...第二册数学第六章_平面向量及其应用单元测试卷含答案

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

 一、 选择题 （本题共计 10 小题  ，每题 6 分 ，共计60分 ， ） 

1.  与向量，同向的单位向量是(        ) 

A.   

2.  已知非零向量，，若，则(        ) 

A.   

3.  已知，且，则等于（ ） 

A.   

4.  已知向量，，，若，则实数(        ) 

A.   

5.  已知向量，，则，的夹角为（ ） 

A.   

6.  化简所得的结果是（ ） 

A.   

7.  已知，，且，则向量与夹角的大小为（ ） 

A.   

8.  在中，，，为的中点，则(        ) 

A.   

9.  如图，在中，，为上一点，且满足，若,，则的值为(        )

A.   

10.  设，，向量，且，则  

A.   

 二、 填空题 （本题共计 6 小题  ，每题 6 分 ，共计36分 ， ） 

11.  已知，，且相异的三点、、共线，则实数________． 

12.  已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为________． 

13.  已知，，，则________． 

14.  在平面直角坐标系中，已知两点和，点满足，则点的坐标为________． 

15.  设，是两个不共线的向量，已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为________． 

16.  在中，，，是边的三等分点，若，则________． 

 三、 解答题 （本题共计 3 小题  ，每题 17 分 ，共计51分 ， ） 

17.  设是两个不共线的向量，若，试判断的位置关系. 

18.    

如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，用向量方法证明：四边形是平行四边形；

如图所示，在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，，.

设，求的值；

用，表示和.

19. 已知点，为坐标原点，函数.  

求函数在上的单调递增区间；

若为的内角，  ，，求周长的最大值．

参与试题解析

2021年人教A版（2019）必修第二册数学第六章 平面向量及其应用单元测试卷含答案

一、 选择题 （本题共计 10 小题  ，每题 6 分 ，共计60分 ） 

1.

【答案】

B

【考点】

平行向量的性质

单位向量

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：对于选项，它的模不为不是单位向量,

对于，，它们的模都是，是单位向量,

又,故中向量与平行

，故中的向量与不平行,

，故中向量与不平行.

故选.

2.

【答案】

B

【考点】

向量模长的计算

数量积判断两个平面向量的垂直关系

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：∵，，，

∴，

解得或，

∵为非零向量，

∴，

∴，

∴.

故选.

3.

【答案】

C

【考点】

平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】

根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出的值．

【解答】

解：∵，且，

∴，

解得．

故选：．

4.

【答案】

A

【考点】

数量积判断两个平面向量的垂直关系

平面向量数量积的运算

【解析】

可求出，，根据即可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出．

【解答】

解：，，

因为，

所以，

解得．

故选.

5.

【答案】

B

【考点】

数量积表示两个向量的夹角

【解析】

利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得的值，可得，的夹角的值．

【解答】

设，的夹角为，，∵向量，，

∴＝，

求得，∴，

6.

【答案】

C

【考点】

向量加减混合运算及其几何意义

【解析】

利用向量加法的三角形法则，，代入要求的式子化简．

【解答】

解：化简.

故选.

7.

【答案】

C

【考点】

数量积表示两个向量的夹角

平面向量数量积

【解析】

利用向量的夹角公式即可得出．

【解答】

解：∵，，且，

∴．

∴向量与夹角的大小为．

故选：．

8.

【答案】

D

【考点】

向量的线性运算性质及几何意义

平面向量数量积的运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由已知，，

所以

.

故选.

9.

【答案】

C

【考点】

平面向量数量积的运算

向量的三角形法则

【解析】

先求出的表达，进而利用题目所给信息进行求解即可.

【解答】

解：已知 ，

∵，

 ，

则.

三点共线，

，

即，

 .

已知，

则，

而 ，

故

 .

故选.

10.

【答案】

B

【考点】

数量积的坐标表达式

【解析】

根据平面向量的坐标公式，利用向量平行和向量垂直的坐标公式即可得到结论．

【解答】

解：∵，且，

∴且，

即，．

∴，

∴，

故选：．

二、 填空题 （本题共计 6 小题  ，每题 6 分 ，共计36分 ） 

11.

【答案】

【考点】

平行向量的性质

【解析】

利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出．

【解答】

解：∵，，且相异的三点、、共线，

∴，，

∴，

解得或，当时，，重合，故舍去，

故答案为：．

12.

【答案】

【考点】

向量的投影

【解析】

根据在方向上的投影为，，运算求得结果．

【解答】

解：根据在方向上的投影为，.

故答案为：．

13.

【答案】

【考点】

平面向量的坐标运算

【解析】

直接利用空间向量的坐标运算求解即可．

【解答】

解：，，，

则

故答案为：

14.

【答案】

【考点】

平面向量的坐标运算

【解析】

市场的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．

【解答】

解：设，点和，点满足，

可得，

可得，，解得，．

点的坐标为．

故答案为：．

15.

【答案】

【考点】

平面向量的基本定理及其意义

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：∵，

∴．

故答案为：．

16.

【答案】

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算

【解析】

由已知结合向量加法及减法的四边形法则可表示各边，然后结合余弦定理即可求解．

【解答】

解：以，为邻边作平行四边形，

则，，

若，

则，设，则，

由可得平行四边形为菱形，得，

则，，

，

．

故答案为：.

三、 解答题 （本题共计 3 小题  ，每题 17 分 ，共计51分 ） 

17.

【答案】

解：

，

∴，，三点共线．

【考点】

向量的共线定理

【解析】

由已知可得：，即可得出结论．

【解答】

解：

，

∴，，三点共线．

18.

【答案】

证明：设，，

则

所以，

所以四边形为平行四边形 . 

根据条件，

.

∵，，三点共线，

∴，

∴；

根据，，

.

【考点】

向量在几何中的应用

向量加减混合运算及其几何意义

向量的共线定理

【解析】

设，则，所以，所以平行且等于，所以四边形为平行四边形 . 

【解答】

证明：设，，

则

所以，

所以四边形为平行四边形 . 

根据条件，

.

∵，，三点共线，

∴，

∴；

根据，，

.

19.

【答案】

解：∵，，

∴ 

.

由，

可得，

∴函数在上的单调递增区间是和 .

∵，

∴.

又∵，

∴.

根据正弦定理可得 ，，

∴周长

，

∴周长的最大值为 .

【考点】

平面向量数量积坐标表示的应用

正弦函数的单调性

两角和与差的正弦公式

正弦定理

函数的最值及其几何意义

【解析】

解： ,

单调递增区间是和 .

因为，所以.

又因为，根据正弦定理可得 ,，

所以周长

所以，当时，周长最大为 .

【解答】

解：∵，，

∴ 

.

由，

可得，

∴函数在上的单调递增区间是和 .

∵，

∴.

又∵，

∴.

根据正弦定理可得 ，，

∴周长

，

∴周长的最大值为 .