圆与方程高考历年真题

2009年考题

1.（2009辽宁）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，

则圆C的方程为（    ）

（A）           (B) 

(C)             (D) 

【解析】选B.圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.

2.（2009浙江）已知三角形的三边长分别为，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（   ）

A．             B．         C．             D．

【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S，故其内切圆半径为r=,当该圆运动时，最多与直角三角形S的两边也有4个交点。

3.（2009上海）.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于

点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足

则直线AB有（   ）

（A） 0条    （B） 1条    （C）  2条    （D） 3条

【解析】选B.由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。

4.（2009湖南）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ）

（A）+=1            （B）+=1

（C）+=1            （D）+=1

【解析】选B.设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，

解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B.

5.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为

（A）          （B）2            （C）       （D）2

【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程为

6.（2009重庆高考）直线与圆的位置关系为（    ）

A．相切        B．相交但直线不过圆心         C．直线过圆心            D．相离

【解析】选B.圆心为、到直线，即的距离，而，选B。

7.（2009重庆高考）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（    ）

A．                B．         

C．            D．

【解析】选A.方法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，

故圆的方程为。

方法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为

方法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。

8.（2009上海高考）过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 (    )

  （A）.    （B）.           （C）.  （D）.

【解析】选C.点在圆内，圆心为C（1，0），截得的弦最长时的直线为CP，方程是，即。

9. （2009广东高考）以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是         .

【解析】将直线化为,圆的半径,

所以圆的方程

答案:

10. （2009天津高考）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，

则___________。

【解析】由知的半径为，由图可知

解之得

答案:1.

11.（2009全国Ⅱ）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,

则四边形的面积的最大值为                 。

【解析】设圆心到的距离分别为,则.

四边形的面积

答案:5.

12.（2009全国Ⅱ）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于             

【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。

答案:  

13. （2009湖北高考）过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，

则线段PQ的长为             。

【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得

答案:4

14.（2009四川高考）若⊙与⊙相交于A、B两点，

且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是           . 

【解析】由题知，且，又，所以

，∴。

答案:4.

15.（2009福建高考）已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:   (为参数 )试判断他们的公共点个数.

【解析】圆的方程可化为.

其圆心为,半径为2.

圆心到直线的距离

故直线与圆的公共点个数为2.

答案：2

16.（2009海南、宁夏高考）已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。

（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求的中点到直线

  （t为参数）距离的最小值。

【解析】（Ⅰ）

为圆心是（，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当时，

为直线

从而当时，

17.（2009江苏高考）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。

(1)设直线的方程为：，即

由垂径定理，得：圆心到直线的距离，

结合点到直线距离公式，得：

化简得：

求直线的方程为：或，

即或

(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：

，即：

因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得圆心到直线与直线的距离相等。

故有：，

化简得：

关于的方程有无穷多解，有：

解之得：点P坐标为或。

2008年考题

1、（2008山东高考）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是        （  ）                                        

A．                B．

C．                D．

【解析】选B.设圆心为由已知得

2、（2008广东高考）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（  ）

A．x＋y＋1＝0        B．x＋y－1＝0        C．x－y＋1＝0        D．x－y－1＝0

【解析】选C.易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，

将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为（或由图象

快速排除得正确答案）。

3、（2008山东高考）已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为            （    ）            

A．10            B．20            C．30            D．40

【解析】选B。将方程化成标准方程，过点的最长弦（直径）为

最短弦为

4、（2008全国Ⅰ）若直线＝1与圆有公共点，则（   ）

  A．     B．     C．     D．

【解析】选D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：，

，．

5、（2008安徽高考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取

值范围为（    ）

A．     B．    C．        D．

【解析】选C.方法一：数形结合法（如图）  

 另外，数形结合画出图象也可以判断C正确。

方法二：利用距离与半径的关系

点 在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为，

即，直线与曲线有公共点，

圆心到直线的距离小于等于半径 ，

得.

6、（2008上海高考）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点、满足且，则称P优于，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（     ）

  A．       B．       C．      D． 

【解析】选D.由题意知，若P优于，则P在的左上方，

当Q在 上时，左上的点不在圆上，

 不存在其它优于Q的点， Q组成的集合是劣弧。

7、（2008天津高考）已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为             ．

【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识．

由已知可求圆心的坐标为，所以，圆的方程为．

答案:

8、（2008宁夏海南高考）已知直线和圆.

（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？

【解析】（Ⅰ），

∴当k≠0时，解得且k≠0

又当k＝0时，m＝0，方程有解，所以，综上所述

（Ⅱ）假设直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．设直线与圆交于A，B两点

则∠ACB＝120°．∵圆，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1．

故有，整理得．

∵，∴无实数解．

因此直线不可能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．

9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系中，二次函数（）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆．

（Ⅰ）求实数b的取值范围；

（Ⅱ）求圆的方程；

（Ⅲ）圆是否经过定点（与的取值无关）？证明你的结论．

【解析】（Ⅰ）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）

令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0

令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b

令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1

所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0

（Ⅲ）圆C必过定点（0，1），（-2，1）

证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0

所以圆C必过定点（0，1）；

同理可证圆C必过定点（-2，1）．

10、（2008北京高考）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

【解析】（Ⅰ）由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上， 

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

11、（2008湖北高考）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，

，是半圆弧上一点，，曲线是满足

为定值的动点的轨迹，且曲线过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.

若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

【解析】（Ⅰ）方法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.

方法2：同方法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0）.

则由解得a2=b2=2,

∴曲线C的方程为

               图1                                        图2

(Ⅱ)方法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴ 　　

∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.               ②

设E（x1，y1），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是

｜EF｜＝

＝

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S△OEF=

若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有

        ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1)∪(-1,1) ∪(1, ].

方法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k2）x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴ 　　

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得

｜x1-x2｜=           ③

当E、F在同一支上时（如图1所示），

S△OEF＝

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S△ODE=

综上得S△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=

若△OEF面积不小于2

     　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1）∪（-1，1）∪（1，].

2007年考题

1、(2007安徽高考)若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为

(A)-2或2    (B)    (C)2或0    (D)-2或0

【解析】选C.若圆的圆心(1，2)到直线的距离为，∴ ，

∴ a=2或0，选C。

2、（2007上海高考）圆关于直线对称的圆的方程是（　　）

    Ａ．            Ｂ．

    Ｃ．            Ｄ．

【解析】选C.圆，圆心（1，0），半径，关于直线对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线，线段的中点在直线上，C中圆的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。

3、（2007湖北高考）已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（    ）

A．60条            B．66条            C．72条            D．7

【解析】选A.可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，

而圆上的整数点共有12个，分别为，

，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有条，选A.

4、（2007湖北高考）由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为

                                    C.              

【解析】选C.切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值为，选C.

5、（2007重庆高考）若直线与圆相交于P、Q两点，

且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为

（A）        （B）    

（C）        （D）

【解析】选A.如图，直线过定点（0，1），

6、（2007广东高考）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数），则圆C的圆心坐标为_______，圆心到直线l的距离为______.

【解析】直线的方程为x+y-6=0，d=;

答案:（0，2）；.

7、（2007广东高考）[几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，

Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线l，过Ａ作l的垂线ＡＤ，

垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。

【解析】根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，

很容易得到答案，AE=EC=BC=3；

答案:；3。

8、（2007天津高考）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是.

【解析】两圆方程作差得.

答案:

9、（2007山东高考）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.

【解析】曲线化为，其圆心到直线的距离为

所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。

答案:

10、（2007上海高考）已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为 

【解析】 

答案: 

11、（2007湖南高考）圆心为且与直线相切的圆的方程是        ．

【解析】半径R=，所以圆的方程为

答案:

12、（2007江西高考）设有一组圆．下列四个命题：

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切

Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交

Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交

Ｄ．所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是                ．（写出所有真命题的代号）

【解析】圆心为（k-1，3k）半径为，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B正确；由C1、C2、C3的图像可知A、C不正确；若存在圆过原点（0，0），则有（因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点。

答案:B、D

13、（2007四川高考）已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是__________________

【解析】：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得，即．

答案:

14、（2007北京高考）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．

（）求边所在直线的方程；

（）求矩形外接圆的方程；

（）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

【解析】（）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．

即．

（）由解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心．

又．

从而矩形外接圆的方程为．

（）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

15、（2007北京高考）已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．

（）求的取值范围；

（）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．

【解析】（）由方程消得．      ①

依题意，该方程有两个正实根，故解得．

（）由，求得切线的方程为，

由，并令，得

，是方程①的两实根，且，故，，

是关于的减函数，所以的取值范围是．

是关于的增函数，定义域为，所以值域为，

（）当时，由（）可知．

类似可得．．

由①可知．从而．当时，有相同的结果．