二次函数中的三角形的存在性问题

1．由动点产生的等腰三角形问题

(２0１2•扬州）如图，抛物线y＝ax２＋bx＋c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(０ ,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1）求抛物线的函数关系式;

（2)设点P是直线l上的一个动点，当△ＰＡC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形,若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．

         　    　    　        　备用图

2.由动点产生的直角三角形问题

（２013•攀枝花）如图,抛物线ｙ=aｘ2＋bx+c经过点A(-3，0)，B(1.０),C(0,-3）.

（１）求抛物线的解析式;

(2）若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PＡC的面积为Ｓ,求S的最大值并求出此时点Ｐ的坐标;

(3）设抛物线的顶点为Ｄ,ＤE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．

　　 　 　 备用图

3.由动点产生的等腰直角三角形

例.　(２011•东营)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点Ａ（０，２),点Ｃ(１,0）,如图所示,抛物线y=ax２-ax-2经过点Ｂ．

（１）求抛物线的解析式；

(2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外),使△AＣP仍然是以AＣ为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

方法规律

1、平面直角坐标系中已知一条线段,构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心,线段长度为半径作圆,再作线段的垂直平分线;

２、平面直角坐标系中已知一条线段,构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆;

3、平面内有两点A(ｘ１,y１)， Ｂ(x2,ｙ3）,则AB=      　　  　 　       ,AB中点的坐标为             。  　    

4、求三角形的面积:（１）直接用面积公式计算；（2）割补法;（3)铅垂高法；

5、平面直角坐标系中直线l1和直线l２: 

当l1 ∥l2时k1= k２;    　   　      　   　当l1　⊥l2时k1·k2= －1

实战训练

1、如图，在平面直角坐标系xＯｙ中,A（0,2)，B(0，６）,动点C在直线ｙ=x上．若以A、B、Ｃ三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是（ 　 　　 )

　   　A．2    　 　　　　B.3 　       　C．4   　     Ｄ.5

2、(２0０7•龙岩)如图，抛物线y＝aｘ２－５aｘ+4经过△ＡBC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上，点C在y轴上,且AC＝BＣ.

(1）求抛物线的对称轴;ﻫ(２)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式;ﻫ（3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在△ＰAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.

3、（2００7•泰安)如图,在中，,,，将绕点按逆时针方向旋转至,点的坐标为（0，４）．

(１)求点的坐标;

(2）求过，，三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点,使以为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由。

4、（2010•梅州）如图,直角梯形OABC中,OC∥AB,C（０,３)，B（4，1)，以BC为直径的圆交x轴于Ｅ，D两点(D点在Ｅ点右方).ﻫ(1)求点E，Ｄ的坐标；

（2）求过B，Ｃ,D三点的抛物线的函数关系式；

(3)过B,C，Ｄ三点的抛物线上是否存在点Q,使△BDQ是以BＤ为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由;若存在,求出点Q的坐标．