2021-2022学年江西省宜春市九年级(上)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．下列事件是随机事件的是（　　）

A．离离原上草，一岁一枯荣    

B．太阳每天从东方升起    

C．打开电视，正在播放新闻    

D．钝角三角形的内角和大于180°

2．下列说法正确的是（　　）

A．三点确定一个圆    

B．任何三角形有且只有一个内切圆    

C．相等的圆心角所对的弧相等    

D．正多边形一定是中心对称图形

3．如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标为（　　）

A．（﹣，1）    B．（﹣1，）    C．（﹣2，﹣）    D．（﹣，2）

4．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　）

A．70°    B．65°    C．60°    D．55°

5．如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形A'BC'D'．此时点A的对应点A'恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点D'之间的距离为（　　）

A．3    B．6    C．3    D．6

6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）形状如图，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．正确的有（　　）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．点A（1，5）关于原点对称，得到点A′，那么A′的坐标是　   　．

8．若方程x2﹣2x﹣3＝0两根为α、β，则α2+β2＝　   　．

9．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过大量摸球试验后发现摸到红色、黑色球的频率分别稳定在10%和30%，则口袋中白色球的个数很可能是　   　个．

10．圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是　   　度．

11．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B'处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为 　   　．

12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝　   　时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0；

（2）关于x的方程x2+4x+m+2＝0有两个相等的实根，求方程的根．

14．已知PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，BC垂直PA于C，请只用无刻度直尺，按要求画图，保留作图痕迹．

（1）如图1，连接AB，并作出线段AB的中点D；

（2）如图2，连接OB，过点A作线段AE平行OB交PB于点E．

15．已知二次函数y＝x2﹣kx+k﹣5．

（1）若此二次函数图象的对称轴为x＝1，求它的解析式；

（2）当x≤1时，y随x增大而减小，求k的取值范围．

16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，请完成下列问题：

（1）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；

（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，请作出△AB2C2，并求出点C到点C2的路径长．

17．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水底部B的距离．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．

（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；

（2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？

19．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E，且与BE的垂直平分线交于点D，连接BD．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，CE＝1，试求BD的长．

20．我市“垃圾分类”工作越来越好，但还是有不少人缺乏分类意识．某小区分设了四个不同的垃圾分类投放桶，分别为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．

（1）上面图标（不包含文字）是中心对称图形的是 　   　（填序号）；

（2）小明帮助妈妈做家务，拿着一袋厨余垃圾去，因天黑看不清，小明随便扔进了一个垃圾桶，请直接写出小明投放正确的概率：　   　；

（3）然后他又随手将旧报纸和废弃电池扔到其中两类垃圾桶中，那么他恰好正确分类的概率是多少？（画树状图或列表求解）（以上行为均不提倡）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．

（1）BP＝　   　cm，CQ＝　   　cm（用含x的式子表示）；

（2）若PQ＝4cm时，求x的值；

（3）当x为何值时，△DPQ将成为以DP为斜边的直角三角形．

22．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为 　   　；②线段BE，CE与AE之间的数量关系是 　   　．

（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上．若CE＝，BE＝2，求AB的长度．

（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

六、（本大题共1小题，共12分）

23．如图，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做抛物线的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．

（1）若l：y＝﹣2x+2，则求它的纠缠抛物线的函数解析式；

（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是否“互为纠缠线”；

（3）在（1）中，P是l的纠缠抛物线在第二象限上的一个动点，求△PCD的最大面积．

参

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．下列事件是随机事件的是（　　）

A．离离原上草，一岁一枯荣    

B．太阳每天从东方升起    

C．打开电视，正在播放新闻    

D．钝角三角形的内角和大于180°

【分析】根据随机事件的定义，结合具体的问题情境进行判断即可．

解：A．离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，因此选项A不符合题意；

B．太阳每天从东方升起，是必然事件，因此选项B不符合题意；

C．打开电视，可能正在播放新闻，也可能不是，是随机事件，所以选项C符合题意；

D．钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件，因此选项D不符合题意；

故选：C．

2．下列说法正确的是（　　）

A．三点确定一个圆    

B．任何三角形有且只有一个内切圆    

C．相等的圆心角所对的弧相等    

D．正多边形一定是中心对称图形

【分析】根据确定圆的条件，中心对称图形，圆心角、弧、弦的关系，三角形的内切圆与内心逐一判断即可．

解：A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意；

B．任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意；

C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意；

D．正多边形一定是轴对称图形，不一定是中心对称图形，故D不符合题意；

故选：B．

3．如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标为（　　）

A．（﹣，1）    B．（﹣1，）    C．（﹣2，﹣）    D．（﹣，2）

【分析】根据正六边形的性质，解直角三角形即可得到结论．

解：连接OB，

∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，

∴OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝∠60°，

∴∠OBH＝60°，

∴BH＝OB＝1，OH＝OBcos∠OBH＝×2＝，

∴B（﹣，1），

故选：A．

4．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　）

A．70°    B．65°    C．60°    D．55°

【分析】连接OC、OD，利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理求得∠AOD＝50°，然后根据的等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得∠DAE＝65°．

解：连接OC、OD，

∵AD＝CD，

∴＝，

∴∠AOD＝∠COD，

∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，

∴AOD＝50°，

∵OA＝OD，

∴∠DAO＝∠ADO＝＝65°，即∠DAE＝65°，

故选：B．

5．如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形A'BC'D'．此时点A的对应点A'恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点D'之间的距离为（　　）

A．3    B．6    C．3    D．6

【分析】连接BD'，由矩形的性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，由旋转的性质得出AB＝A'B，BD'＝AC＝BD，证明△AA'B是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BAA'＝60°，由直角三角形的性质求出AC的长，由矩形的性质可得出答案．

解：连接BD'，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AC＝BD，

∵点A'是AC的中点，

∴A'A＝A'B，

∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形A'BC'D'，

∴AB＝A'B，BD'＝AC＝BD，

∴AB＝A'B＝A'A，

∴△AA'B是等边三角形，

∴∠BAA'＝60°，

∴∠ACB＝30°，

∵AB＝3，

∴AC＝2AB＝6，

∴BD'＝6．

即点B与点D'之间的距离为6．

故选：B．

6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）形状如图，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．正确的有（　　）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可．

解：由抛物线开口向上，可知a＞0，对称轴偏在y轴的右侧，a、b异号，b＜0，因此①不符合题意；

由对称轴为x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（3，0），可知与x轴另一个交点为（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0，因此②符合题意；

由图象可知，当x＜﹣1或x＞3时，图象位于x轴的上方，即y＞0．因此③符合题意；

抛物线与y＝﹣1一定有两个交点，即一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，因此④符合题意；

综上，正确的有3个，

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．点A（1，5）关于原点对称，得到点A′，那么A′的坐标是　（﹣1，﹣5）　．

【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．

解：点A（1，5）关于原点对称，得到点A′，

那么A′的坐标是：（﹣1，﹣5）．

故答案为：（﹣1，﹣5）．

8．若方程x2﹣2x﹣3＝0两根为α、β，则α2+β2＝　10　．

【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．

解：根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，

所以α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣3）＝10．

故答案为：10．

9．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过大量摸球试验后发现摸到红色、黑色球的频率分别稳定在10%和30%，则口袋中白色球的个数很可能是　12　个．

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．

解：白色球的个数是：20×（1﹣10%﹣30%）＝20×60%＝12（个）；

故答案为：12．

10．圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是　270　度．

【分析】由底面半径易得圆锥的底面周长，即为圆锥的侧面弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角．

解：圆锥的底面周长为2π×3＝6πcm，

设圆锥侧面展开图的圆心角是n，则：＝6π，

解得n＝270°，

故答案为：270．

11．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B'处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为 　π+2　．

【分析】求出扇形ABC的面积，空白弓形的面积，由S阴影部分＝2S扇形ABC﹣2S空白弓形进行计算即可．

解：连接BB′，由旋转的性质可知，AB＝AB′

∵AB＝BB′，

∴AB＝BB′＝AB′，即△ABB′是正三角形，

∴∠ABB′＝60°，

∴空白弓形的面积为﹣×2×＝π﹣，

∴S阴影部分＝2S扇形ABC﹣2S空白弓形

＝2×﹣2×（π﹣）

＝2π﹣π+2

＝π+2，

故答案为：π+2，

12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝　1s，4s，7s，16s　时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．

【分析】分4种情况讨论：①当圆心O运动到点E与点C重合是时；②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时；③过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝4；④当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q，利用直角三角形可求得点O运动了32cm，可求出时间t．

解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，

∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，

此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，

所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；

②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，

此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），

所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；

③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；

∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，

∴FO＝6cm；

当半圆O与△ABC的边AB相切时，

∵圆心O到AB的距离等于6cm，

且圆心O又在直线BC上，

∴O与C重合，

即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；

此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），

④当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，

如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．

在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，

即OQ与半圆O所在的圆相切．

此时点O运动了8+12+12＝32（cm）．

所求运动时间为：t＝32÷2＝16s，

综上所述：当t＝1s，4s，7s，16s时，

Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．

故答案为：1s，4s，7s，16s．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0；

（2）关于x的方程x2+4x+m+2＝0有两个相等的实根，求方程的根．

【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；

（2）由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值，代入方程计算即可求出根．

解：（1）分解因式得：（x+2）（x﹣4）＝0，

所以x+2＝0或x﹣4＝0，

解得：x1＝﹣2，x2＝4；

（2）方程x2+4x+m+2＝0，

这里a＝1，b＝4，c＝m+2，

∴Δ＝42﹣4×1×（m+2）＝16﹣4m﹣8＝8﹣4m，

∵方程有两个相等的实根，

∴8﹣4m＝0，

解得：m＝2，

∴方程为x2+4x+4＝0，即（x+2）2＝0，

∴x1＝x2＝﹣2．

14．已知PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，BC垂直PA于C，请只用无刻度直尺，按要求画图，保留作图痕迹．

（1）如图1，连接AB，并作出线段AB的中点D；

（2）如图2，连接OB，过点A作线段AE平行OB交PB于点E．

【分析】（1）连接OP、AB，交点即为所求点D；

（2）连接OB、OP，交点为F，连AF，并延长，交PB于点E，AE即为所求．

解：（1）如图1所示，点D即为所求；

（2）如图2所示，AE即为所求．

15．已知二次函数y＝x2﹣kx+k﹣5．

（1）若此二次函数图象的对称轴为x＝1，求它的解析式；

（2）当x≤1时，y随x增大而减小，求k的取值范围．

【分析】（1）由对称轴为x＝1求得k的值，即可得到二次函数的解析式；

（2）结合二次函数的增减性求得k的取值范围．

解：（1）∵二次函数的对称轴为x＝1，

∴＝1，

∴k＝2，

∴二次函数的解析式为y＝x2−2x−3．

（2）∵二次函数的对称轴为x＝，函数图象开口向上，

∴当x＜时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大而增大，

∵当x≤1时，y随x增大而减小，

∴，

∴k≥2．

16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，请完成下列问题：

（1）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；

（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，请作出△AB2C2，并求出点C到点C2的路径长．

【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再计算出AC，然后利用弧长公式计算点C在旋转过程中经过的路径长．

解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作，

∵AC＝＝，

所以点C在旋转过程中经过的路径长＝＝π．

17．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水底部B的距离．

【分析】根据题意得抛物线顶点P（1，3），设抛物线的解析式为y＝a（x−1） 2+3，把A（0，2.25）代入可得y＝−0.75 （x−1） 2+3，令y＝0时即可解得水流的落地点C到水底部B的距离为3m．

解：根据题意得：抛物线顶点P（1，3），点A坐标是（0，2.25），

设抛物线的解析式为y＝a（x−1） 2+3，

把A（0，2.25）代入解得：a+3＝2.25，

解得a＝−0.75；

∴y＝−0.75 （x−1） 2+3，

当y＝0时，−0.75 （x−1） 2+3＝0，

解得x1＝−1（舍），x2＝3，

∴水流的落地点C到水底部B的距离为3m．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．

（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；

（2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？

【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解；

（2）销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可．

解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81，

解得：x1＝0.1，x2＝1.9，

经检验x2＝1.9不符合题意，

∴x＝0.1＝10%，

答：每次降价百分率为10%；

（2）设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则

y＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500，

∵a＝﹣5＜0，

∴当m＝90元时，y最大为4500元．

答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，y最大为4500元．

19．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E，且与BE的垂直平分线交于点D，连接BD．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，CE＝1，试求BD的长．

【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD＝90°，即可证明BD是⊙O的切线；

（2）根据三角函数的定义得到tan∠A＝＝，求得∠A＝30°，得到∠DEB＝∠AEC＝60°，推出△DEB是等边三角形，得到BE＝BD，设EF＝BF＝x，求得AB＝2x+2，过O作OH⊥AB于H，解直角三角形即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OB，

∵OB＝OA，DE＝DB，

∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，

∴∠OBA+∠ABD＝90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为2，点C是半径OA的中点，

∴AC＝OA＝，

∵CE＝1，

∴tan∠A＝＝，

∴∠A＝30°，

∵∠ACE＝90°，

∴∠DEB＝∠AEC＝60°，

∵DF垂直平分BE，

∴DE＝DB，

∴△DEB是等边三角形，

∴BE＝BD，

设EF＝BF＝x，

∴AB＝2x+2，

过O作OH⊥AB于H，

∴AH＝BH＝x+1，

∵AO＝2，

∴AH＝AO＝3，

∴AB＝6，

∴BD＝BE＝AB﹣AE＝4．

20．我市“垃圾分类”工作越来越好，但还是有不少人缺乏分类意识．某小区分设了四个不同的垃圾分类投放桶，分别为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．

（1）上面图标（不包含文字）是中心对称图形的是 　③　（填序号）；

（2）小明帮助妈妈做家务，拿着一袋厨余垃圾去，因天黑看不清，小明随便扔进了一个垃圾桶，请直接写出小明投放正确的概率：　　；

（3）然后他又随手将旧报纸和废弃电池扔到其中两类垃圾桶中，那么他恰好正确分类的概率是多少？（画树状图或列表求解）（以上行为均不提倡）

【分析】（1）根据中心对称图形的定义即可得出答案；

（2）直接利用概率公式求解即可；

（3）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．

解：（1）上面图标（不包含文字）是中心对称图形的是③；

故答案为：③；

（2）∵某小区分设了四个不同的垃圾分类投放桶，分别为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”，

∴小明投放正确的概率：；

（3）根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中他恰好正确分类的有1种，

则P（正确分类）＝．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．

（1）BP＝　（6﹣x）　cm，CQ＝　（12﹣2x）　cm（用含x的式子表示）；

（2）若PQ＝4cm时，求x的值；

（3）当x为何值时，△DPQ将成为以DP为斜边的直角三角形．

【分析】（1）根据路程于，速度，时间的关系求解即可；

（2）由勾股定理得，BP2+BQ2＝PQ2，由此构建方程求解即可；

（3）由PQ2+DQ2＝DP2，构建方程求解即可．

解：（1）由题意，BP＝（6﹣x）cm，CQ＝（12﹣2x）cm，

故答案为：（6−x），（12−2x）；

（2）在Rt△BPQ中，BQ＝2x cm，

由勾股定理得，BP2+BQ2＝PQ2，

则（6−x） 2+（2x） 2＝（4） 2，

解得  x1＝0.4，x2＝2，

故满足条件的x的值为0.4或2；

（3）由题意，PQ2＝（6−x） 2+（2x） 2，DQ2＝6 2+（12−2x） 2，DP2＝x2+12 2，

∵PQ2+DQQ2＝DP2，

∴（6−x） 2+（2x） 2+6 2+（12−2x） 2＝x2+122，

解得  x1＝1.5，x2＝6，

∴当x＝1.5或6时，△DPQ将成为以DP为斜边的直角三角形．

22．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为 　60°　；②线段BE，CE与AE之间的数量关系是 　AE＝BE+CE　．

（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上．若CE＝，BE＝2，求AB的长度．

（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；

（2）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，由勾股定理可求解；

（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD＝∠CBE，由∠CAB＝∠ABC＝60°，可知∠EAB+∠ABE＝120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE＝60°．

解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴∠ADC＝∠BEC，

∵△DCE为等边三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝60°，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝120°，

∴∠BEC＝120°，

∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，

故答案为：60°；

②∵△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，

∴∠DCE＝∠ACB＝60°，

∴△CDE是等边三角形，

∴CE＝DE，

∴AE＝AD+DE＝BE+CE；

故答案为：AE＝BE+CE；

（2）∵△DCE为等腰直角三角形，

∴DE＝CE＝2，

∵AC＝BC，DC＝EC，

∠ACD＝90°−∠DCB∠ECB＝90°−∠DCB，

∴∠ACD＝∠ECB，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE＝2，

∴AE＝AD+DE＝4，

∠CEB＝∠ACD＝180°−∠CDE＝135°，

∴∠AEB＝∠CEB−∠CED＝90°，

∴AB＝＝；

（3）如图3，

由（1）知△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE，

∵∠CAB＝∠CBA＝60°，

∴∠OAB+∠OBA＝120°，

∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，

如图4，

同理求得∠AOB＝60°，

∴∠AOE＝120°，

∴∠AOE的度数是60°或120°．

六、（本大题共1小题，共12分）

23．如图，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做抛物线的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．

（1）若l：y＝﹣2x+2，则求它的纠缠抛物线的函数解析式；

（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是否“互为纠缠线”；

（3）在（1）中，P是l的纠缠抛物线在第二象限上的一个动点，求△PCD的最大面积．

【分析】（1）由y＝﹣2x+2可得 A（ 1，0），B（0，2），又将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，即知D（﹣2，0），用待定系数法即得直线y＝﹣2x+2的纠缠抛物线的函数解析式是y＝﹣x2﹣x+2；

（2）由y＝﹣2x+2k得A（k，0），B（0，2k），又将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，即得D（﹣2k，0），由待定系数法即得纠缠抛物线函数解析式为y＝﹣（x﹣k）（x+2k）＝﹣x2﹣x+2k，从而可得y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是“互为纠缠线”；

（3）过点P作y轴的平行线交DC于E，由待定系数法可得直线CD为y＝x+1，设P（x，﹣x2﹣x+2），则E（x，x+1），即得PE＝﹣x2﹣x+1，故△PCD的面积＝PE•|xC﹣xD|＝﹣（x+）2+，由二次函数性质可得答案．

解：（1）在y＝﹣2x+2中，令y＝0得x＝2，令x＝0得y＝2，

∴A（ 1，0），B（0，2），

∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，

∴OD＝OB，

∴D（﹣2，0），

∵直线y＝﹣2x+2的纠缠抛物线过A（ 1，0），D（﹣2，0），设纠缠抛物线函数解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），

把B（0，2）代入得：2＝﹣2a，

∴a＝﹣1，

∴纠缠抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，

答：直线y＝﹣2x+2的纠缠抛物线的函数解析式是y＝﹣x2﹣x+2；

（2）y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是“互为纠缠线”，理由如下：

在y＝﹣2x+2k中，令x＝0得y＝2k，令y＝0得x＝k，

∴A（k，0），B（0，2k），

∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，

∴D（﹣2k，0），

∵直线y＝﹣2x+2k的纠缠抛物线过A（ k，0），D（﹣2k，0），设纠缠抛物线函数解析式为y＝a（x﹣k）（x+2k），

将B（0，2k）代入得：2k＝﹣2k2a，

解得a＝﹣，

∴纠缠抛物线函数解析式为y＝﹣（x﹣k）（x+2k）＝﹣x2﹣x+2k，

∴y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是“互为纠缠线”；

（3）过点P作y轴的平行线交DC于E，如图：

由（1）知A（ 1，0），B（0，2），D（﹣2，0），

∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，

∴OC＝OA＝1，

∴C（0，1），

设直线CD为y＝tx+1，将D（﹣2，0）代入得：

0＝﹣2t+1，

解得t＝，

∴直线CD为y＝x+1，

设P（x，﹣x2﹣x+2），则E（x，x+1），

∴PE＝﹣x2﹣x+2﹣（x+1）＝﹣x2﹣x+1，

∴△PCD的面积＝PE•|xC﹣xD|＝×（﹣x2﹣x+1）×2＝﹣x2﹣x+1＝﹣（x+）2+，

∵﹣1＜0，

∴x＝﹣时，△PCD的面积最大为，

答：△PCD的最大面积是．