谈谈几何平均数在计算平均发展速度中的应用

    几何平均数(Geometric mean)，也称几何均值，它是n个变量值乘积的n次方根，计算公式为：

                           (1)

式中：G为几何平均数，连乘符号。

    几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算比率或速度平均。当所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率时，就应采用几何平均法计算平均比率。在实际应用中，几何平均数主要用于计算社会经济现象的年平均发展速度。

    当各个变量值出现的次数不同时，计算几何平均数应采用权数的形式。几何平均数权数型的计算公式为：

                    (2)

式中：f表示各变量值的次数(或权数)，表示次数(或权数)的总和。

    平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，用于描述现象在整个观察期内平均发展变化的程度。计算平均发展速度的方法主要有水平法和累计法，其中水平法是最常用的方法。

    计算平均发展速度的水平法，又称几何平均法，它是根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的。下面对此方法的计算公式和应用作一剖析。

    假定时间数列为。其中为最初水平，为第1期发展水平，为第2期发展水平，其它依次类推，为末期发展水平。

则有：，，，……，。

上述分别代表各期环比发展速度。

    另外，我们知道定基发展速度等于相对应的各期环比发展速度的连乘积，即

                              (3)

将分别代入式(3)，得

                                (4)

在式(4)中，假定各期环比发展速度均相等，且都为，则式(4)化为：

则得到                                        (5)

式(5)中的实际上就是平均发展速度，对式(5)继续简化得：

                                               (6)

把式(3)代入式(6)，也可得出：    

                         (7)

式(6)和式(7)都是平均发展速度的常用计算公式。

实际上，式(7)就是式(1)即几何平均数的计算公式。上述的演算过程，事实上就是几何平均数的推导过程。

计算平均发展速度的水平法，其计算思路是：设最初水平为，以后每期均以的环比发展速度发展，则到n期后达到的理论水平等于其实际水平()。所以，该方法称其谓“水平法”。

按水平法计算的平均发展速度只取决于最初水平和最末水平，而与中间各期的水平无关，所以不能据此来推算中间各期的水平。实际应用中，如果现象发展在一定时期内是持续上涨或下降，且不是大起大落，目的是考核末期的水平，如GDP的变化，人口规模的变化，可用此方法来计算。另外，水平法同样有几何平均数的局限性，不能处理发展水平出现0或负数的情况。

例一、某学院近几年来的招生规模不断扩大，2000年比1999年增长10%，2001年比2000年增长15%，2002年比2001年增长20%，2003年比2002年增长18%，试计算该学院近四年来平均每年的发展速度和平均每年的增长速度。

解：该题告知的是连续四年的环比增长速度，应先化为环比发展速度，然后利用水平法计算平均发展速度，再计算平均增长速度。做类似的题目要用多功能的计算器，否则非常困难。采用“”或“”的功能键进行演算。

=115.69%

平均增长速度=平均发展速度-100%=115.69%-100%=15.69%

    所以，该学院近四年来平均每年的发展速度为115.69%,平均每年的增长速度为15.69%。

例二、某县1980年年初人口数为32万，当时计划到本世纪末(1999年末) 的人口总数控制在45万人之内，实际到1996年5月15日的人口总数就达到45万人。问：

⑴按原计划，1980年初到1996年5月15日的人口年平均增长速度为多少？

⑵按原计划，到1996年5月15日止，该县人口数应该是多少？

⑶实际1980年初到1996年5月15日止的人口年平均增长速度为多少？

⑷按照1980年初到1996年5月15日的实际增长速度增长，到2000年初，该县人口数将达到多少万？

解：⑴要计算平均增长速度，则先要计算平均发展速度。做类似的题目，一定要弄清楚时期数n，否则多算一年或少算一年都达不到预定的结果。该小题尽管问的是1980年初到1996年5月15日，但要计算的还是按原计划，即1980年年初到1999年末的人口发展速度。人口数是时点指标，从1980年年初到1999年末间隔20年，所以n=20。利用式(6)计算如下：

          =1.0172或101.72%

    该期内人口年平均增长速度为：101.72%－100%=1.72%

⑵要计算到1996年5月15日止该县的人口数，当然它的平均发展速度是上小题的101.72%，本小题的关键是测算1980年年初到1996年5月15日止间隔了多少时间，我们这里仍以年为单位，1980年年初到1995年年底跨了16年，再1996年初到同年5月15日止又有4.5/12年，所以n=16+4.5/12=16.375。利用式(5)计算：

到1996年5月15日止的人口数＝32= 42.3086(万人)                                           

⑶1980年初到1996年5月15日止跨16.375年，即n=16.375，利用式(6)计算。

       =102.10%

实际平均增长速度＝102.10%－100%＝2.10％         

⑷按照1980年初到1996年5月15日的实际增长速度，即2.10%，则发展速度为102.10%，可用公式计算：

2000年初的人口数＝32(1.021)20  ＝48.49(万人)   

例三、某煤矿1995年煤炭产量为25万吨。

⑴规定“九五” 期间(1996年至2000年) 每年平均增长4%，以后每年平均增长5%，问到2003年煤炭产量将达到什么水平？

⑵如果规定2003年煤炭产量是1995年产量的4倍，且“九五”期间每年平均增长速度为5%，问以后需要每年平均增长速度多少才能达到预定的产量水平？

解：⑴本小题分两个阶段，且有不同的平均增长速度。这里也要计算n，1996年至2000年有5年，n1=5；2001年至2003年有3年，n2=3。

=25×1.045 ×1.053=35.21(万吨)

⑵设后三年的平均增长速度为x，则

4=(1.05)5×(1+x)3

x==46.34%

所以后三年平均增长速度要46.34%才能达到预定的产量水平。

例四、某地区1998年底人口数为2000万人，假定以后每年以9‰的增长率增长；又假定该地区1998年粮食量为120亿斤，要求2003年平均每人粮食达到800斤，试计算2003年粮食产量应达到多少？粮食产量每年平均增长速度如何？

解：先计算该地区2003年人口将达到什么水平

2003年该地区人口数=(万人)

该地区要求粮食产量=2091.6×800=167.33(亿斤)

粮食产量平均增长速度=

所以，2003年粮食产量应达到167.33(亿斤)，粮食产量每年平均增长速度为6.88%。

（注：该题中假定人均粮食产量以期末人口数计算）