大一高等数学复习题(含答案)

一、单项选择题：

1、的定义域是（ D  ）

A、 、

C、 、

2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x2)的定义域是（  B  ）

A、[1，2]     B、[1，]、 、

3、函数

A、是奇函数，非偶函数 、是偶函数，非奇函数

C、既非奇函数，又非偶函数  D、既是奇函数，又是偶函数

解：定义域为R，且原式=lg(x2+1-x2)=lg1=0

4、函数的反函数（ ）

A、 、

C、 、

5、下列数列收敛的是（ ）

A、 、

C、 、

解：选项A、B、D中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C的数列极限为0

6、设，则当 时，该数列（  C  ）

A、收敛于0、收敛于0、收敛于 、发散

解：

7、“f(x)在点x=x0处有定义”是当xx0时f(x)有极限的（  D  ）

A、必要条件 、充分条件 、充分必要条件 、无关条件

8、下列极限存在的是（ ）

A、 、

C、 、

解：A中原式  

9、=（  A  ）

A、 、2、0、不存在

解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得

10、（   B   ）

A、1、2、 、0

解：原式=

11、下列极限中结果等于e的是（ B  ）

A、 、

C、 、

解：A和D的极限为2，  C的极限为1

12、函数的间断点有（ ）个

A、1、2、3、4

解：间数点为无定义的点，为-1、0、1

13、下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（ B）

A、  、

C、 、

解：A中极限为无穷大，所以为第二类间断点

B中极限为1，所以为可去间断点

C中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点

D中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点

14、下列结论错误的是（  A  ）

A、如果函数f(x)在点x=x0处连续，则f(x)在点x=x0处可导

B、如果函数f(x)在点x=x0处不连续，则f(x)在点x=x0处不可导

C、如果函数f(x)在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处连续

D、如果函数f(x)在点x=x0处不可导，则f(x)在点x=x0处也可能连续

15、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f’(0)=(   A   )

A、6、3、2、0

16、设f(x)=cosx，则（    B   ）

A、 、 、 、

解：因为原式=

17、，则（  D  ）

A、 、

C、 、

18、f(x)在点x=x0处可微，是f(x)在点x=x0处连续的（  C  ）

A、充分且必要条件 、必要非充分条件

C、充分非必要条件 、既非充分也非必要条件

19、设，则（   A   ）

A、 、n、 、n!-2

20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（  A  ）

A、y=x2-，3]        B、 ，2]

C、 ，1]       D、 ，5]

21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（  B  ）

A、 、 、 、

22、设，则当x趋于0时（ ）

A、f(x)与x是等价无穷小量 、f(x)与x是同阶非等价无穷小量

C、f(x)是比x较高阶的无穷小是 、f(x)是比x较低阶的无穷小量

解：利用洛必达法则

23、函数在区间（-1，1）内（  D  ）

A、单调增加 、单调减少 、不增不减 、有增有减

24、函数在（-1，1）内（  A  ）

A、单调增加 、单调减少 、有极大值 、有极小值

25、函数y=f(x)在x=x0处取得极大值，则必有（  D  ）

A、f ’(x0)、f ”(x0)<0

C、f ‘(x0)=0且f “(x0)、f ‘(x0)=0或f ‘(x0)不存在

26、f ‘(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（  B  ）

A、必要充分条件 、充分非必要条件

C、必要非充分条件 、既非必要也非充分条件

27、函数y=x3+12x+1在定义域内（  A  ）

A、单调增加 、单调减少 、图形上凹 、图形下凹

28、设函数f(x)在开区间（a，b）内有f ‘(x)<0且f “(x)<0，则y=f(x)在(a，b)内（ C  ）

A、单调增加，图形上凹 、单调增加，图形下凹

C、单调减少，图形上凹 、单调减少，图形下凹

29、对曲线y=x5+x3，下列结论正确的是（  D  ）

A、有4个极值点 、有3个拐点 、有2个极值点 、有1个拐点

30、若，则f(x)=（   D   ）

A、 、 、 、

31、已知，且x=1时y=2，则y=(  C  )

A、x2 、x2+、x2+、x2+2

32、（ ）

A、 、+、 、+C

33、设存在，则（  B  ）

A、f、 、f、+C

34、若，则（ D  ）

A、 、

C、 、

解：

35、设，则（  D  ）

A、a、 、 、x+C

解：原式=

36、设，则（  C  ）

A、 、  C、  D、lnx+C

解：原式=

37、设，则（ ）

A、 、

C、 、

解：对两端关于x求导得

，即，

所以

38、若sinx是f(x)的一个原函数，则（  A  ）

A、x、xsinx+cosx+C  

C、x、xsinx-cosx+C

解：由sinx为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx，则使用分部积分公式得

39、设，则f(x)=（ ）

A、1、x、 、xlnx-x+C

40、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（  A  ）

A、 、 、 、

解：选项A中被积函数在[0，5]上连续，选项B、C、D中被积函数均不能保证在闭区间上连续

41、（  A  ）

A、0、 、 、

42、使积分的常数k=（  C  ）

A、4、-、8、-80

解：原式=

43、设，则 （  B  ）

A、 、 、 、

解：

44、，则（  B  ）

A、-、2、-、1

解：dy/dx=(x+1)2(x+2)

45、下列广义积分收敛的是（  B  ）

A、 、 、 、

解：四个选项均属于，该广义积分当p<1时收敛，大于等于1时发散

二、填空题

1、（           ）

解：原式=+C

2、已知一函数的导数为，且当x=1时，函数值为，

则此函数F(x)=(         )

解：

3、曲线的上凸区间是（  （）     ）

解：

4、（                 ）

解：

5、若f(x)的一个原函数是sinx，则（  -sinx+C        ）

解：

6、设，其中，则（        ）

解：

7、曲线上对应于的点外的法线斜率为（          ）

8、设，而，则（            ）

解：

9、（            ）

10、设，则f(x)的间断点为x=（   0    ）

解：x不等于0时，

   X=0时，f(x)=f(0)=0,显然x不等于0时，f(x)=1/x 连续，又

三、计算题

1、求极限

参：

原式=

2、求极限

参： 

利用等价无穷小：

原式=

3、设，求

参： 

4、求由方程所确定隐函数的二阶导数

参： 

把原方程两边对自变量x求导，得 

解得

则

5、近似计算数的值，使误差不超过10-2

参： 

令x=1

要使误差，只需

经计算，只需取n=5,所以

6、讨论函数的凸性与相应曲线拐点

参： 

函数的定义为R

由可得x=0,1/2

列表如下：

拐点为（0，0）和

7、求函数的单调区间、极值点

参：

定义域为．

由，令得驻点，列表给出单调区间及极值点：

8、求由所围图形的面积

参： 

9、设，求．

参：

方法一：先作变量代换

　　　　　．

方法二：先给出，于是

10、求曲线在A（-1，0），B（2，3），C（3，0）各点处的切线方程

参： 

在A（-1，0）点处，

所以在A点处的切线方程为

而在B（2，3）点处，

所以在B点处的切线方程为y-3=0

又在C（3，0）点处，不存在，即切线与x轴垂直

所以C点处的切线方程为x=3

11、在区间上，曲线与直线所围成的图形分别绕x轴和y轴所产生的放置体的体积。

参：

绕x轴所产生的体积为

绕y轴所产生的体积为：

四、证明题（每小题5分，共10分）

1、设是满足的实数。

证明多项式在（0，1）内至少有一个零点

参： 

令

显然F（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，

且F（0）=0，

由罗尔定理得，在（0，1）内至少存在一点ξ，使，

即

从而在（0，1）内至少有一个零点

2、证明方程x=asinx+b，且a>0,b>0至少有一个正根，且不超过a+b

参：（写出辅助函数1分，证明过程4分）

令f(x)=x-asinx-b

显然f(x)是一个初等函数，所以在[0，a+b]上连续

又f(x)在端点处的函数值有f(0)=-b<0

且f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b

=a-asin(a+b)

=a[1-sin(a+b)]>=0

若f(a+b)=0,则a+b为方程的根

若f(a+b)>0，由零点存在定理可知，在（0，a+b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0

此即说明方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根

3、

参： 

（一）先证存在性

（二）再证唯一性

4、

参：（写出辅助函数并说明满足拉格朗日定理条件2分，余下步骤3分）

于是由拉格朗日中值定理，可得

，所以