基本知识
一、乘法公式与二项式定理
（1）
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（3）
（4）；
（5）
经典习题：
1.
二、因式分解
（1）
（2）；
（3）
三、分式裂项
（1） （2）
四、指数运算
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（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
五、对数运算
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（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
六、函数
1、若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有非空真子集的个数是。
二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和 （顶点式）。
2、幂函数 ，当n为正奇数，m为正偶数，m 由图象知，函数的值域是，单调递增区间是，单调递减区间是。 七、不等式 1、若n为正奇数，由可推出吗？ （ 能 ） 若n为正偶数呢？ （均为非负数时才能） 2、同向不等式能相减，相除吗 （不能） 能相加吗？ （ 能 ） 能相乘吗？ （能，但有条件） 3、两个正数的均值不等式是： 三个正数的均值不等式是： n个正数的均值不等式是： 4、两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 4、双向不等式是： 左边在时取得等号，右边在时取得等号。 八、数列 1、等差数列的通项公式是，前n项和公式是： =。 2、等比数列的通项公式是， 前n项和公式是： 3、当等比数列的公比q满足<1时，=S=。一般地，如果无穷数列的前n项和的极限存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的和），用S表示，即S=。 4、若m、n、p、q∈N，且，那么：当数列是等差数列时，有；当数列是等比数列时，有。 5、等差数列中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=60； 6、等比数列中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=70； 九、排列组合、二项式定理 a)加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ 加法分类，类类；乘法分步，步步相关。 2、排列数公式是：==； 排列数与组合数的关系是： 组合数公式是：==； 组合数性质：= += = = 3、二项式定理： 二项展开式的通项公式： 一十、解析几何 a)沙尔公式： b)数轴上两点间距离公式： c)直角坐标平面内的两点间距离公式： d)若点P分有向线段成定比λ，则λ= e)若点，点P分有向线段成定比λ，则：λ==； = = 若，则△ABC的重心G的坐标是。 6、求直线斜率的定义式为k=，两点式为k=。 7、直线方程的几种形式： 点斜式：， 斜截式： 两点式：， 截距式： 一般式： 经过两条直线的交点的直线系方程是： 8、直线，则从直线到直线的角θ满足： 直线与的夹角θ满足： 直线，则从直线到直线的角θ满足： 直线与的夹角θ满足： 9、点到直线的距离： 10、两条平行直线距离是 11、圆的标准方程是： 圆的一般方程是： 其中，半径是，圆心坐标是 思考：方程在和时各表示怎样的图形？ 12、若，则以线段AB为直径的圆的方程是 经过两个圆 ， 的交点的圆系方程是： 经过直线与圆的交点的圆系方程是： 13、圆为切点的切线方程是 一般地，曲线为切点的切线方程是：。例如，抛物线的以点为切点的切线方程是：，即：。 注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。 14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即： 判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离； 考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。 一十一、立体几何 1、体积公式： 柱体：，圆柱体：。 斜棱柱体积：（其中，是直截面面积，是侧棱长）； 锥体：，圆锥体：。 台体：， 圆台体： 球体：。 4、侧面积： 直棱柱侧面积：，斜棱柱侧面积：； 正棱锥侧面积：，正棱台侧面积：； 圆柱侧面积：，圆锥侧面积：， 圆台侧面积：，球的表面积：。 5、几个基本公式： 弧长公式：（是圆心角的弧度数，>0）； ； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：。 经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为，轴截面顶角是θ）： 十一、比例的几个性质 1、比例基本性质： 2、反比定理： 3、更比定理： 5、合比定理； 6、分比定理： 7、合分比定理： 8、分合比定理： 9、等比定理：若，，则。 十二、复合二次根式的化简 当是一个完全平方数时，对形如的根式使用上述公式化简比较方便。 考场提速增分策略一 —— 考场必备的解题条件反射 条件 反射 反射二：常考非负数（式）有二次根式、绝对值、完全平方式. 条件 反射 反射二：同构即等. 条件 反射 反射二：列方程、函数解题. 条件 反射 反射二：试解法. 条件 反射 反射二：配方法与一元二次函数顶点式. 反射三：对勾函数与数形结合法. 条件 反射 反射二：正整数和一定求积的最大值或最小值，先分解质因数，考虑分散与集中.反射三：数列最值问题先连续化，再考虑取最靠近的整数.或用定义法. 条件 反射 反射二：竖式除法、因式定理、余式定理、带余除法恒等式、赋值法. 反射三：整体处理法. 条件 反射 反射二：根的分布就用“兄弟团结型”与“兄弟离间型”两个模型. 反射三：两根代数式的恒等变形公式. 条件 反射 反射二：高次不等式先因式分解，再用穿线法. 反射三：分式不等式先整式化，再用穿线法. 反射四：根式不等式先有理化，平方时要分类讨论. 条件 反射 反射二：数列的性质有位项关系（等和或等积、定差或定比）、等距保性. 反射三：最值套路（比较法与函数法）、方程思维. 反射四：. 反射五：等差数列. . 反射六：技巧求和常裂项（三种裂项类型），有时也用放缩法. 条件 反射 反射二：一元二次函数判别式法（包括开口方向）. 条件 反射 反射二：整体处理法. 反射三：转化法、割补法. 条件 反射 反射二：最值常用数形结合法. 反射三：点、线、圆之间的位置关系（距离公式是关键，对称的解决方案）. 反射四：斜率与倾斜角之间的转化和对应关系. 条件 反射 反射二：直方图、数表、饼图的含义. 条件 反射 反射二：常考概率模型有古典概型、伯努利概型、投篮（抽检）问题、抓阄模型. 反射三：集合与事件运算中的摩根定律、韦恩图. 反射四：概率运算中的乘法公式、加法公式. 特别地， 特别地， 特别地， 特别地， 拆项补项法. 等号当且仅当时成立. 等号当且仅当时成立. （本质上是三元均值不等式）等号当且仅当时成立. 零点式： 对称轴： 最 值： （1）（2） 恒成立口诀：开口判别式，两个都要看. （1）指数幂乘法：； （2）指数幂除法：； （3）指数幂幂： ； （4）指数幂分解：；指数幂的等价转换： （1）分数指数幂： ； （2）负数指数幂：； 特别地，. （1）对数加法：； （2）对数减法：； （3）指数析出：； （4）换底公式：； （5）对数恒等式：； 特别地，，. 性质： 简化计算： 标准差： 性质： （1）勾股定理： 直角三角形（最大边为） （2）勾股定理逆定理：直角三角形（最大边为） 常考勾股数：（1）；（2）； 勾股定理与均值不等式的结合考试角度： （1）简单角度： （等腰直角三角形时取等号） （2）复杂角度： （2）； （3）； ， ， 等差数列判断基本方法二（中项法）：等差数列 等差数列快速判断策略一（项和法）（等价形式）： 表现形式一：等差数列 表现形式二：等差数列 等差数列快速判断策略二（衍生法）（充分形式）： 表现形式一：是等差数列是等差数列 表现形式二：都是等差数列是等差数列 （2）等比数列判断基本方法一（定义法）：定值等比数列 等比数列判断基本方法二（中项法）：等比数列 等比数列快速判断策略一（项和法）（等价形式）： 表现形式： 等比数列 等比数列快速判断策略二（衍生法）（充分形式）： 表现形式一：是等比数列是等比数列 表现形式二：都是等比数列是等比数列 公式二：求和公式： 与 公式三：中项公式： （2）等比数列的三个公式：公式一：通项公式： 公式二：求和公式：若，则 ； 若，则； 公式三：中项公式： 性质一：位项等和：若，则 性质二：位项定差： 性质三：等距保性： （Ⅰ）等距项还是等差数列： （Ⅱ）等距和还是等差数列： 性质四：项和等比： （2）等比数列的三个性质： 性质一：位项等积：若，则 性质二：位项定比： 性质三：等距保性： （Ⅰ）等距项还是等比数列： （Ⅱ）等距和还是等比数列： 结论一：奇偶项之和的比： （Ⅰ）若项数时，则 （Ⅱ）若项数时，则 结论二：轮换对称求项和： （Ⅰ）若，则； （Ⅱ）若，则； （2）等比数列的常用常考结论： 结论一：等比数列中的项、公比都不能是零。 结论二：若，则（越大越接近） 拓展二：垂直； 平行；相交 已知两点坐标分别为， 那么 点到直线的距离公式： 已知点的坐标和直线， 那么点到直线的距离 平行直线间的距离公式： 已知直线， 那么点到直线的距离 先用点点距离公式求圆心到点的距离，在比较与半径的大小. 线与圆的位置关系的判断： 先用点线距离公式求圆心到直线的距离，在比较与半径的大小. 圆与圆的位置关系的判断： 先用点点距离公式求圆心距，在比较与两圆半径和差的大小. 弦长公式：（为圆心到割线的距离）. 切线长公式： （为圆心到圆外那点的距离）. 光线反射：转化为点线对称问题求解. 例如，把6个班级分成3个组，每个组至少得到1个班级，有多少种不同的分组方法的求法： 第一层次：因每组中元素的个数产生的差异，分成三大类： （打包计数先分解） 第二层次：在每一大类中，因元素的质地产生的差异： （有两个1，就要除以） （有1个1，就要除以） （有三个2，就要除以） 根据加法原理：不同的打包方法为. 打包口诀： “打包计数先分解，对照分解写组合； 组合相乘作分子，同数全排作分母.” 寄送——把个不同的物体寄送到个不同的地方，每个地方恰好1个，请问：共有多少种不同的方法？答案： 打包寄送公式：将打包方案数乘以寄送方案数，就得到总的方案数. 挡板公式：——最终方案总数等于插挡板的方法数：. 错排公式：， 进一步地，可以简化如下：（其中） 第一步：将要相邻的元素捆在一起，捆绑体内部进行排序. 第二步，将捆绑体和剩下的元素排序；最后，根据乘法原理求总方案数. 第一步：将要无要求的元素排序. 第二步，将不相邻的元素插进上述元素之间及两端的空位. 最后，根据乘法原理求总方案数. （2）结合律——加法结合律：， 乘法结合律：； （3）分配律——简单分配律：， 复杂分配律：； （4）摩根律——加法求否律：， 乘法求否律：； （2）容斥原理—— 表现形式一（集合元素个数的视角）： 二元容斥： 三元容斥： 表现形式二（事件概率公式的视角）： 二元容斥： （2）概率的减法公式： （3）概率的乘法公式： 特别地，当与时，。 当个事件相互时， 应用伯努利概型的步骤： 伯努利概型两个要点—— （1）在1次试验中某事件发生的概率是； （2）次重复试验中这个事件恰好发生次； 次重复试验至少发生次的概率； 次重复试验至多发生次的概率；目标1 非负数之和等于零，求参数. 解题 反射一：非负零和，分别为零. 目标2 比例问题. 解题 反射一：见比设. 目标3 应用题. 解题 反射一：框图法、示意图法. 目标4 质数问题. 解题 反射一：质数表（100以内）. 目标5 连续性最值问题. 解题 反射一：均值不等式（包括柯西不等式）. 目标6 离散型最值问题. 解题 反射一：正整数积一定求和的最大值或最小值，先分解质因数，考虑分散与集中. 目标7 代数式求值. 解题 反射一：公式法、恒等变形. 目标8 一元二次方程. 解题 反射一：韦达定理、判别式. 目标9 不等式. 解题 反射一：不等式的性质、均值不等式. 目标10 数列. 解题 反射一：数列的公式有求和公式、通项公式、递推公式. 目标11 恒成立问题. 解题 反射一：变量分离法、最大最小法. 目标12 平面几何、空间几何体问题. 解题 反射一：全等与相似（维度论）. 目标13 解析几何问题. 解题 反射一：中点公式、距离公式（三个）、弦长公式、斜率公式. 目标14 数据描述问题. 解题 反射一：方差原始公式、方差简化公式、方差定性分析.
考场提速增分策略二 —— 考场必备的核心数学公式与结论目标15 排列组合概率问题. 解题 反射一：常考计数模型有打包寄送法、挡板法、捆绑法、插空法、染色分类法、数字问题（倍数、奇数、偶数等约束条件）、定位定序法. 表1 恒等变形 裂项变形 ， 平方公式 立方公式 配方变形 分解因式 提取公因式法、分组法、十字相乘法、双十字相乘法、因式定理、余式定理、 表2 均值不等式（正数范围内讨论） 二元形式 ， ， 三元形式 ，， 对勾形式 ，等号当且仅当时成立. 柯西形式 等号当且仅当时成立. 极端原理 表3 一元二次方程、不等式、函数 二次方程 判别式 韦达定理 根的分布：两类母型. 二次函数 一般式： 顶点式： 二次不等式 解集口诀：大于零，取两边；小于零，夹中间. 表4 指数与对数 指数运算 指数幂的运算规则： 对数运算 对数的运算规则： 表5 数据描述 趋势性描述 均值： 波动性描述 方差： 图形表示法 直方图、数表、饼图 表6 平面几何与空间几何体 勾股定理 勾股定理的完整内容是：直角三角形（最大边为） 射影定理 （1）； 中位线定理 三角形中位线平行且等于底边的一半。梯形的中位线： 面积公式 ， ， 体积公式 ， ， 长方体内接于球 维度论 考点 角度 长度 面积 体积 维度 零维 一维 二维 三维 比例 表7 数列 等差数列与等比数列的判断 （1）等差数列判断基本方法一（定义法）：定值 等差数列 基本公式 （1）等差数列的三个公式：公式一：通项公式： 基本性质 （1）等差数列的四个性质： 常考结论 （1）等差数列的常用常考结论： 求和公式与通项公式的转化 递推公式与通项公式的转化 累加法、累乘法、换元法、循环法、倒数法 绝对数列求和 整体处理 差比数列求和 错位相减法 数列最值 比较法 表8 解析几何 中点公式 拓展：重心公式 斜率公式 拓展一：到角公式，其中 距离公式 点到点的距离公式： 点线对称 求点关于直线对称的点的坐标的方法： 考场应用 点与圆的位置关系的判断： 表9 排列组合 打包寄送法 打包——把个不同的物体分成个组（这个组是不计顺序的） 挡板法 把个相同的物体一字排开，共有个间隔，只需要从这个间隔中选出个并插进个挡板，把个相同的物体分割成为段，第几段的物体就分给第几个受体，这正好完成了任务.有多少种不同的插入挡板的方法就是所求的结果.图形示范如下： 错排法 把个编好号的物体（编号分别是）分给个编好号的受体（编号分别是），每个受体恰好得到一个物体，但是要求在分配时物体的编号与受体的编号不同.请问：共有多少种不同的分法？ 捆绑法 相邻问题用捆绑法. 插空法 不相邻问题用插空法. 分叉树法 对染色问题、数字问题等可以先画分叉树，再综合用乘法原理、加法原理. 表10 概率 集合与事件的运算规则 （1）交换律——加法交换律：， 乘法交换律：； 集合与事件的韦恩图与容斥原理 （1）韦恩图—— 概率的加法、减法、乘法公式 （1）概率的加法公式： 性判断 与 对立性判断 与对立 古典概型 伯努利概型 次重复试验恰好发生次的概率
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