(文数)湛江市2013届高中毕业班调研测试

数学（文科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 锥体的体积公式：h S V ⋅⋅=

3

1，其中S 是底面面积，h 是高. 一组数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的方差])()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-= ，其中x 为 n x x x ,,,21⋅⋅⋅的平均数．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的．

1．已知i 是虚数单位，则复数)1(i i +=

A.-1-i

B.-1+i

C.1+i

D.1-i

2．函数x x e e x f --=)(是

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数也不是偶函数

3．设集合}|{},2|{2

x x x A x x U <=<=，则=A C U

A ．φ

B ．}21|{<≤x x

C ．}210|{<≤≤x x x 或

D ．}201|{<≤-≤x x x 或 4．已知函数⎩

⎨⎧≤+>=010log )(2x x x x x f ，若2)(=a f ，则a= A ．4 B ．2 C ．1 D ．-1

5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若8,104==as a ，则8S =

B.36

C.54

D.72

6．曲线x x f ln )(=在x=1处的切线方程为

A ．x y = B.1-=x y

C.1+=x y

D.1+-=x y

7．已知R m ∈，则“2>m ”是“方程112

22

=+-y m x 表示椭圆”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．如图是一个算法的程序框图，当输入的x 等于5时，其输出的结果是

A ．21

B ．321

C.2

D.4

9．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是

A ．3π

B ．2π

C ．4π

D ．π

10．函数2cos sin )(-=x x

x f 的值域是

A ．[-2，2]

B ．]21

,21

[-

C ．]33

,33

[- D ．]3,3[-

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题(11～13题)

11．已知向量)2,(x m =，向量)1,1(-=n ，若n ⊥m ，则x=________.

12．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高

（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如

图）．由图中数据可知a=____.

13．已知实数满足条件，⎪⎩⎪⎨⎧

≥+-≥≥0

110

y x y x

设目标函数y x z +=，则z 的最小值为_________．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆θρcos 34=的圆心到直线

)(3R ∈=ρπ

θ的距离是______.

15．（几何证明选讲选做题）

如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线

PCD 经过圆心，若PA=3，AB=1，PO=4，则⊙O 的半径为____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分） 已知函数a x x x f ++=3cos 3sin 3)(过点)0,3

(π. (1)求a 的值及函数)(x f y =的最小正周期；

(2)若]3,0[πβ∈且2)3(=βf ，求)6cos(π

β+的值．

17.（本小题满分13分）

底面是正方形的四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD,E 是1CC 的中

点，O 是AC 、BD 的交点．

(1)求证：//1AC 平面BDE ；

(2)求证：平面⊥BDE 平面ACC 1.

18．（本小题满分13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．

(1)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为4

35，求X 及乙组同学投篮命中次数的方差； (2)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的投篮命中次数之和为19的概率．

19．（本小题满分14分）

已知等差数列}{n a 的公差为)0(=/d d ，

等比数列}{n b 的公比为352211,,1,b a b a b a q ====.

(1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；

(2)若n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和S n ．

20．（本小题满分14分）

已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．

(1)求抛物线方程；

(2)过M 作FA MN ⊥，垂足为N,求点N 的坐标；

(3)以M 为圆心，MB 为半径作⊙M ，当K(m ，0)是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与⊙M 的位置关系．

21．（本小题满分14分）

已知函数)(x f 的图象由函数)0(2

142)411(

)(11=/-+⋅-=--a a a x g x x 向左平移1个单位得到．

(1)求函数)(x f 的表达式；

(2)当a=1时，求函数)(x f 的最小值；

(3)若函数)(x f 的最小值是m ，且7>m ，求实数a 的取值范围.

参

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.B

2.A

3.C

4.A

5.D

6.B

7.A

8.C

9.B 10.C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.2 12.0.030 13.1 14.3 15.2

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16．（本小题满分12分）

解：(1)依题意得

0)3

3cos()33sin(3=+⨯+⨯a π

π …1分 解得1=a …3分 由=++=

a x x x f 3cos 3sin 3)(1)6

3sin(2++πx ……5分 ∴函数)(x f y =的最小正周期3

2π=T . ……7分 (2)21)6

sin(2)3(=++=πββf . …8分 2

1)6sin(=+∴πβ. ………9分 ]3

,0[πβ∈ ]2,6[6πππβ∈+∴ …10分 23)6

(sin 1)6cos(2=+-=+∴πβπβ. …………12分

17．（本小题满分13分）

(1)证明：连结OE

正方形ABCD 中，BD AC ⊥，O 是AC 中点

∵E 是CC 1中点.

1ACC ∆∴中，1//AC EO . ……3分

⊂EO 平面BDE ，⊂/1AC 平面BDE ．

//1AC ∴平面BDE. …6分

(2)证明：∵侧棱⊥1AA 底面ABCD ，且11//AA CC .

BD CC ⊥∴1. ……8分

BD AC ⊥

⊥∴BD 平面ACC 1． ………12分

⊂BD 平面BDE

∴平面⊥BDE 平面ACC 1． ……13分

18．（本小题满分13分）

解(1)当平均数为4

35时，由茎叶图可知，乙组同学的投篮命中次数是：X ，8，9，10， 所以4

3541098=+++=X x 8=∴X . ……3分 方差222)4359()4358[(41-+-=s 16

11])43510(2=-+. …………6分 (2)记甲组四名同学为4321,,,A A A A ，他们投篮命中次数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为4321,,,B B B B ，他们投篮命中次数依次为9，8，9，10， ………8分 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：

),(),,(),,(),,(41312111B A B A B A B A ，

),(),,(),,(),,(42322212B A B A B A B A ，

),(),,(),,(),,(43332313B A B A B A B A ，

),(),,(),,(),,(44342414B A B A B A B A ， …10分

用C 表示：“选出的两名同学的投篮命中次数和为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：),(),,(),,(),,(24234241B A B A B A B A ， 故所求概率为4

11)(==C P . …13分

19.（本小题满分14分）

解：(1)由条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2411q d q d ……2分

解之得：⎩⎨⎧==3

2q d ……4分 13,12-=-=∴n n n b n a . …………6分

(2)++⋅+⋅+⋅= 21353311n S 123)12(3)32(-⋅-⋅-+⋅-n n n n ………8分 ++⋅+⋅+⋅=∴ 323533313n S n n n n 3)12(3)32(1⋅-+⋅-- …10分

两式相减得：n n n n S 3)12()3333(212132⋅--+++++=--

n n n 3)12(3

1333211---⋅-⋅+=- n n 3)22(2⋅-+-= …………12分

13)1(+⋅-=∴n n n S . …14分

20.（本小题满分14分）

解：(1)抛物线px y 22=的准线为2

p x -= 52

4=+∴p 2=∴p . ………3分 ∴抛物线方程为x y 42=. …4分

(2)∵点A 的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．

又∵F(1，0) 34=

∴FA k ， FA MN ⊥ 43-=∴MN

k . ∴FA 的方程为)1(34-=x y ，MN 的方程为x y 4

32-=-. …………6分 解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=x y x y 432)1(34得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==54

58y x )54,58(N ∴. ………8分 (3)由题意得，⊙M 的圆心是点M(0，2)，半径为2．

当m=4时，直线AK 的方程为x=4，此时，直线AK 与⊙M 相离； ………10分 当4=/m 时，直线AK 的方程为)(44m x m y --=

，即04)4(4=---m y m x . 圆心M(0，2)到直线AK 的距离2)4(168

2-++=m m d ，

令d>2，解得m>1． ……13分 ∴综上所述

当m>1时，直线AK 与⊙M 相离；

当m=1时，直线AK 与⊙M 相切；

当m<1时，直线AK 与⊙M 相交. ………14分

21．（本小题满分14分）

解：(1)依题意：x

x a a x f 2142)411()(-+

⋅-= …………2分 (2)当a=1时， 32

3243223243)(=⋅⋅⋅≥+⋅=x x x x x f （当且仅当x x 2

3243=⋅，即x=1时取等号） …………4分 ∴当a=1时函数)(x f 的最小值是3． …………5分 (3)2ln 2)411()('⋅⋅-=x a x f 21ln 2

)14(⋅-+x a ………7分 x x a a 2

)]14()2()411[(2ln 2--⋅-⋅= ∴由0)('>x f 得：14)2()44(2->⋅-a a

a x (*) ……………8分 ①当⎪⎩

⎪⎨⎧<-<-014044a a a ，即：a<0时，a a a x --<4)14(4)2(2. 即：当a

a a x --<4)14(4log 2时，函数)(x f 递增； 当a a a x -->4)14(4log 2

时，函数)(x f 递减， ∴函数)(x f 只有最大值，矛盾； …………10分

②当⎪⎩

⎪⎨⎧≤->-014044a a a ，即：410≤③当⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0

14044a a a ，即a≥4时，(*)式的解集为φ．

此时函数)(x f 单调递减，不存在最小值； ………12分

④当⎪⎩

⎪⎨⎧>->-014044a a a ，即441<4)14(4)2(2. ∴当a

a a x -->4)14(4log 2时，函数)(x f 递增， 当a

a a x --<4)14(42log 时，函数)(x f 递减， ∴函数)(x f 当a a a x --=4)14(42

log 时有最小值a a a 4)14)(4(2--. 74)14)(4(2>--∴a

a a . 221<<∴a . 综上所述，满足题设条件的实数a 的取值范围是)2,2

1(. ……14分 注：如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.