黑龙江省七台河市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版).doc

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．若sinα=，则cos（+α）=（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

2．设=（﹣1，3），则等于（　　）

A．（﹣5，5）    B．（5，﹣5）    C．（﹣3，3）    D．（3，﹣3）

3．角α的终边经过点（2，﹣1），则sinα+cosα的值为（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

4．设向量=（1，2），=（﹣2，t），且，则实数t的值为（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

5．已知tan（﹣α）=3，则等于（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（﹣）的值为（　　）

A．﹣1    B．1    C．﹣    D．

7．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=cos（2x+）的图象（　　）

A．向右平移个单位    B．向左平移个单位

C．向左平移个单位    D．向右平移个单位

8．已知向量与向量满足||=3，||=2，||=2，则与的夹角为（　　）

A．    B．    C．    D．

9．若tan（α﹣β）=，tan（α+β）=，则tan2β等于（　　）

A．    B．    C．﹣    D．﹣

10．若等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，则•=（　　）

A．1    B．﹣1    C．2    D．﹣2

11．已知定义在R上的函数f（x）是周期为3的奇函数，当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，则函数f（x）在区间[0，5]上零点个数为（　　）

A．0    B．8    C．7    D．6

12．已知为锐角，则tan（x﹣y）=（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．设向量=（﹣1，3），=（2，x），若∥，则x=　　．

14．若扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为　　cm2．

15．已知函数y=acos（2x+）+3，x∈[0，]的最大值为4，则实数a的值为　　．

16．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为　　．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．已知向量=（2，﹣1），=（x，1）（x∈R）．

（1）若的夹角为锐角，求x的范围；

（2）当3=（4，y）时，求x+y的值．

18．已知sinα+cosα=（＜α＜π），求下列各式的值：

（1）sinα﹣cosα；

（2）sin2（﹣α）﹣cos2（+α）．

19．已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．

20．已知=（2sinα，1），=（cosα，1），α∈（0，）．

（1）若∥，求tanα的值；

（2）若•=，求sin（2α+）的值．

21．已知sin2α=，α∈（0，），sin（β﹣）=，β∈（，）．

（1）求sinα和cosα的值；

（2）求tan（α+2β）的值．

22．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，x∈R．

（1）若对于任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；

（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．

2016-2017学年黑龙江省七台河市高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．若sinα=，则cos（+α）=（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．

【分析】原式利用诱导公式化简，把sinα的值代入计算即可求出值．

【解答】解：∵sinα=，

∴cos（+α）=﹣sinα=﹣，

故选：B．

2．设=（﹣1，3），则等于（　　）

A．（﹣5，5）    B．（5，﹣5）    C．（﹣3，3）    D．（3，﹣3）

【考点】平面向量的坐标运算．

【分析】设=（x，y），由=（﹣1，3），利用平面向量坐标运算法则能求出．

【解答】解：设=（x，y），

∵=（﹣1，3），

∴（4﹣x，﹣2﹣y）=（﹣1，3），

∴，解得x=5，y=﹣5，

∴=（5，﹣5）．

故选：B．

3．角α的终边经过点（2，﹣1），则sinα+cosα的值为（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】由题意可得x=2，y=﹣1，r=，可得sinα和cosα的值，从而求得sinα+cosα 的值．

【解答】解：∵已知角α的终边经过点（2，﹣1），则 x=2，y=﹣1，r=，

∴sinα=﹣，cosα=，

∴sinα+cosα=﹣，

故选D．

4．设向量=（1，2），=（﹣2，t），且，则实数t的值为（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【分析】利用向量坐标运算法则先求出，再由向量垂直的性质能求出实数t的值．

【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，t），

∴==（﹣1，2+t），

∵，

∴=﹣1+4+2t=0，

解得t=﹣．

故选：B．

5．已知tan（﹣α）=3，则等于（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】展开二倍角的正弦公式和余弦公式，整理后化为含有tanα的代数式，则答案可求．

【解答】解：由tan（﹣α）=3，

得tanα=﹣3，

则==

=．

故选：C．

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（﹣）的值为（　　）

A．﹣1    B．1    C．﹣    D．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】结合函数的图象，由函数的最值求出A，由周期求出ω．由五点法作图的顺序求出φ的值，从而求得f（x）的解析式，进而求得f（﹣）的值．

【解答】解：由函数的图象可得A=2，

T=﹣（﹣）=π，

∴ω==2，

又∵（，0）在函数图象上，可得：2sin（2×+φ）=0，

∴由五点法作图可得：2×+φ=π，解得：φ=，

∴函数解析式为：f（x）=2sin（2x+），

∴f（﹣）=2sin[2×（﹣）+]=﹣2sin=﹣1．

故选：A．

7．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=cos（2x+）的图象（　　）

A．向右平移个单位    B．向左平移个单位

C．向左平移个单位    D．向右平移个单位

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】利用诱导公式以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：把函数y=cos（2x+）=sin（+2x+）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，

可得函数y=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象，

故选：A．

8．已知向量与向量满足||=3，||=2，||=2，则与的夹角为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【分析】设与的夹角为θ，由条件利用两个向量的数量积的定义，求得cosθ的值，可得θ的值．

【解答】解：设与的夹角为θ，∵||=3，||=2，||=2，

∴4+4+=4×13，即4×9+4×3×2×cosθ+4=4×13，

求得cosθ=，∴θ=，

故选：C．

9．若tan（α﹣β）=，tan（α+β）=，则tan2β等于（　　）

A．    B．    C．﹣    D．﹣

【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．

【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．

【解答】解：∵tan（α﹣β）=，tan（α+β）=，则tan2β=tan[（α+β）﹣（α﹣β）]= = =﹣，

故选：C．

10．若等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，则•=（　　）

A．1    B．﹣1    C．2    D．﹣2

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据等边三角形的性质和向量的数量积公式计算即可．

【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，

∴=﹣=﹣， =﹣（+）=﹣（+），

∴•=﹣（﹣）=2=﹣=﹣1

11．已知定义在R上的函数f（x）是周期为3的奇函数，当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，则函数f（x）在区间[0，5]上零点个数为（　　）

A．0    B．8    C．7    D．6

【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．

【分析】讨论函数在一个周期内的函数解析式，再求零点，再由周期3，确定在区间[0，5]内的零点个数．

【解答】解：由于定义在R上的函数f（x）是周期为3的奇函数，

则当﹣＜x＜0时，0＜﹣x＜，由于当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，

则有f（﹣x）=sin（﹣πx）=﹣sinπx，又f（﹣x）=﹣f（x），

即有f（x）=sinπx（﹣＜x＜0），由于f（0）=0，

则有f（x）=sinπx（﹣），

令sinπx=0，解得，πx=kπ（k∈Z），即x=k，

在﹣时，x=﹣1，0，1，f（x）=0，即一个周期内有3个零点，

在区间[0，5]上，f（0）=0，f（1）=0，f（2）=f（﹣1）=0，f（3）=0，

f（4）=f（1）=0，f（5）=f（2）=0，

则共有6个零点．

故选D．

12．已知为锐角，则tan（x﹣y）=（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】同角三角函数间的基本关系．

【分析】把已知的两个条件两边分别平方得到①和②，然后①+②，利用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式即可求出cos（x﹣y）的值，然后根据已知和x，y为锐角得到sin（x﹣y）小于0，利用同角三角函数间的关系由cos（x﹣y）的值即可求出sin（x﹣y）的值，进而得到答案．

【解答】解：由，，

分别两边平方得：sin2x+sin2y﹣2sinxsiny=①，

cos2x+cos2y﹣2cosxcosy=②，

①+②得：2﹣2（cosxcosy+sinxsiny）=，

所以可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，

因为＜0，且x，y为锐角，

所以x﹣y＜0，所以sin（x﹣y）=﹣=﹣．

所以tan（x﹣y）=．

故选B．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．设向量=（﹣1，3），=（2，x），若∥，则x=　﹣6　．

【考点】平行向量与共线向量．

【分析】利用向量共线定理即可得出．

【解答】解：∵∥，∴﹣x﹣6=0，解得x=﹣6．

故答案为：﹣6．

14．若扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为　16　cm2．

【考点】扇形面积公式．

【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r=4，l=8，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．

【解答】解 设扇形的半径为r，弧长为l，则有，得r=4，l=8，

故扇形的面积为S==16．

故答案为：16．

15．已知函数y=acos（2x+）+3，x∈[0，]的最大值为4，则实数a的值为　2或﹣1　．

【考点】复合三角函数的单调性．

【分析】由x∈[0，]⇒2x+∈[，]，利用余弦函数的单调性，结合题意即可求得实数a的值．

【解答】解：∵x∈[0，]，

∴2x+∈[，]，

∴﹣1≤cos（2x+）≤，

当a＞0时，﹣a≤acos（2x+）≤a，

∵ymax=4，

∴a+3=4，

∴a=2；

当a＜0时， a≤acos（2x+）≤﹣a

同理可得3﹣a=4，

∴a=﹣1．

综上所述，实数a的值为2或﹣1．

故答案为：2或﹣1．

16．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为　　．

【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．

【分析】设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），求出|MN|的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值．

【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），

x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），

则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|

=|sin（a﹣）|≤．

故答案为：．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．已知向量=（2，﹣1），=（x，1）（x∈R）．

（1）若的夹角为锐角，求x的范围；

（2）当3=（4，y）时，求x+y的值．

【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【分析】（1）根据的夹角为锐角时•＞0，列出不等式求出x的取值范围；

（2）根据向量相等与坐标运算，列出方程组求出x、y的值即可．

【解答】解：（1）向量=（2，﹣1），=（x，1），

当的夹角为锐角时， •＞0，

即2x﹣1＞0，

解得x＞；

（2）∵3﹣2=（6﹣2，x﹣5），

当3=（4，y）时，

有，

解得x=1，y=﹣5，

∴x+y=1﹣5=﹣4．

18．已知sinα+cosα=（＜α＜π），求下列各式的值：

（1）sinα﹣cosα；

（2）sin2（﹣α）﹣cos2（+α）．

【考点】两角和与差的正弦函数．

【分析】（1）把已知等式两边平方，求出2sinαcosα=﹣，再由sinα﹣cosα=求得sinα﹣cosα；

（2）利用诱导公式及倍角公式变形即可求得答案．

【解答】解：（1）由sinα+cosα=，得1+2sinαcosα=，

∴2sinαcosα=﹣，

则sinα﹣cosα==；

（2）由，解得sinα=．

∴sin2（﹣α）﹣cos2（+α）=cos2α﹣sin2α=cos2α

=1﹣2sin2α==．

19．已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．

（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．

【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．

∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，

则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣

=4sinx（cosx+sinx）﹣

=2sinxcosx+2sin2x﹣

=sin2x+（1﹣cos2x）﹣

=sin2x﹣cos2x

=2sin（2x﹣），

则函数的周期T=；

（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，

得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，

当k=0时，增区间为[﹣，]，k∈Z，

∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，]，

由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，

得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，

当k=﹣1时，减区间为[﹣，﹣]，k∈Z，

∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣]，

即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣]，增区间为[﹣，]．

20．已知=（2sinα，1），=（cosα，1），α∈（0，）．

（1）若∥，求tanα的值；

（2）若•=，求sin（2α+）的值．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】（1）由即可得到2sinα﹣cosα=0，从而可求出tanα的值；

（2）进行数量积的坐标运算，根据即可求得，由α的范围便可求出cos2α的值，从而求出的值．

【解答】解：（1）∵；

∴2sinα﹣cosα=0；

∴2sinα=cosα；

∴；

（2）；

∴；

∵；

∴；

∴；

∴=．

21．已知sin2α=，α∈（0，），sin（β﹣）=，β∈（，）．

（1）求sinα和cosα的值；

（2）求tan（α+2β）的值．

【考点】两角和与差的正切函数．

【分析】（1）由已知求出cos2α，再由降幂公式求得sinα和cosα的值；

（2）由已知利用配角思想求出sin2β、cos2β的值，得到tan2β，再由（1）求出tanα，代入两角和的正切得答案．

【解答】解：（1）∵α∈（0，），∴2α∈（0，），

又sin2α=，∴cos2α=，

由cos2α=1﹣2sin2α，得

，

∴cosα=；

（2）由β∈（，），得∈（0，），

又sin（β﹣）=，∴cos（β﹣）=，

∴sinβ=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin

=（）×=．

则cosβ=．

∴sin2β=2sinβcosβ=2×=．

则cos2β=，

∴tan2．

由（1）知，tan，

∴tan（α+2β）===．

22．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，x∈R．

（1）若对于任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；

（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．

【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣），由恒成立只需fmin（x）≥a即可，求三角函数区间的最值可得；

（2）由函数图象变换可得g（x）=sinx，可得g（x）﹣=0的零点，由三角函数的对称性可得．

【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），

∵x∈[﹣，]，可得：2x﹣∈[﹣，]，

∴f（x）=sin（2x﹣）∈[﹣，1]，

∵若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a成立，则只需fmin（x）≥a即可．

∴可得：a∈（﹣∞，﹣]．

（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得函数解析式为y=sin（x﹣），

再向左平移个单位得到函数y=g（x）=sinx，

由g（x）﹣=0得sinx=，

由图可知sinx=在[﹣2π，4π]上有6个零点：x1，x2，x3，x4，x5，x6．

根据对称性有=﹣， =， =，

∴所有零点和为x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π．

2017年2月21日