行于AB为x轴正方向，MD为y轴正方向，MP为z轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），C（2，1，0），P（0，0，4），

设，则Q（2λ，﹣λ，4﹣4λ），所以，，

设平面QAC的法向量，

由，所以，令x＝1，可得，

而为平面ABCD的一个法向量，

所以＝，则，

有或．由于点Q在PB上，所以．

所以在线段PB上是否存在一点Q满足：二面角B﹣AC﹣Q的余弦值为，且．

20．已知椭圆经过点A1（﹣2，0），A2（2，0），点B为椭圆E的上顶点，且直线A1B与直线相互垂直．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若不垂直x轴的直线l过椭圆E的右焦点F2，交椭圆于C，D两点（C在x轴上方），直线A1C，A2D分别与y轴交于S，T两点，O为坐标原点，求证：．

解：（1）由题可得a＝2，

因为直线A1B与直线相互垂直，

所以•k＝﹣1，即，解得b＝，

所以椭圆E的方程为：；

证明：（2）设直线l方程为x＝my+1（m≠0），

联立得（4+3m²）y²+6my﹣9＝0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

则有y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，

A1C：y＝，令x＝0，则ys＝，同理可得yr＝，

所以||＝＝＝，

则||﹣＝＝，

因为2my1y2﹣3（y1+y2）＝2m•（﹣）﹣3•（﹣）＝0，

所以||﹣＝0，

即||＝，得证．

21．已知某机床的控制芯片由n（n∈N*）个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为p，且每个单元正常工作与否相互．

（1）若，求至少有3个单元正常工作的概率；

（2）若，并且n个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其概率记为P（n）．

①求P（7）的值；

②若，求n的值．

解：（1）设至少有3个单元正常工作的概率为P1，

则P1＝；

（2）①当n＝7时，至少有4个单元正常工作芯片就能控制机床，

所以P（7）＝，

因为，

所以P（7）＝＝，

又＝26，

所以P（7）＝；

②若n＝2k﹣1（k∈N*），

则P（n）＝+•••+

＝，

因为＝，

所以P（n）＝；

若n＝2k（k∈N*），

则P（n）＝，

而对立事件＝，

且＝，

则P（n）﹣＝，

所以P（n）≠．

综上所述，n＝2k﹣1（k∈N*）．

22．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣mx2（m∈R）．

（1）选择下列两个条件之一：①；②m＝1；判断f（x）在区间（0，+∞）是否存在极小值点，并说明理由；

（2）已知m＞0，设函数g（x）＝f（x）+mxln（mx）．若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．

解：（1）若选①：，则函数f（x）＝ex﹣1﹣x2，

所以f'（x）＝ex﹣1﹣x，f''（x）＝ex﹣1﹣1，

因为f''（x）单调递增，且f''（1）＝0，

所以f'（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，

则f'（x）≥f'（1）＝0，

故f（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以不存在极小值点；

若选②：m＝1，则f（x）＝ex﹣1﹣x2，

所以f'（x）＝ex﹣1﹣2x，f''（x）＝ex﹣1﹣2，

由f''（x）单调递增，且f''（1+ln2）＝0，

所以f'（x）在（0，1+ln2）上单调递减，在（1+ln2，+∞）上单调递增，

故f'（x）≥f'（1+ln2）＝﹣2ln2＜0，

又f'（4）＝e3﹣8＞0，

所以存在极小值点x0∈（1+ln2，4）．

（2）令g（x）＝0，则ex﹣1﹣mx2+mxln（mx）＝0，

又mx＞0，

所以＝ex﹣ln（mx）﹣1﹣[x﹣ln（mx）]＝0，

令t＝x﹣ln（mx），

故et﹣1﹣t＝0有解，

设h（t）＝et﹣1﹣t，

则h'（t）＝et﹣1﹣1，令h'（t）＝0，解得t＝1，

所以h（t）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

又h（1）＝0，

所以h（t）＝et﹣1﹣t有唯一的零点t＝1，

若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，

即1＝x﹣ln（mx）在（0，+∞）上有解，

整理可得1+lnm＝x﹣lnx，

令l（x）＝x﹣lnx，

则l'（x）＝1﹣，令l'（x）＝0，解得x＝1，

所以l（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

故l（x）≥l（1）＝1，

所以1+lnm≥1，

解得m≥1，

所以m的取值范围为[1，+∞）．